第八章 机械波201505

1、第七章 波是物质的运动从一区域向另一区域的一种波是物质的运动从一区域向另一区域的一种传播。传播。 机械振动在弹性介质中传播机械振动在弹性介质中传播 机械波。机械波。 变化的电磁场在空间的传播变化的电磁场在空间的传播 电磁波。电磁波。 实物粒子也具有波动性实物粒子也具有波动性 物质波。物质波。 尽管它们本质不同，但它们都具有一些共尽管它们本质不同，但它们都具有一些共同的特征和相似的规律，例如波在传播中遇到同的特征和相似的规律，例如波在传播中遇到障碍物时会发生衍射现象，在两种介质的分界障碍物时会发生衍射现象，在两种介质的分界面处会发生反射和折射，两波相遇会发生干涉面处会发生反射和折射，两波相遇会发

2、生干涉现象，波还会把能量向前传递等等。现象，波还会把能量向前传递等等。 简谐振动在空间的传播，称为简谐波，它是简谐振动在空间的传播，称为简谐波，它是最简单的波。本章以机械波中的简谐波为例来最简单的波。本章以机械波中的简谐波为例来介绍波动的普遍性质。介绍波动的普遍性质。本章内容Contentschapter 7第一节8 - 1basic concept of mechanical wave 机械波的产生振动的传播过程称为波动。振动的传播过程称为波动。产生机械波的必要条件：产生机械波的必要条件：机械波传播特征 波动传播的是波动传播的是振动状态振动状态, 是是相位相位(或波形或波形), 而而 不是介

3、质本身。每个介质元都在自己的平衡不是介质本身。每个介质元都在自己的平衡 位置附近振动。位置附近振动。 每个介质元都做受迫振动每个介质元都做受迫振动, 周期和频率与波周期和频率与波 源相同源相同, 相位落后波源。相位落后波源。沿波的传播方向沿波的传播方向, ,每每 向前传播一个波长，位相落后向前传播一个波长，位相落后 。2 横波波长横波波长.SWF 波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。继传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。 横波软绳软绳波的传播方向波的传播方向质点振动方向质点

4、振动方向软绳软绳质点振动方向质点振动方向波的传播方向波的传播方向抖动一下，产生一个脉冲横波抖动一下，产生一个脉冲横波连续抖动，产生连续横波连续抖动，产生连续横波质点的振动方向与波的传播方向垂直质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波抽送一下，产生一个脉冲纵波抽送一下，产生一个脉冲纵波软弹簧软弹簧软弹簧软弹簧波的传播方向波的传播方向质点振动方向质点振动方向连续连续抽送抽送，产生连续，产生连续纵纵波波波的传播方向波的传播方向质点振动方向质点振动方向 在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波

5、。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。质点的振动方向与波的传播方向平行质点的振动方向与波的传播方向平行横波与纵波横波与纵波 横波横波：切变切变（只有固体（只有固体才能传播）才能传播）体变体变（固（固,液液,气气体都可传播体都可传播)纵波纵波:水波水波:P P波波纵波纵波地面上下振动地面上下振动破坏性较小破坏性较小波速最快波速最快S S波波横波横波地面水平振动地面水平振动破坏性较大破坏性较大波速较慢波速较慢表面波表面波破坏性最大破坏性最大波长周期波速波速波速单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度，单位时间内振动状态（振

6、动相位）的传播速度，又称又称相速相速。机械波速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质取决于弹性媒质的物理性质。或或波长波长振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。周期周期波形移过一个波长所需的时间。波形移过一个波长所需的时间。频率频率周期的倒数。周期的倒数。, 取决于波源振动频率取决于波源振动频率。波传播方向波传播方向波速波速几何描述波波 前前波波 面面波波 线线波面波面振动相位相同的点连成的面。振动相位相同的点连成的面。波前波前最前面的波面。最前面的波面。平面波（波面为平面的波）平面波（波面为平面的波）球面波（波面为球面的波）球面波（波面为球面的波）波线（

