2019高考数学总复习85直线、平面垂直的判定及性质ppt课件

1、8.5 8.5 直线、平面垂直的判定及性质直线、平面垂直的判定及性质要点梳理要点梳理1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直 （1 1判定直线和平面垂直的方法判定直线和平面垂直的方法 定义法定义法. . 利用判定定理：一条直线和一个平利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条面内的两条 直线都垂直，则该直线和此平直线都垂直，则该直线和此平面垂直面垂直. . 推论：如果在两条平行直线中，有推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直一条垂直 于一个平面，那么另一条直线也于一个平面，那么另一条直线也 于这个平面于这个平面. .相交相交垂直垂直基础知识基础知识 自主学习自主学习 (2) (2)直线和平面垂直的性

2、质直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内直线垂直于平面，则垂直于平面内 直线直线. . 垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一个平面的两条直线 . . 垂直于同一直线的两平面垂直于同一直线的两平面 . .2.2.斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线 和平面所成的角和平面所成的角. .3.3.二面角的有关概念二面角的有关概念 （1 1二面角：从一条直线出发的二面角：从一条直线出发的 所所 组成的图形叫做二面角组成的图形叫做二面角. .任意任意平行平行平行平行两个半平面两个半平面 （2 2二面角的平面角：

3、以二面角的棱上任一点二面角的平面角：以二面角的棱上任一点 为端点，在两个半平面内分别作为端点，在两个半平面内分别作 的两的两 条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平 面角面角. .4.4.平面与平面垂直平面与平面垂直 (1)(1)平面与平面垂直的判定方法平面与平面垂直的判定方法 定义法定义法. . 利用判定定理：一个平面过另一个平面的利用判定定理：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直，则这两个平面垂直. . (2) (2)平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于两平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线的直线 垂直于另

4、一个平面垂直于另一个平面. .垂直于棱垂直于棱一条垂线一条垂线交线交线基础自测基础自测1.1.设设l l、m m、n n均为直线，其中均为直线，其中m m、n n在平面在平面内，内， 那么那么“ll是是“lmlm且且lnln的的( )( ) A. A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 当当ll时，时，lmlm且且ln.ln.但当但当lm,lnlm,ln 时，若时，若m m、n n不是相交直线，则得不到不是相交直线，则得不到l.l.A2.2.若若P P是平面是平面外一点外一点,

5、 ,则下列命题正确的是则下列命题正确的是( )( ) A. A.过过P P只能作一条直线与平面只能作一条直线与平面相交相交 B.B.过过P P可作无数条直线与平面可作无数条直线与平面垂直垂直 C.C.过过P P只能作一条直线与平面只能作一条直线与平面平行平行 D.D.过过P P可作无数条直线与平面可作无数条直线与平面平行平行 解析解析 过过P P点存在一平面与点存在一平面与平行，则该平面内平行，则该平面内 过过P P的直线有无数条都与的直线有无数条都与平行平行. .D3.3.（20212021广东理，广东理，5 5给定下列四个命题给定下列四个命题: : 若一个平面内的两条直线与另一个平面都若一

6、个平面内的两条直线与另一个平面都 平行，那么这两个平面相互平行；平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这 两个平面相互垂直；两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的 交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. . 其中，为真命题的是其中，为真命题的是( )( ) A. A.和和 B. B.和和 C. C.和和 D. D.和和解析解析 当两个平面相交时，一个平面内的两条直当

7、两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故线可以平行于另一个平面，故不对；由平面与不对；由平面与平面垂直的判定可知平面垂直的判定可知正确；空间中垂直于同一正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故条直线的两条直线可以相交也可以异面，故不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故正确正确. .答案答案 D D4.4.（20192019湖南文，湖南文，5 5已知直线已知直线m m、n n和平面和平面、 满足满足mnmn，mm，那么，那么( )(

8、 ) A.n B.n A.n B.n，或，或n n C.n D.n, C.n D.n,或或n n 解析解析 nn与与的位置关系各种可能性都有，的位置关系各种可能性都有， AA、B B都不对都不对. .当当n n时，作时，作nn,nn,且且nmnm =O, =O,则则nn与与m m确定平面确定平面,设设=l,=l,则有则有ml, ml, 又又mn,mn,所以所以ln,ln,n;ln,ln,n;当当n n 时，显然成立时，显然成立. .故故C C不对，不对，D D正确正确. .D5.5.下列命题中，下列命题中，m m、n n表示两条不同的直线，表示两条不同的直线，、 表示三个不同的平面表示三个不同

9、的平面. . 若若m,n,m,n,则则mn;mn;若若, 则则； 若若m,n,m,n,则则mn;mn;若若, m, m,则则m.m. 正确的命题是正确的命题是( )( ) A. A. B. B. C. C. D. D. 解析解析 中平面中平面与与可能相交，可能相交，中中m m与与n n可以可以 是相交直线或异面直线是相交直线或异面直线. .故故错，选错，选C.C.C题型一题型一 直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质 如下图如下图, ,已知已知PAPA矩形矩形ABCDABCD所在平面所在平面, , M M，N N分别是分别是ABAB，PCPC的中点的中点. . (1) (1)求证

