第五节高阶导数ppt课件

1、第五节第五节 高阶导数高阶导数定义定义 如果函数如果函数)(xf 的导函数的导函数)(xf在点在点x处可导处可导,则称导函数则称导函数)(xf 在点在点x处的处的导数为函数导数为函数)(xf的二阶导数的二阶导数.二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为)(xf的三阶导数的三阶导数.三阶导数的导数称为三阶导数的导数称为)(xf的四阶导数的四阶导数.阶导数的导数称为阶导数的导数称为)(xf的的n阶导数阶导数.1 n(1)二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数.)(xf )(xf )(xf )()(xfny y y )(nydxdydxdf22dxyd33dxydnndxy

2、d22dxfd33dxfdnndxfd(3) x0处的处的n阶导数记号阶导数记号)(0)(xfn0)(xxny 0 xxnndxyd 0 xxnndxfd (4)求法求法2至至5阶阶,反复求导反复求导.n阶导数阶导数,先求几阶再总结规律先求几阶再总结规律.例例1 设设,sin xeyx 试证试证. 022 yyy证证)sin( xeyxxxexxe)(sinsin)( xxexxe cossin)cos(sinxxex )cos(sin xxeyxxxexxxxe)cos(sin)cos(sin)( xxexxxxe)sin(cos)cos(sin xexcos2 代入得代入得. 022 yy

3、y例例2求求nxy (n为正整数为正整数)的的n阶导数阶导数.解解 y1 nnx y2)1( nxnn y3)2)(1( nxnnn )(ny!n例例3求求)1ln(xy 的的n阶导数阶导数.解解 y y y )(ny)1(11 xxx 111)1( x)1()1)(1(2 xx2)1)(1( x)1()1)(2)(1(3 xx3)1)(2)(1( x) 1() 1(1 nn!.)1(nx 补充补充07年考研真题年考研真题4分分设函数设函数1,23yx 那么那么解解 y y y )(ny2( 1)(23) 2x ( )(0).ny 32( 1)( 2)(23) 2x 43( 1)( 2)( 3

4、)(23) 2x (1)( 1)!(23)2nnnnx 12( 1)!3nnnn 例例4求求xycos 的的n阶导数阶导数.解解 yxsin y)2cos( x)2()2sin( xx)22cos( x y)22()22sin( xx)23cos( x )(ny).2cos( nx例例5 知知, 0)sin(2 yxy 求求10 yxy.,10 yxy解解 方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导02)cos()(2 yyyyxy 2110 yxy方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导y 0)(2)cos(2 yyyyy )(yxy yyyyy 22)sin(2 .41210 yxy例例6 设设 21tx tycos ,求求.22dxyd解解 dxdytt2sin tt2sin 22dxyd)2sin(ttdxd dxd