7、波射线）波线（波射线）波的传播方向。在各向同性媒质中，波的传播方向。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。波线恒与波面垂直。第二节wave fucntion of simple hamonic plane wave 8 - 2平面简谐波表达式的推导平面简谐波表达式的推导7-2波函数 研究一条波线上的情况即可研究一条波线上的情况即可. 波线波线上各点作同频率的谐振动上各点作同频率的谐振动,振幅相振幅相同同(介质无吸收介质无吸收), 相位不同相位不同. 波的表达式就是波线上波的表达式就是波线上任意一点的振任意一点的振 动表达式动表达式. .( , )yf t x正向波问题问题: 波线上任一点波线上任

8、一点 P 在在t 时刻的位移是时刻的位移是 多少多少? (即运动学方程）即运动学方程） 已知已知 P 点的坐标为点的坐标为 x波函数 振动从原点传到振动从原点传到 P P 点需要时间点需要时间 x/u , ,故故P P点在点在 t 时刻的位移为原点在时刻的位移为原点在 (t - x/u ) 时时刻的位移刻的位移负向波一般形式物理意义若给定某点若给定某点 P 的的 ，波函数变为，波函数变为 P 点处质点的点处质点的距原点为距原点为 处质点振动的初相处质点振动的初相P点的点的若给定若给定 ，波动方程表示所给定的，波动方程表示所给定的 时刻波线上各振动质时刻波线上各振动质点相对各自平衡点的位置分布，

9、即该时刻的点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的t t1 1 时刻的时刻的tu平面简谐波的表达式为平面简谐波的表达式为:210 1040 4cos(.)()ytxSI 求求:(1)波的传播方向波的传播方向 (2)波的频率波的频率,周期周期,波长和波速波长和波速. 解解:(1) x 方向方向(2)Li10( )cos()y tAtx u4 20 5 .Ts 12HzT smu/105Tum (3)210 1041.26/mvAm s 222210 10(4 )15.78/maAm s (4)2421105tx 210 10cos4 ()10ytSIx (5)5210 10cos4 tSI 平面简

10、谐波的表达式为平面简谐波的表达式为:210 1040 4cos(.)()ytxSI 求：求：(3)介质振动的最大速度和最大加速度介质振动的最大速度和最大加速度. (4)波线上相距波线上相距 1m 远的两点的相位差远的两点的相位差. (5)波线上波线上 x = 5m 的点的振动方程的点的振动方程Li1波线上各点振动的速度和加速度分别为波线上各点振动的速度和加速度分别为02sin()yvAtxt 22022cos()yaAtxt 例)(costAy 波动方程应为波动方程应为t解解 在波在波传播方向上传播方向上任选一点任选一点 Puxxta aP点比点比 点振动点振动晚晚xyuaxoaxp)(cos

11、uxxtAya写出波函数写出波函数(波动方程波动方程).已知波已知波沿沿 正向正向传播，波速为传播，波速为 ， 在在 处处 xuaxx 振动方程为振动方程为)cos( Ayat(选任一点选任一点 a 为参考点为参考点,不一定是坐标原点不一定是坐标原点)例例例1 已知已知 t=0 时的波形如图时的波形如图, 求波的表达式求波的表达式 （ 已知）已知）Li3yoyxoxoyx2/Aoxy,Ak u00yoyx?0v00v2 o00y00vo00y00v2 2 2Ayox20Ay 00vyAt=0总结：总结： 由波形曲线求波动方程由波形曲线求波动方程, , 关键是求出坐关键是求出坐标原点的初位相标原

12、点的初位相, ,将它填入波函数的标准表将它填入波函数的标准表达式中即可。达式中即可。3 LIpxPA0A5233 2x 56pxx 3/ 56/ (波长已知波长已知)o y 例例2 一沿一沿x轴正方向传播的平面简谐波轴正方向传播的平面简谐波, 波长波长 ，周期，周期 T= 4s, 已知已知 x = 0 处介质处介质 的振动曲线如图的振动曲线如图, 求求:(1)坐标原点的振动方坐标原点的振动方 程程.(2)波的表达式波的表达式.4m 解解: (1)t (s)y（cm）33 / 2o0t 3cos()23ytcm LI203 (2) 波方程波方程 只需把坐标原点的初位相及振幅等特只需把坐标原点的初

