第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数ppt课件

1、夏尔夏尔厄米厄米夏尔夏尔 厄米，法国数学家，巴厄米，法国数学家，巴黎综合工科学校毕业，曾任法黎综合工科学校毕业，曾任法兰西学院、巴黎高等师范学校、兰西学院、巴黎高等师范学校、巴黎大学教授。他的研究领域巴黎大学教授。他的研究领域包括数论，二次型，不变量理包括数论，二次型，不变量理论，正交多项式，椭圆函数和论，正交多项式，椭圆函数和代数。厄米多项式、厄米规范代数。厄米多项式、厄米规范形式、厄米算子、厄米矩阵，形式、厄米算子、厄米矩阵，和立方厄米样条都以他命名。和立方厄米样条都以他命名。 生于：生于： 1822 1822 年年 12 12 月月 24 24 日日, , 法国迪耶于兹法国迪耶于兹逝于：

2、逝于： 1901 1901 年年 1 1 月月 14 14 日日, , 法国巴黎法国巴黎8.1 8.1 常点领域方程的级数解常点领域方程的级数解 勒让德方程勒让德方程 教学目的：教学目的： 1、了解常点领域二阶常微分方程级、了解常点领域二阶常微分方程级 数解法；数解法； 2、掌握勒让德方程的级数解法和勒、掌握勒让德方程的级数解法和勒 让德多项式的性质。让德多项式的性质。 教学重点：勒让德方程二阶常微分方程级数解法。教学重点：勒让德方程二阶常微分方程级数解法。 教学难点：二阶常微分方程级数解基本方法教学难点：二阶常微分方程级数解基本方法8.1 8.1 常点邻域方程的级数解常点邻域方程的级数解 勒

3、让德方程勒让德方程1.1.常点邻域线性常微分方程的级数解常点邻域线性常微分方程的级数解4（1 1级数解法的基本思想：级数解法的基本思想： （2 2方程的常点和奇点方程的常点和奇点56 110 x xyxyxy x 1,11p xq xx xx x 7(3)(3)解的存在和唯一性定理不证明）解的存在和唯一性定理不证明） 由于函数由于函数p(x),q(x)和和y(x)在圆环域在圆环域|x-x0|R内解析，所内解析，所以我们：以我们： 展开展开p(x),q(x)和和y(x)为泰勒级数，为泰勒级数，其中其中an,bn(n=0,1,2,)是已知的，是已知的，c0和和c1由附加条件给出，而由附加条件给出，

4、而cn(n=2,3,4)待定。待定。00( )() ,nnnp xaxx p(x),q(x) p(x),q(x)和和y(x)y(x)的泰勒级数展开代入微分方程的泰勒级数展开代入微分方程8.18.1式得式得00( )() ,nnnq xb xx00( )()nnny xcxx(4)(4)常点邻域级数解基本方法常点邻域级数解基本方法 ( )( )( )( ) ( )0y xp x y xq x y x21002010001 ()()()0 nn knknnknn kknknc n nxxa c n xxb c xx 整理得先设整理得先设k+2=n,k+2=n,然后再令然后再令k=n)k=n)210

5、00201001 ()()()0nn kn knknknnknknc n nxxa c n xxb cxx 201000000021 ()1 ()()0nn knknnknn kknkncnnxxa cnxxb cxx 比较等式两边同幂次系数求比较等式两边同幂次系数求cn(n=0,1,2,)cn(n=0,1,2,) a.(x-x0)0 a.(x-x0)0项项:(k=0,n=0):(k=0,n=0)有有 b.(x-x0)1 b.(x-x0)1项项311020 11 023100110003 22012 3ca cacb cbccabacba bc 20 10020 1001202ca cb cc

6、a cb c 确定收敛半径确定收敛半径, ,即泰勒级数收敛圆。即泰勒级数收敛圆。 2. 勒让德方程勒让德方程2(1) 2(1)0 xyxyl ly222(1)011xl lyyyxx化为标准形式：化为标准形式：222( ),111xxp xxxx2(1)( )1l lq xx点点x=x0=1是方程的奇点是方程的奇点,即一阶极点即一阶极点.在在x0=0 x0=0点：点：p(x0)=0, q(x0)=l(l+1),p(x0)=0, q(x0)=l(l+1),即点即点x0=0 x0=0是常点。是常点。0( ),nnny xc x11( ),nnny xnc x22( )(1)nnnyxn nc x（

7、1 1l l阶勒让德方程阶勒让德方程10设解设解y(x)y(x)为一泰勒级数为一泰勒级数求求l阶勒让德方程在阶勒让德方程在x=0的邻域内的级数解的邻域内的级数解标准方程系数标准方程系数:方程奇点与方程奇点与x=0 x=0点的奇常性分析点的奇常性分析: :21112121nnnn nl lnl nlcccnnnn ()()()()()()()()11代入勒让德方程代入勒让德方程121220(21)(1)(1)0nnnnnnnnnxnxn nccxl lc xx展开第一项展开第一项22000(1)(1)(102)nnnnnnnnnnnnn nc xn nc xl lc xnc x整理得整理得比较同

8、幂比较同幂x前的系数有前的系数有221110nncnnn nl lc()()()()整理得整理得220(1)(1)(201)nnnnnnnnnnn nc xnc xn nc xl lc x改写上式第一项改写上式第一项,即令即令k=n-22002 (1)(1)0(1nnnnnnnnnncxl lxnc xcn200(2)(1)(1)(1)02knnnnnknnkn nc xnc xkkcxl lc x进一步写上式第一项进一步写上式第一项,即再令即再令n=k2(1) 2(1)0 xyxyl ly022(24)(1)212!klkllllkkc121(23)1(2)221 !klkllllkck 由

