3周期信号基于指数函数的正交分解

1、信号与系统§3.3 周期信号基于e jw t 的正交分解叶级数航空航天大学2013-3-6学院一、三角函数形式叶级数周期函数f(t):周期为T1 , 角频率为w1= 2 T1（Dirichlet ）条件在一个周期内f(t):满足1） 间断点的个数有限2） 极大值和极小值的数目有限3） 绝对可积¥f (t ) = a0 + å(an cos nw1t + bn sin nw1t )（3.3.1）n=1a0,an,bn分别称为f(t)的直流分量、n次谐波的余弦分量幅 度及正弦分量幅度。u 从信号分解的角度来看，这是周期信号f(t)基于完备正 交函数集cos(n1t),

2、sin(n1t)(n=0,1,)的正交分解 X一、三角函数形式叶级数因为T1ò-× sin mw1t = 02ìT1T m = n m ¹ n m = nm ¹ nï,12òcos nw t × cos mw t = í 2T11 12-îï 0,ìT1T ï,12òsin nw t × sin mw t = í 2T11- 12ïî 0,由式（3.2.17）可得T12Tòf (t ) cos 0w tdt

3、1T12TT12T111-òòf (t ) cos 0w tdt =a=2f (t )dt01T12TTT11-òcos2 0w tdt112211-2 X一、三角函数形式叶级数T12Tòf (dtT122-1=2af (dt12òT12cos212T-12òf (dtTT1221-=b2f (dtòsin222T1-2由于cos(n1t)和sin(n1t)分别为变量n的偶函数和奇函数， 因此an和 bn 分别为 的偶函数和奇函数。 X二、信号的频谱通过三角函数的和差化积的，可以将式（3.3.1）表示成只含余弦和正弦函数的形

4、式。¥f (t ) = a0 + å(an cos nw1t + bn sin nw1t )n=1（3.3.1）¥f (t ) = c0 + å cn cos (nw1t + fn )n=1æö-ba= c cosfb= -c sinf+ b2 , f= tg-其中c = a , c=a21,nç÷nnnnnn00nnnnaènø¥f (t ) = d0 + å dn sin (nw1t + qn )n=1+ b2 , q= tg-1 æ bnöa= d

5、sinq, b= d cosq其中d= a , d=a2ç a÷nnnnnn00nnnnèn ø X三、指数函数形式叶级数幅度频率特性是指周期信号分解为余弦函数表示时，不同 谐波频率的余弦函数的幅度值 Cn随谐波频率n1的变化关系，称为信号的幅度频谱，幅度谱。c=a2+ b2nnn相位频率特性则是不同谐波频率的余弦函数的初始相位n随谐波频率n1 的变化，称为信号的相位频谱，相位谱。相位谱以2为周期。æö-bf-1= tgnç÷naènø幅度谱和相位谱合起来周期信号的频谱函数，频谱。频谱的特性：离

6、散性、谐波性、收敛性 X三、指数函数形式叶级数¥f (t ) = a0 + å(an cos nw1t + bn sin nw1t )n=1（3.3.1）sinwt = 1 (e jwt)coswt = 1 (ejwt +e-jwt)- e- jwt2j2¥f (t ) = a0 + å(an cos nw1t + bn sin nw1t )n=1¥æ aöjb(e) -(e)÷= a0 + åçjnw1jnw122n=1 èø¥+ å- jbö

7、a= an nn eç÷022n=1 èø X三、指数函数形式叶级数a- jb¥öf (t ) = a + ån nn eç÷022n=1 èø= an ,= -bna- nb- na - b¥¥f (t ) = a+ å nn en022- jn=1n=1-1a - b¥+ å= an nn e022n=1n=-¥¥F (nw) e jnw1tå=1n=-¥ìF (nw1 ) = a0

8、 ,n = 0n=¥ï()f (t ) =ån=-¥wew tjnFn1其中ían - jbn1ïîF (nw1 ) =n ¹ 0,2 X三、指数函数形式叶级数a- jb¥öf (t ) = a + ån nn eç÷0n=1 è22ø= an ,= -bna- nb- na - b¥¥f (t ) = a+ å nn en022- jn=1n=1-1a - b¥+ å= an nn e022n=

9、1n=-¥¥åF (nw) e jnw1t=1n=-¥ìF (nw1 ) = a0 ,n = 0,n ¹ 0n=¥ïf (t ) =ån=-¥()w twejnFn1其中ían - jbn1ïîF (nw1 ) =2F (nw1 )周期信号的复数频谱，复数谱 X三、指数函数形式叶级数直接利用信号正交分解T12T1+ jsin nw t )× (cos mw t + jsin mw t )dtòejnw1t × ejmw t dT111-

10、1- 122n ¹ mn = mì 0,T12ejnw1t òejnw1t× ejmw1t dt = í为正交函数集TS ,-1în2T12Tòf (t )e- jnw1t dtT12T11-F (nw ) =òf (t )e- jnw1t dt= 2T11T1-ò1n12edt2T-12a - jbT1T11òò=dt - jdt = nn 2f (f (T T TT1212-11 X三、指数函数形式叶级数当n=0时，T121F (nw )ò- jnw=1tf (t )ed

11、tT1Tn=0n=0-112T121f (t )dt = aò=T0T-112 X三、指数函数形式与三角函数形式叶级数的将复数表示为模与辐角的形式（直角坐标极坐标），则(j= j (nw )F (nw ) =()wjjFnenn111其中模称为复数频谱的幅度谱，辐角称为相位谱，即æö-bF (nw ) = 1+ b2 = 1 cj-= tg1na2ç÷n1nnna22ènø注意： |F(n1)|和n分别为n1的偶函数和奇函数f (t )t XE××× ××× -T1

12、-t /2 t /2T1三、指数函数形式与三角函数形式叶级数的三角函数形式显然在一个周期内，信号f(t)为偶函数，则bn=0, 且t2t2EtE1f (t )dt =òòa =Edt =tt0TTT-12121t2t2Eòcos nw tdta=n1T-124Esin nw1t =nw1T12Ew tw tæön=1Sa1ç÷p2èø¥f (pT12èøn=1 X三、指数函数形式与三角函数形式叶级数的指数函数形式显然在一个周期内，信号f(t)为偶函数，则bn=0, 且tEF (nw ) =ò- jnw1t dte2t1T-12t2E1T1 - jnwe- jnw1t=-t2- Eée- jnw1t 2 - e jnw1t 2ùúû=êëjnw T1 1= Ett öæSa ç nw12 ÷Tèø1 X三、指数函数形式与三角函数形式叶级数的频谱对比F (nw1 )CnEtT1C0w0w0CnF (nw )Et1T1C0w0w0f (nw1 )j (nw1 )pw0w-p-p X三、指数函数形式与