13、位相及振幅等特征量带入波函数的标准表达式中即可。征量带入波函数的标准表达式中即可。2cos()yAtx343 总结：总结： 由给出的振动曲线求波动方程由给出的振动曲线求波动方程, ,关键是关键是 由振动曲线求出坐标原点的初位相由振动曲线求出坐标原点的初位相, ,将它将它 填入波函数的标准表达式中即可。填入波函数的标准表达式中即可。2 例例测验 波动方程波动方程)(cosuxtAy由：由：得：得：)(cos222uxtAty)(cos2222uxtuAxy0122222tyuxy-波动方程波动方程(一维一维)三三 波动方程波动方程波的能量the energy of wave8 - 3现象：现象：

14、若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）上下上下抖动抖动振速振速 最小最小振速振速 最大最大形变最小形变最小形变最大形变最大时刻波形时刻波形在波动中，各体积元产生不同程度的在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变弹性形变，具有具有 弹性势能弹性势能未起振的体积元未起振的体积元各体积元以变化的各体积元以变化的振动速率振动速率 上下振动，上下振动， 具有具有振动动能振动动能。行波的能量能量密度 可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相邻的上一个体积元可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相邻的上一个体积元接收能量，并传递给与其相邻的

15、下一个体积元的能量传播过程接收能量，并传递给与其相邻的下一个体积元的能量传播过程。振动速度振动速度体体积积元元 的的动能动能势能势能总能量总能量设设 一平面简谐波一平面简谐波媒质密度媒质密度处取体积元处取体积元体积元的质量体积元的质量在在x弹性介质从位移最大回到平衡位置时弹性介质从位移最大回到平衡位置时, ,上游介质对它作正功上游介质对它作正功, ,它的机械能增大它的机械能增大当它远离平衡位置时当它远离平衡位置时, ,它对下游介质作功它对下游介质作功, , 把能量传递给下游介质把能量传递给下游介质, ,能量减少能量减少. .能流密度：单位时间通过垂直波线单位能流密度：单位时间通过垂直波线单位

16、截面积的能量。截面积的能量。波的强度：波的强度：2212IA u 二二 能流密度能流密度uudtdsA 2第五节8 - 4Huygens principle照片惠更斯原理 媒质中波动传到的各点，都可以看作能够发射媒质中波动传到的各点，都可以看作能够发射子波的新波源，在这以后的任意时刻，这些子波子波的新波源，在这以后的任意时刻，这些子波的包络面就是该时刻的波面。的包络面就是该时刻的波面。t+tt第六节wave interference 8- 5现象：水面波，交响乐，多人同时讲现象：水面波，交响乐，多人同时讲话话原理原理: 当两列波在传播中相遇时当两列波在传播中相遇时, 它们将保它们将保 持自己的

17、特性持自己的特性 (波长波长, 频率频率, 振动方向振动方向, 振幅振幅)互不影响互不影响, 按照自己原来的传播按照自己原来的传播 方向继续前进方向继续前进.结论结论: 两列波相遇的区域两列波相遇的区域,介质位移为各介质位移为各 波波单独单独在该处位移的在该处位移的矢量和矢量和. 7-6 波的干涉波的干涉两列脉冲波相遇时的两列脉冲波相遇时的情况情况结论结论: :两列波相遇的区域两列波相遇的区域, ,介质位移为介质位移为各各 波单独在该处位移的矢量和波单独在该处位移的矢量和. .相干波若有两个波源若有两个波源振动振动 频率相同频率相同振动振动 方向相同方向相同振动振动 相位差恒定相位差恒定 它们

18、发出的波列在媒质中相遇叠加时，叠加区域中各质点所参与的它们发出的波列在媒质中相遇叠加时，叠加区域中各质点所参与的两个振动具有各自的恒定相位差，某些质点的振动两个振动具有各自的恒定相位差，某些质点的振动始终始终加强，某些质加强，某些质点的振动点的振动始终始终减弱或完全相消。这种现象称为减弱或完全相消。这种现象称为波的干涉波的干涉。能产生干涉现象的波称为能产生干涉现象的波称为相干波相干波其波源称为其波源称为相干波源相干波源波的干涉是在特定条件下波叠加所产生的现象。波的干涉是在特定条件下波叠加所产生的现象。水波盘演示水波盘演示 干涉现象干涉现象数学分析分别引起分别引起 P 点的点的振动振动y1 A1