10、：求证：MNCDMNCD； (2)(2)假设假设PDA=45PDA=45. . 求证：求证：MNMN平面平面PCD.PCD. (1) (1)因因M M为为ABAB中点中点, ,只要证只要证ANB ANB 为等为等 腰三角形腰三角形, ,则利用等腰三角形的性质可得则利用等腰三角形的性质可得MNAB.MNAB. (2) (2)已知已知MNCDMNCD，只需再证，只需再证MNPC,MNPC,易看出易看出 PMCPMC为等腰三角形，利用为等腰三角形，利用N N为为PCPC的中点，可的中点，可 得得MNPC.MNPC.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析证明证明 （1 1连接连接ACAC，ANAN，BNB

11、N，PAPA平面平面ABCDABCD，PAACPAAC，在在RtRtPACPAC中，中，N N为为PCPC中点，中点，PAPA平面平面ABCDABCD，PABCPABC，又，又BCABBCAB，PAAB=APAAB=A，BCBC平面平面PABPAB，BCPBBCPB，从而在从而在RtRtPBCPBC中，中，BNBN为斜边为斜边PCPC上的中线，上的中线， AN=BNAN=BN，ABNABN为等腰三角形，为等腰三角形，又又M M为底边为底边ABAB的中点，的中点，MNABMNAB，又又ABCDABCD，MNCD.MNCD.21PCAN .21PCBN (2)(2)连接连接PMPM、CM,PDA=

12、45CM,PDA=45,PAAD,PAAD,AP=AD.AP=AD.四边形四边形ABCDABCD为矩形，为矩形，AD=BCAD=BC，PA=BC.PA=BC.又又MM为为ABAB的中点，的中点，AM=BM.AM=BM.而而PAM=CBM=90PAM=CBM=90,PM=CM.,PM=CM.又又N N为为PCPC的中点，的中点，MNPC.MNPC.由由1 1知，知，MNCDMNCD，PCCD=C,PCCD=C,MNMN平面平面PCD.PCD. 垂直问题的证明，其一般规律是垂直问题的证明，其一般规律是“由已由已知想性质，由求证想判定知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已，也就是说，根据已知条件

13、去思考有关的性质定理；根据要求证的结知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来合的思路结合起来. .知能迁移知能迁移1 Rt1 RtABCABC所在平面外一点所在平面外一点S,S,且且SA=SB=SA=SB= SC SC，D D为斜边为斜边ACAC中点中点. . （1 1求证：求证：SDSD面面ABCABC； （2 2若若AB=BCAB=BC，求证：，求证：BDBD面面SAC.SAC. 证明证明 （1 1如下图，取如下图，取ABAB中点中点E E， 连结连结SESE，DEDE， 在在RtRtAB

14、CABC中，中，D D、E E分别为分别为ACAC、 ABAB的中点，故的中点，故DEBCDEBC，且，且DEAB,DEAB, SA=SB SA=SB， SABSAB为等腰三角形，为等腰三角形，SEAB.SEAB. SEAB SEAB，DEABDEAB，SEDE=ESEDE=E， ABAB面面SDE.SDE.而而SDSD面面SDESDE，ABSD.ABSD.在在SACSAC中，中，SA=SCSA=SC，D D为为ACAC中点，中点，SDAC.SDAC.SDAC,SDAB,ACAB=A,SDSDAC,SDAB,ACAB=A,SD面面ABC.ABC.（2 2若若AB=BCAB=BC，则，则BDAC

15、BDAC，由由1 1可知，可知，SDSD面面ABCABC，而，而BDBD面面ABCABC，SDBDSDBD，SDBD,BDAC,SDAC=D,BDSDBD,BDAC,SDAC=D,BD面面SAC.SAC.题型二题型二 面面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质 如下图，在四棱锥如下图，在四棱锥PABCDPABCD 中，平面中，平面PADPAD平面平面ABCDABCD，ABDCABDC， PADPAD是等边三角形是等边三角形, ,已知已知BD=2AD=8BD=2AD=8， AB=2DC=4 .AB=2DC=4 . (1) (1)设设M M是是PCPC上的一点，上的一点， 证明：平面证明：平面MBD

16、MBD平面平面PADPAD； (2)(2)求四棱锥求四棱锥PABCDPABCD的体积的体积. . (1) (1)因为两平面垂直与因为两平面垂直与M M点位置无点位置无 关，所以在平面关，所以在平面MBDMBD内一定有一条直线垂直于内一定有一条直线垂直于 平面平面PADPAD，考虑证明，考虑证明BDBD平面平面PAD.PAD. (2) (2)四棱锥底面为一梯形四棱锥底面为一梯形, ,高为高为P P到面到面ABCDABCD的距离的距离. .5(1)(1)证明证明 在在ABDABD中中,AD=4,BD=8,AB=4 ,AD=4,BD=8,AB=4 ,AD2+BD2=AB2.ADBD.AD2+BD2=

