2019线性代数第3章习题解答ppt课件

1、洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容罗尔中值定理：罗尔中值定理：，使使得得则则至至少少存存在在一一点点),(b

2、a . 0)( f(3) f (a)= f (b) ; :)( xf若若内内可可导导；在在开开区区间间),(2) ba上上连连续续；在在闭闭区区间间,)1( ba减少一个条件减少一个条件推广：推广：1.几何解释：几何解释： 曲线曲线 y=f(x) 至少有一条水平切线。至少有一条水平切线。掌握四个微分中值定理掌握四个微分中值定理拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：. 0)( f，使使得得则则至至少少存存在在一一点点),(ba (3) f (a)= f (b) ; :)( xf若若内内可可导导；在在开开区区间间),(2) ba上上连连续续；在在闭闭区区间间,)1( ba(3) f (a)= f (

3、b) ;1).)()()( abfafbf .几何解释：几何解释： 曲线曲线 y = f (x) 至少有一条切线平行于至少有一条切线平行于连接曲线端点的弦。连接曲线端点的弦。.).)()()( abfafbf ，使使得得则则至至少少存存在在一一点点),(ba :)( xf若若内内可可导导；在在开开区区间间),(2) ba上上连连续续；在在闭闭区区间间,)1( ba.柯西中值定理：柯西中值定理：).,( 0)(3) baxxF 11 :)()( xFxf和和若若. )()()()()()( FfaFbFafbf .曲线曲线 至少有一条切线平行于连接曲线端点的弦。至少有一条切线平行于连接曲线端点的

4、弦。 )()(xfYxFX几何解释：几何解释：曲线的参数式方程曲线的参数式方程, x为参数为参数.).( ! )0(! 2)0()0()0()( )(2nnnxxnfxfxffxf 1),()(0 nbaxxf内内具具有有直直到到的的某某个个开开区区间间在在含含有有若若.泰勒中值定理：泰勒中值定理：. 200000)(! 2)()()()( xxxfxxxfxfxf有有阶阶的的导导函函数数，则则对对),(bax 其其中中，.0之之间间某某个个值值与与是是这这里里xx )()(! )( 00)(xRxxnxfnnn .:,0 0此此公公式式叫叫麦麦克克劳劳林林公公式式当当 x. 叫拉格朗日型余项

5、叫拉格朗日型余项)( )(0nnxxxR )(! )1()(10)1( nnxxnf .用用( )的的n次多项式逼近次多项式逼近 f ( x) .0 xx oo)(xRn. 叫皮亚诺型余项叫皮亚诺型余项o112! )1(e! ! 21 nnxnnxxxo2mmmmxmmxxxx212153! )2(sin)1(! )12()1( ! 5! 3 o3121242! )12(cos)1(! )2()1( ! 4! 21 mmmmxmmxxx .)0(之之间间与与在在x 2. 常用常用麦克劳林公式：麦克劳林公式：)0(之之间间与与在在x )0(之之间间与与在在x xexsinxcoso4 nxxxx

6、nn 132)1( 32o5nxnnxx! )1()1( ! 2)1(12 .)0(之之间间与与在在x .)1)(1()1( 11 nnnnx ) 1( ! )1()()1(11 nnxxnn 1)(0 .)ln(1x )1(x 5 5、洛必达法则、洛必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.型未定式型未定式型及型及 00.10型型未未定定式式000,1 ,0 ,0.2 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的

7、类型的类型 . .),00()( 注意：洛必达法则的使用条件注意：洛必达法则的使用条件. 原原式式30)(sin1sin1lim . 1 xxxx 例例21xxx6sinlim210 30sinlimxxxx 1216121 2031coslim21xxx xx 1sin11 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？用洛必达法则求未定式极限应注意什么？1o. 及时求出已定式的极限及时求出已定式的极限.xxxxxsinsinlim . 2 例例. cos lim 不不存存在在因因为为xx xxxxxsin1sin1lim 原原式式xxxcos1cos1lim 2o. 需要先验证条件需要先验证条件.应

8、该怎么做？应该怎么做？. 1 .6 6、导数的应用、导数的应用定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上单调减少在，那末函数内如果在上单调增加；在，那末函数内如果在可导内上连续，在在设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy(1) 函数单调性的判定法函数单调性的判定法.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成