19、 cos t + ( 1010)y2 A2 cos t + ( 20202 r1 2 r2 )合振动合振动 y y1 + y2 A cos ( t + 0 0 ) )AA12A22A1 A2 cos2 2020 10102 () )r2 r1 A2A1Ay10 A10 cos ( t + 1010) )y20 A20 cos ( t + 2020) )两相干波源的两相干波源的振动振动方程方程合振幅公式AA12A22A1 A2 cos2( 2020 10102 ) )r2 r1 r2 r1 2 2020 1010当当（ 0,1,2, )时时合成振动的振幅最小合成振动的振幅最小r2 r1 2 20

20、20 1010（ 0,1,2, )当当时时合成振动的振幅最大合成振动的振幅最大相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉相长与相消干涉AA12A22A1 A2 cos2( 2020 10102 ) )r2 r1 若若 2020 1010即两分振动具有相同的初相位即两分振动具有相同的初相位则则 取决于两波源到取决于两波源到P点的路程差点的路程差 , 称为称为波程差波程差r2 r1 2 （ 0,1,2, )当当时时则合成振动则合成振动的振幅最小的振幅最小即即 波程差为半波长的奇数倍时，波程差为半波长的奇数倍时，各质点的振幅最小，干涉相消。各质点的振幅最小，干涉相消。（ 0,1,2, )时时则合成振动则合成振

21、动的振幅最大的振幅最大即即 波程差为零或为波长的整数倍时，波程差为零或为波长的整数倍时，各质点的振幅最大，干涉相长。各质点的振幅最大，干涉相长。r2 r1 2 当当总结：总结： 在两波相遇的区域，在两波相遇的区域，不同的点波程差不不同的点波程差不 同，因而相位差不同，同，因而相位差不同，振幅不同振幅不同, , 能量能量 有一个重新的分布有一个重新的分布干涉干涉r2 r1 2 2020 1010在两波相遇的区域，在两波相遇的区域，哪些点的振动加强？哪些点的振动加强？哪些点的振动减弱？哪些点的振动减弱？例例例例例第七节standing wave8- 6驻波现象正向行波正向行波反向行波反向行波max

22、min0波波腹腹波波节节驻波能量 驻波不是振动相位的驻波不是振动相位的传播过程，驻波的波形传播过程，驻波的波形不发生定向传播。不发生定向传播。波节两侧波节两侧的各质点的振动的各质点的振动同一时刻，同一时刻，相邻两相邻两波节之间波节之间的各质点的各质点的振动相位的振动相位相同相同；相位相位相反相反。波节波节体积元不动体积元不动，动能动能其它各质点同时到达其它各质点同时到达最大位移最大位移时时波腹波腹及其它质点的动能及其它质点的动能波节波节处形变最大处形变最大 势能势能最大最大波腹波腹附近各点速度最大附近各点速度最大其它各质点同时通过其它各质点同时通过平衡位置平衡位置时时最大最大波节波节及其它点无

23、形变及其它点无形变 驻波的能量不作定向传播，其能量驻波的能量不作定向传播，其能量转移过程是动能与势能的相互转移以转移过程是动能与势能的相互转移以及波腹与波节之间的能量转移。及波腹与波节之间的能量转移。第八章完第八章完驻波方程为简明起见，为简明起见，设设改写原式得改写原式得并用并用注意到三角函数关系注意到三角函数关系得得驻驻 波波 函函 数数由由正向波正向波负向波负向波波腹与波节驻驻 波波 函函 数数波波节节波波腹腹波腹波腹处振幅最大处振幅最大波节波节处振幅最小处振幅最小它的绝对值表示位于坐标它的绝对值表示位于坐标 x x 处的振动质点处的振动质点的振幅。即描述振幅沿的振幅。即描述振幅沿 X X

