2019高考数学总复习第8章86空间向量的概念及其运算精品理北师大版ppt课件

1、8.6空间向量的概念及其运算空间向量的概念及其运算考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考8.6空空间间向向量量的的概概念念及及其其运运算算双基研习双基研习面对高考面对高考1空间向量的有关概念空间向量的有关概念双基研习双基研习面对高考面对高考名称名称定义定义空间向量空间向量在空间里，具有在空间里，具有_和和_的的量叫作空间向量，其大小叫作向量的量叫作空间向量，其大小叫作向量的_或或_自由向量自由向量与向量的与向量的_无关的向量无关的向量单位向量单位向量长度或模为长度或模为_的向量的向量(非零向量非零向量a的单位向量的单位向量a0_)零向量零向量长度为长度为_的向量的向量

2、相等向量相等向量方向方向_且模且模_的向量的向量相反向量相反向量方向方向_而而_相等的向量相等的向量大小大小方向方向长度长度模模起点起点10一样一样相等相等相反相反模模AOBa，bab平行平行重合重合共线向量共线向量平行向量平行向量ab直线直线l垂直于垂直于平行平行思考感悟思考感悟 如何由直线的方向向量求直线的斜率？如何由直线的方向向量求直线的斜率？2共线向量、共面向量定理和空间向量基本定共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理理(1)共线向量定理共线向量定理对空间任意两个向量对空间任意两个向量a，b(b0)，共线的充要条件，共线的充要条件是是_.存在实数存在实数，使，使abxayb1(3)空

3、间向量基本定理空间向量基本定理如果向量如果向量e1，e2，e3是空间三个是空间三个_的向量，的向量，a是空间任一向量，那么存在惟一一组实数是空间任一向量，那么存在惟一一组实数1，2，3，使得，使得a1e12e23e3.空间中不共面的三个向量空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间叫作这个空间的一个的一个_3空间向量的数量积及运算律空间向量的数量积及运算律(1)两向量的数量积两向量的数量积已知空间两个非零向量已知空间两个非零向量a，b，即，即_叫作向量叫作向量a，b的数量积，记作的数量积，记作_，即，即ab|a|b|cosa，b不共面不共面基底基底|a|b|cosa，bab(2)空间向

4、量数量积的运算律空间向量数量积的运算律结合律：结合律：(a)b_；交换律：交换律：abba；分配律：分配律：a(bc)_.4空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量的标准正交分解与坐标表示(1)在给定的空间直角坐标系中，在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为分别为x轴，轴，y轴，轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量量a，存在惟一一组三元有序实数，存在惟一一组三元有序实数(x，y，z)，使得，使得a_把把_叫作叫作a的标准正交分解，把的标准正交分解，把_叫作标准正交叫作标准正交基基_叫作空间向量叫作空间向量a的坐标，记作的坐标，记作a(x，y，z)

5、_叫作向量叫作向量a的坐标表的坐标表示示ababacx iy jz kax iy jz ki，j，k(x，y，z)(x，y，z)( 2 ) 若若 b 0 为为 b 的 单 位 向 量 ， 称的 单 位 向 量 ， 称_为向量为向量a在向量在向量b上的投上的投影影向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影5空间向量坐标表示及应用空间向量坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算数量积的坐标运算若若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则，则_.(2)共线与垂直的坐标表示共线与垂直的坐标表示ab0|a|cosa，baba1b1a2b2a3b3设设a(a1，a2

6、，a3)，b(b1，b2，b3)，则，则ab_a1b1，a2b2，a3b3，ab_ (a，b均为非零向量均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式模、夹角和距离公式设设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，abab0a1b1a2b2a3b30答案：答案：DA1B2C3 D4答案：答案：B答案：答案：B4(教材习题改编教材习题改编)已知已知a(1，3,2)，b(1,2,0)，若存在，若存在c使使ac且且bc5，则，则c_.考点探究考点探究挑战高考挑战高考空间向量的线性运算空间向量的线性运算用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题

7、的关键要正确理解向量加法、减形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立法的平行四边形法则在空间仍然成立 (2019年合肥调研年合肥调研)对于任何空间四边形，对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边试

8、证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面平行于同一平面【思路点拨】要证线段共面，只须证明相应向【思路点拨】要证线段共面，只须证明相应向量共面量共面【证明】如下图，利用多边形加法法则可【证明】如下图，利用多边形加法法则可得，得，【名师点评】注意向量在加减法中的方向【名师点评】注意向量在加减法中的方向 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算 如下图，在正四棱柱如下图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知中，已知AB2，AA15，E、F分别为分别为D1D、B1B上的点，且上的点，且DEB1F1.(1)求证：求证：BE平面平面ACF；(2)求点求点E到平面到平面ACF的距离的距离【