9、立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个点的一个点内内是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义(2) 函数的极值及其求法函数的极值及其求法 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数,且且在在0 x处取得极值处取得极值,那末必定那末必定0)(0 xf.定理定理( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为

10、极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值点极值的点称为极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值, ,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值. .驻点和不可导点统称为临界点驻点和不可导点统称为临界点. .(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值.(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.(3)如果当如果当),(00 xxx 及及

11、),(00 xxx时时, )(xf符符 号相同号相同,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值.定理定理( (第一充分条件第一充分条件) ) 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数,且且0)(0 xf, 0)(0 xf, 那末那末(1)当当0)(0 xf时时, 函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值;(2)当当0)(0 xf时时, 函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.定理定理( (第二充分条件第二充分条件) )求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()()3(判断极值点判断

12、极值点该点的符号该点的符号在在在驻点左右的正负号或在驻点左右的正负号或检查检查xfxf .)4(求极值求极值步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个那个小那个就是最小值就是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值, ,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(.(最大值或最小值最大值或最小值) )(3) 最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :1)建立目标函数建立目标函数;2

13、)求最值求最值;（或或最最小小）值值函函数数值值即即为为所所求求的的最最大大点点，则则该该点点的的若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻(4) 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义;)(,2)()()2(,)(212121的的上的图形是（向上）凹上的图形是（向上）凹在在那末称那末称恒有恒有两点两点上任意上任意如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设IxfxfxfxxfxxIIxf ;)(,2)()()2(,212121的的上的图形是（向上）凸上的图形是（向上）凸在在那末称那末称恒有恒有上任意两点上任意两点如果对区间如果对区间IxfxfxfxxfxxI ;)(,)(,)(),(,)(的的或

14、或凸凸内内的的图图形形是是凹凹在在那那末末称称的的或或凸凸内内的的图图形形是是凹凹且且在在内内连连续续在在如如果果baxfbabaxf定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在导数导数内具有二阶内具有二阶在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 连连续续曲曲线线上上凹凹凸凸的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点.定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx内内存存在在二二阶阶导导数数 , 则则 点点 )(,00 xfx是是 拐拐

15、 点点 的的 必必 要要 条条 件件 是是0)(0 xf.方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数;)(,(,)()1(000即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 方法方法2:2:.)()(,(, 0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点曲线曲线是是那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf , xfax )(lim若若.,a xxfx )(lim若若 是是斜斜渐渐近近线线。则则 b

16、xay , baxxfx )(lim是铅直渐近线；则ax (5). 给定函数给定函数 y = f (x) ,求其铅直渐近线及斜渐近线求其铅直渐近线及斜渐近线. . 0 就就是是水水平平渐渐近近线线。），（其其中中，当当 bya .(6) 函数图形的描绘函数图形的描绘利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形. (7). (7).求极限的方法：求极限的方法： （1 1基本方法；（基本方法；（2 2利用重要极限；（利用重要极限；（3 3利用函数的连续性；利用函数的连续性；（4 4使用使用LHospitalLHospital法则；（法则；（5 5利用等价无穷小代换；（利用等价无穷小代换；（6

17、6利利用极限存在准则；（用极限存在准则；（7 7利用微分中值定理包括带利用微分中值定理包括带PeanoPeano型余项的型余项的TaylorTaylor公式）；公式）； (8) (8)不等式的证明方法：不等式的证明方法： （1 1初等方法略）；（初等方法略）；（2 2利用函数的单调性；（利用函数的单调性；（3 3利用利用微分中值定理包括微分中值定理包括TaylorTaylor公式）；（公式）；（4 4利用函数的最大最小值；利用函数的最大最小值；（5 5其它方法。其它方法。 二、课堂练习二、课堂练习 1. 1.填空题：填空题：302sin2(1)lim_.xxxx00302sin2 limxxx

18、x解解002022cos2lim3xxx04sin24lim.63xxx43(2)arctane0, 1xyx在在上上的的最最大大值值是是_ _ _ _ _ _ _. .2max1 (0, 1e0,0 11(0)1.xxyyxyy 解解在在 ， 上上严严格格递递减减，故故12(3)e_xy在在区区间间内内是是凸凸曲曲线线。22222 e,2(2)e.2020,2, 2 .xxyxyxxxy 解 解 仅当即时,故其凸区间为仅当即时,故其凸区间为2, 2 2. 2.选择填空题选择填空题 （1 1设设 在在 的某邻域内有定义，且的某邻域内有定义，且( )f x0 x0022( )()lim0,()x