24、 轴的分布规律。轴的分布规律。振幅分布因子振幅分布因子驻波中各质点均以同一驻波中各质点均以同一频率频率 作简谐振动。作简谐振动。 谐振动因子谐振动因子驻波能量 驻波不是振动相位的驻波不是振动相位的传播过程，驻波的波形传播过程，驻波的波形不发生定向传播。不发生定向传播。波节两侧波节两侧的各质点的振动的各质点的振动同一时刻，同一时刻，相邻两相邻两波节之间波节之间的各质点的各质点的振动相位的振动相位相同相同；相位相位相反相反。波节波节体积元不动体积元不动，动能动能其它各质点同时到达其它各质点同时到达最大位移最大位移时时波腹波腹及其它质点的动能及其它质点的动能波节波节处形变最大处形变最大 势能势能最大

25、最大波腹波腹附近各点速度最大附近各点速度最大其它各质点同时通过其它各质点同时通过平衡位置平衡位置时时最大最大波节波节及其它点无形变及其它点无形变 驻波的能量不作定向传播，其能量驻波的能量不作定向传播，其能量转移过程是动能与势能的相互转移以转移过程是动能与势能的相互转移以及波腹与波节之间的能量转移。及波腹与波节之间的能量转移。半波损失波疏与波密驻波入射波反射波波疏媒质波密媒质入射波驻波反射波波密媒质波疏媒质动画分解现象半波损失8-7 8-7 多普勒效应与冲击波多普勒效应与冲击波现象现象: 当波源当波源,接收器接收器,介质有相对运动时介质有相对运动时,接收器接收器 测得的频率与波源不同测得的频率与

26、波源不同. 例例:火车驶过时气笛声调的变化等火车驶过时气笛声调的变化等. 设介质不动设介质不动,波源和接收器只沿连线方向运动波源和接收器只沿连线方向运动.一一 波源不动，接收器以速度波源不动，接收器以速度vr运动运动.uvrsrsrrruvuuvuvuS靠近靠近s: vr 0远离远离s: vr 05-6 多普勒效应与冲击波多普勒效应与冲击波二二 接收器静止，波源以速度接收器静止，波源以速度vs运动运动vsss 由于波源向前运动，单位时间里波向前传播由于波源向前运动，单位时间里波向前传播的距离缩短的距离缩短,波源频率不变波源频率不变,因而波长变短为因而波长变短为: ssvuuvsu-vs接收器测

27、得的频率为接收器测得的频率为:ssrvuuu靠近靠近: vs 0远离远离: vs 0波源运动使波长波源运动使波长在各方向不同在各方向不同. 波源速度大于波源速度大于波速波速.形成冲击波形成冲击波.马赫锥马赫锥 当当S 向向D靠近速度靠近速度 vs u 时时srvuuS失去意义失去意义！三三 波源和接收器同时运动波源和接收器同时运动ssrrvuvu相向运动相向运动: vr vs 0相背运动相背运动: vr vs 0锥面外无扰动，锥面处振幅大锥面外无扰动，锥面处振幅大 产生巨大的冲击力产生巨大的冲击力冲击波冲击波马赫波马赫波。船在水中产生艏波。船在水中产生艏波。激波激波：激波：波源不动波源不动 波

28、源向右波源向右运动运动(vs u) 波源向右运波源向右运动动(vs u)马赫锥马赫锥uttvsMvus1sinM马赫数马赫数1svMu马赫马赫锥半顶角锥半顶角2当：当：第八章完第八章完三种表达式0cos()xyAtu 02cos()yAtx 02cos()txyAT 2ku 角波数：角波数： 波向前传波向前传播单位距离播单位距离所落后的位所落后的位相。相。平面简谐波的表达式平面简谐波的表达式: op0t uxxu时时间间落落后后 t t= =00cos()yAt 02tx 相相 位位能量密度 可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相邻的上一个体积元可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相邻的上一个体积元接收能量，并传递给与其相邻的下一个体积元的能量传播过程接收能量，并传递给与其相邻的下一个体积元的能量传播过程。振动速度振动速度体体积积元元 的的动能动能势能势能总能量总能量设设 一平面简谐波一平面简谐波媒质密度媒质密度处取体积元处取体积元体积元的质量体积元的质量在在能量密度能量密度lim平均能量密度平均能量密度是是在一周期内的时间平均值。在一周期内的时间平均值。单位：单位：焦耳焦耳 米米（ J m 3 ）t 给定给定, w