9、于由于c0的下标对应于偶数，的下标对应于偶数， c1的下标对应于奇数，为的下标对应于奇数，为此我们令递推公式中的下标此我们令递推公式中的下标n分别取分别取n=2k-2和和n=2k-1与它们与它们对应，即对应，即1222222(21)221kkkllkcckk212121(2 )21 2kkkllkcckk 设设n=2k-2: n=2k-2: 设设n=2k-1: n=2k-1: 2121nnnl nlccnn ()()()()242224(23)(21)2212223kklkllklkkkkck13这样这样 l 阶勒让德方程的级数解是：阶勒让德方程的级数解是： 01201211101222413

10、21122123124221kkkky xyxyxklklllllkyxxkklklllllkyxxxkcc ;,!.!22111nnnnnncRcnlnl limlim幂级数解的收敛半径幂级数解的收敛半径21112121 ()()()()()()()()nnnn nl lnlnlcccnnnn 所以所以 l 阶勒让德的级数解在单位圆阶勒让德的级数解在单位圆|x|a+bca+b收敛。收敛。 1F, , ;F1,1,2;cy xAa b c xBxacbcc x其中其中(2)0( )nnng xCx是是x=0领域的解析函数。领域的解析函数。为求出为求出g(x)把把y2(x)代入高斯方程，则得出的

11、方程其中代入高斯方程，则得出的方程其中即是即是 1,1,2 aacbbccc为参数的为参数的GaussianGaussian方程方程. . 综上讨论，高斯方程的通解综上讨论，高斯方程的通解在在ca+b情况下，其在情况下，其在-1x1上收敛。上收敛。 1F, , ;,1,2,3,yxa b c xc 11F1,1,2;,0, 1, 2,cyxxacbcc xc另一线性独立解另一线性独立解 21210lnn snnyxyxxCx（2 2当当c=c=整数，整数， d( )( )dyP x yQ xx一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式: :, 0)( xQ当当上方程称为一阶线性齐次方

12、程上方程称为一阶线性齐次方程. .上方程称为一阶线性非齐次方程上方程称为一阶线性非齐次方程. .,0)( xQ当当例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的; ;非线性的非线性的. .8.4 非齐次方程的通解非齐次方程的通解1 1 一阶线性微分方程的通解一阶线性微分方程的通解. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey（1 1线性齐次方程线性齐次方程( (使用分离变量法使用分离变量法) ) （2 2线性非齐次方程线性非齐次方程).

13、()(xQyxPdxdy 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .设解为设解为 dxxPexcy)()()()( )( )( ),P x dxP x dxyc x ec xP x e)(xcC 代代入入原原方方程程和和将将yy ),()()(xQexcdxxP ,)()()(CdxexQxcdxxP 积分得积分得)()()(CdxexQeydxxPdxxP 非齐方程通解非齐方程通解).()(xQyxPdxdy 一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: :)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxexQeCedxxP

14、dxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和. .的通解是的通解是)()(xQyxPdxdy 所以所以 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕证毕（1 1） 二阶线性齐次方程解的结构二阶线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解的两个解, ,也是该方程的解也是该方程的解. .证证: :将将1122( )( )YC y xC yx代入方程左边代入方程左边, , 得得 11 yC22yC 22yC22

15、yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC ( (叠加原理叠加原理) ) 1122( )( )YC y xC yx),(21为任意常数CC定理定理1.1.2 2 二阶线性微分方程的通解二阶线性微分方程的通解（2 2二阶线性非齐次方程解的结构二阶线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, , )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 2.)()()(xfyxQyxPy 那那么么是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解 . .证证: :将将)(*)(xyxYy代入方程左端代入方程左端

16、, , 得得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解是非齐次方程的解, ,又又Y Y中含有中含有两个独立任意常数两个独立任意常数, ,证毕证毕因此因此 也是通解也是通解 . .定理定理 3. 3.), ,2, 1()(nkxyk设分别是方程分别是方程的特解的特解, ,是方程是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1则)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解的特解. (. (非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理) ) （3 3

17、常数变易法常数变易法二阶非齐次方程二阶非齐次方程 )()()(xfyxQyxPy 已知对应齐次方程通解已知对应齐次方程通解: : 1212( )( )Y xy xyCxC设的通解为设的通解为 )()(21xyxyy1( )v x2( )v x 12( ( ),( )v x v x 待定1 1220y vy v且设且设下面分别求的一阶与二阶导数并代入方程下面分别求的一阶与二阶导数并代入方程2211vyvyy1122y vy v1 12 20y vy v于是于是22112211vyvyvyvyy 将以上结果代入方程将以上结果代入方程 并整理得并整理得: : 2211vyvy1111)(vyQyPy )()(2222xfvyQyPy 得得1 12 2( )y vy vf x 21, yy是对应齐次方程的解由假设由假设0 0)()()(xfyxQyxPy 1 12 20y vy v现分析方程组：现分析方程组：1 12 2( )y vy vf x 1 12 20y vy v现分析方程组现分析方程组1 12 2( )y vy vf x 改写为改写为21, yy是对应齐次方程的解1 122 y vvy121221121212( )( )