19、xf xf xAxx那么那么 在在 点点 . .( )f x0 x （A A有极大值；有极大值； （B B有极小值；有极小值； （C C无极值；无极值； （D D不能判定是否取得极值。不能判定是否取得极值。 解解 由极限的保号性知，由极限的保号性知，0020( )()(),0,()f xf xxN xxx 有有000( )()0,( )(),f xf xf xf xx即即在在 点点有有极极小小值值。B （2 2方程方程 在区间在区间 内内 . .3310 xx (0, 1) （A A无实根；无实根； （B B有惟一实根；有惟一实根； （C C有两个实根；有两个实根； （D D有三个实根。有三个

20、实根。322( )(31)333(1)0fxxxxx( )(0, 1)(0, 1)f x知知，在在内内严严格格递递减减，所所以以此此方方程程在在内内有有且且仅仅有有一一个个根根。B 解解 令令3( )31,0, 1.f xxxfC则则(0)10,(1)10,( )0(0, 1)fff x 在在内内;至少至少有一个根 又由有一个根 又由 （3 3设曲线方程为设曲线方程为 那么那么 . .sinarctan(1),xyxx （A A曲线没有渐近线；曲线没有渐近线； （B B） 是曲线的渐近线；是曲线的渐近线； （C C） 是曲线的渐近线；是曲线的渐近线； （D D） 是曲线的渐近线。是曲线的渐近线

21、。2y 0 x 2y 解解 因为因为 所以所以 是曲线的水平渐近线。是曲线的水平渐近线。lim,2xy ,2y B （4 4设设 和和 在在 上都可导且恒正上都可导且恒正 ，假设，假设 则当则当 时时, ,不等式不等式 . .( )f x( )g x , a b()ab( ) ( )( )( )0,fx g xf x g x( , )xa b( )( )(A)( )( )f xf ag xg a成立；成立；( )( )(B)( )( )f xf bg xg b成立；成立；(C) ( ) ( )( ) ( )f x g xf b g b成成立立；(D) ( ) ( )( ) ( )f x g x

22、f a g a成成立立. . ( ) ( )( ) ( )( )( )0,( ) ( )( , ) ( ) ( )( ) ( )f x g xfx g xf x g xf x g xa bf x g xf b g b 解解在在内内严严格格递递减减，故故不不等等式式成成立立。C 4. 4.在直线在直线 上求一点，使其与点上求一点，使其与点 和点和点的距离平方和为最小。的距离平方和为最小。30 xy(1,1)A(2,3)B 解解 设设 是直线上任意一点，则该点到是直线上任意一点，则该点到 两点两点之距离的平方和为之距离的平方和为化简得化简得( , )( ,3 )x yxx即即,A B2222( )

23、(1)(31)(2)(33) ,u xxxxx2( )203015, .u xxxxR3( )40300,.43493 9,44 4u xxxxy令 得惟一驻点令 得惟一驻点 由问题的实际意义，可知就是最小值点，此时由问题的实际意义，可知就是最小值点，此时故即为所故即为所 求的点。求的点。 5. 5.设设 在在 上连续，在上连续，在 内内 . .证明：证明：( )( )( )( )( , ),.f xf af bf axa bxaba 有有( )f x , a b( , )a b( )0fx 解解 作辅助函数作辅助函数 那么那么( )( )( ),.f xf axaxbxa2( )( )( )

24、( )()f xf xf axx ax a( )( ),.f xfx aaxx a 中中值值公公式式( )0,( )( )( ),( )0,( )( , ),( )( ),fxfxfxfxxxa bxb 由由可可知知严严格格递递减减，于于是是故故从从而而严严格格递递减减，故故有有即即( )( )( )( ).f xf af bf axaba 7. 7.证明不等式：证明不等式：2sin 0.2xxxx其中其中 证证 因为因为 ，故原不等式等价于，故原不等式等价于0, 2xsin21.xx22cossintan( )0,cosxxxxxfxxxx 令令 , , 那么那么 在在 上连续。上连续。 因