9、思路点拨】根据题意，建立合理的坐标系，【思路点拨】根据题意，建立合理的坐标系，利用向量的坐标运算解决所求问题利用向量的坐标运算解决所求问题【解】如图，以【解】如图，以D为原点，为原点，DA、DC、DD1所所在直线分别为在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系，则则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,5)，E(0,0,1)，F(2,2,4)连结连结AE.【名师点评】在计算和证明立体几何问题时，【名师点评】在计算和证明立体几何问题时，若能在原图中建立适当的坐标系，把图形中的点若能在原图中建立适当的坐标系，把图形中的点的坐标求

10、出来，那么图形中有关问题可用向量表的坐标求出来，那么图形中有关问题可用向量表示，利用空间向量的坐标运算来求解，这样可避示，利用空间向量的坐标运算来求解，这样可避免较为复杂的空间想象免较为复杂的空间想象共面共线问题共面共线问题 (2019年南昌调研年南昌调研)已知已知E、F、G、H分别分别是空间四边形是空间四边形ABCD的边的边AB、BC、CD、DA的的中点，中点，【思路点拨】利用共线定理、共面定理【思路点拨】利用共线定理、共面定理证明证明【名师点评】在求一个向量由其他向量来表【名师点评】在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行

11、四边形法则和共线向量的特点，把要求的向行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解若量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性量满足线性ab关系，即可判定两直线平行，关系，即可判定两直线平行，如第如第(1)(2)问即是如此问即是如此方法技巧方法技巧1建立了坐标系，向量的线性运算及数量积就可建立了坐标系，向量的线性运算及数量积就可以用坐标运算代替，即几何问题代数化以用坐标运算代替，即几何问题代数化(如例如例2)2用空间三个不共面的向量组用空间三个不共面的向量组a，b，c可以表示可

12、以表示出空间任意一个向量，而且出空间任意一个向量，而且a，b，c的系数是唯一的系数是唯一的的(如课前热身如课前热身2)3用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点间距离或线段长度求异面直线所成的角，求两点间距离或线段长度以及证明线线垂直，线面垂直等典型问题以及证明线线垂直，线面垂直等典型问题(如例如例2)4熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理、数量积的性共面向量定理、空间

13、向量基本定理、数量积的性质等质等(如例如例1、例、例3)失误防范失误防范1利用坐标运算解决立体几何问题，降低了推理难利用坐标运算解决立体几何问题，降低了推理难度，可以避开一些较复杂的线面关系，但较复杂的度，可以避开一些较复杂的线面关系，但较复杂的代数运算也容易导致出错因而，在解决问题时，代数运算也容易导致出错因而，在解决问题时，可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套2用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决

14、；求异面直线所成的角，度，一般用向量的模来解决；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化；解决垂直问题一般可范围不同，最后应进行转化；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零转化为向量的数量积为零3空间向量的加法、减法经常逆用，来进行空间向量的加法、减法经常逆用，来进行向量的分解向量的分解4几何体中向量问题的解决，选好基底是关几何体中向量问题的解决，选好基底是关键键考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考从近几年的高考来看，空间向量的数量积及应用在从近几年的高考来看，空间向量的数量积及应用在高考中偶尔有所体现，

15、其他知识体现较少，题型有高考中偶尔有所体现，其他知识体现较少，题型有选择题、解答题解答题中一般考查学生综合运用选择题、解答题解答题中一般考查学生综合运用知识解决问题、处理问题的能力知识解决问题、处理问题的能力预测预测2019年高考仍将以空间向量的数量积与解决立年高考仍将以空间向量的数量积与解决立体几何问题为考查点，考查学生的运算能力，分析体几何问题为考查点，考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力问题、解决问题的能力【名师点评】【名师点评】(1)解决存在与否类的探索性问题解决存在与否类的探索性问题一般有两个思路：一是直接去找存在的点、线、一般有两个思路：一是直接去找存在的点、线、面或是一些

16、其他的量；二是首先假设其存在，然面或是一些其他的量；二是首先假设其存在，然后通过推理论证或是计算，如果得出了一个合理后通过推理论证或是计算，如果得出了一个合理的结果，就说明其存在；如果得出了一个矛盾的的结果，就说明其存在；如果得出了一个矛盾的结果，就说明其不存在结果，就说明其不存在(2)利用向量线性运算证明立体几何的相关问题：利用向量线性运算证明立体几何的相关问题：要用向量表示相关的量；根据证明的需要对要用向量表示相关的量；根据证明的需要对向量进行运算，运算可以结合实际图形，以图形向量进行运算，运算可以结合实际图形，以图形为指导是解题的关键；要注意利用空间向量解为指导是解题的关键；要注意利用空间向量解决立体几何中各种问题的方法，如证明线线垂直，决立体几何中各种问题的方法，如证明线线垂直，可以证其向量的数量积为零；如证明四点共面，可以证其向量的数量积为零；如证明四点共面，可以证从同一点出发的三个向量共面；如求线线可以证从同一点出发的三个向量共面；如求线线夹角，可以利用其向量的数量积夹角