25、为因为 即即 在在 上严格递减上严格递减, ,故故 有有 sin,0,2( )1,0 xxxf xx( )f x0, 20, ,2x 0, 20, ,2x ( )f xsin21.xx ( )(0),2ff xf 即即 8. 8.设设 在在 内可微，且内可微，且 是减函数，是减函数，( )f x0, )( )fx(0)0.f证明：证明： 恒有恒有12,(0, )x x1212()()().f xf xf xx12121211112211111211222122220, ()(0)()(),()().( ), 0; 0()()()()()() xxxf xfff xfxxxf xxxf xxf

26、xfxxf xxf xfxxxx 证证 不不妨妨设设因因为为在在和和上上满满足足L La ag gr ra an ng ge e定定理理的的条条件件，故故有有即即 ， 和和 （即即，）, ,12.xx21212121121211212 () ()()()() ,0.( )()()0,( )()().f xxf xf xxffxxfxfff xf xf xx两两式式相相减减得得所所以以有有 其其中中由由单单调调减减知知 9. 9.证明方程证明方程 恰有两个不同的实根。恰有两个不同的实根。2sincosxxxx2( )sincos ,( )(, )f xxxxxf x 证证 令令则则在在内内连连续

27、续。 220,(0)10,2420,( )242ffff x 易易知知故故至至少少有有两两个个实实零零点点，即即原原方方程程至至少少有有两两个个实实根根。 ( )2sincossin(2cos ),.( )00.0( )0,( )0( )0,fxxxxxxxx xfxxxfxf xxfxR又又令令得得因因为为当当严严格格递递减减，故故方方程程至至多多只只有有一一个个小小于于零零的的实实根根；当当故故方方程程至至多多只只有有一一 时时而而时时个大于零的实根；总之，方程至多只有两个实根，所以方程个大于零的实根；总之，方程至多只有两个实根，所以方程恰有两个不同的实根。恰有两个不同的实根。 另证：另证

28、：2( )sincos ,( )(, )f xxxxxf x 令令 在在 则则内内连连续续。12( )(2cos )00. ( )2cossin ,(0)10,(0)1lim( ), lim( ),( )0(, 0),(0, ).xxfxxxxfxxxx fff xf xf x 令令得得惟惟一一驻驻点点因因为为故故是是极极小小值值也也是是最最小小值值；而而因因此此方方程程至至少少有有两两个个不不同同的的实实根根：(, 0)( )0,( )(, 0)(0, )( )0,( )(0, )fxf xfxf x 又因为在内即在内严格递减，又因为在内即在内严格递减，而在内即在内严格递增，所以而在内即在内

29、严格递增，所以方程至多有两个不同的实根。方程至多有两个不同的实根。2sincosxxxx 综综上上可可得得方方程程恰恰有有两两个个不不同同的的实实根根。 * *11 11 设设 求求1(1)e,0,( )0,0,xxxf xx( ).fx11ln(1)0( )(1)eexxxxfxx 解 当时,解 当时, 1ln(1)21211eln(1)(1)11(1)ln(1) ;(1)xxxxxxxxxxxx 101200(1)e( )lim ln(1)1(1)(1) 0 0lim1xxxxxxfxxxxxxx时时当,当, 20ln(1)1 lim (1e )xxxxx 20(1)ln(1) lim (

30、1)0e0 xxxxxx 22001ln(1) 1ln(1) elimelim 323200 xxxxxxxx 011e lim ;622xxx 12ln(1)1(1),0,(1)( )e, 0.2xxxxxxxfxx 12. , ,( , ),(0),( )( )( , ),s.t. ( )( ).fC a bfD a babaf bbf aa bffab 若若则则试分别用试分别用RolleRolle定理、定理、LagrangeLagrange和和CauchyCauchy定理证明之。定理证明之。 证证 用用RolleRolle定理定理 ：令：令那么那么( )( )( )1( ),af bbf af xxabxx( )( ) , ,( , ),( )( ),f bf aC a bD a babab且且 由由RolleRolle定理知，定理知，22 ( , ),s.t( )( )( )( )1( )0,a baf bbf affab ( )( )( )( ).af bbf affab即即 证证 用用RolleRolle定理定理 ：令：令那么那么( )( )( )1( ),af bbf af xxabxx( )( ) , ,( , ),( )( ),f bf aC a bD a babab且且 证证 用用LagrangeLagrange定理定理 那么那么