17、AB2.ADBD.又又面面PADPAD面面ABCDABCD，面，面PADPAD面面ABCD=ADABCD=AD，BDBD面面ABCDABCD，BDBD面面PAD.PAD.又又BDBD面面BDMBDM，面面MBDMBD面面PAD.PAD.(2)(2)解解 过过P P作作POADPOAD，面面PADPAD面面ABCDABCD，POPO面面ABCDABCD，即即POPO为四棱锥为四棱锥PABCDPABCD的高的高. .又又PADPAD是边长为是边长为4 4的等边三角形，的等边三角形，PO=PO=. 325在底面四边形在底面四边形ABCDABCD中，中，ABDCABDC，AB=2DCAB=2DC，四边

18、形四边形ABCDABCD为梯形为梯形. .在在RtRtADBADB中，斜边中，斜边ABAB边上的高为边上的高为此即为梯形的高此即为梯形的高. . 当两个平面垂直时，常作的辅助线是当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线在其中一个面内作交线的垂线. .把面面垂直转化为把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离等的平面角或得到点到面的距离等. .,5585484. 316322431.2455825452ABCDPABCDVS四边形知能迁移知能迁移2 2 在斜三棱柱在斜三棱柱A1B1C1ABCA1

19、B1C1ABC中，底面是等腰中，底面是等腰 三角形，三角形，AB=ACAB=AC，侧面，侧面BB1C1CBB1C1C底面底面ABC.ABC. (1) (1)若若D D是是BCBC的中点，求证：的中点，求证：ADCC1ADCC1； (2)(2)过侧面过侧面BB1C1CBB1C1C的对角线的对角线BC1BC1的平面交侧棱于的平面交侧棱于 M,M,若若AM=MA1,AM=MA1,求证：截面求证：截面MBC1MBC1侧面侧面BB1C1C.BB1C1C. 证明证明 (1)AB=AC,D(1)AB=AC,D是是BCBC的中点的中点,ADBC.,ADBC. 底面底面ABCABC平面平面BB1C1CBB1C1

20、C， 面面ABCABC面面BB1C1C=BCBB1C1C=BC， ADAD侧面侧面BB1C1C.BB1C1C. CC1 CC1面面BB1C1CBB1C1C，ADCC1.ADCC1.（2 2延长延长B1A1B1A1与与BMBM交于交于N N，连结，连结C1N.C1N.AM=MA1AM=MA1，NA1=A1B1.NA1=A1B1.A1B1=A1C1A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1.A1C1=A1N=A1B1.C1NC1B1.C1NC1B1.截面截面NB1C1NB1C1侧面侧面BB1C1CBB1C1C，面面NB1C1NB1C1面面BB1C1C=C1B1BB1C1C=C1B1，C1NC1

21、N侧面侧面BB1C1C.C1NBB1C1C.C1N面面C1NBC1NB，截面截面C1NBC1NB侧面侧面BB1C1C.BB1C1C.即截面即截面MBC1MBC1侧面侧面BB1C1C.BB1C1C.题型三题型三 线面角的求法线面角的求法 （1212分如下图，在四棱锥分如下图，在四棱锥PP ABCD ABCD中，底面为直角梯形，中，底面为直角梯形，ADBCADBC， BAD=90BAD=90，PAPA底面底面ABCD,ABCD,且且 PA=AD=AB=2BC,MPA=AD=AB=2BC,M、N N分别为分别为PCPC、PBPB的中点的中点. . （1 1求证：求证：PBDMPBDM； （2 2求求

22、BDBD与平面与平面ADMNADMN所成的角所成的角. . （1 1易证易证PBPB平面平面ADMN.ADMN. （2 2构造直线和平面所成的角，解三角形构造直线和平面所成的角，解三角形. . （1 1证明证明 NN是是PBPB的中点，的中点，PA=ABPA=AB， ANPB.BAD=90ANPB.BAD=90，ADAB.ADAB. PA PA平面平面ABCDABCD，PAAD.PAAD.PAAB=APAAB=A，ADAD平面平面PABPAB，ADPB.4ADPB.4分分又又ADAN=AADAN=A，PBPB平面平面ADMN.ADMN. 平面平面ADMNADMN，PBDM. 6PBDM. 6分

23、分（2 2解解 连接连接DNDN，PBPB平面平面ADMNADMN，BDNBDN是是BDBD与平面与平面ADMNADMN所成的角，所成的角，8 8分分在在RtRtBDNBDN中，中， 1010分分BDN=30BDN=30, ,即即BDBD与平面与平面ADMNADMN所成的角为所成的角为3030. 12. 12分分,212221sinABABBDBNBDNDM 求直线和平面所成的角，关键是利用定求直线和平面所成的角，关键是利用定义作出直线和平面所成的角义作出直线和平面所成的角. .必要时，可利用平行必要时，可利用平行线与同一平面所成角相等，平移直线位置，以方线与同一平面所成角相等，平移直线位置，

24、以方便寻找直线在该平面内的射影便寻找直线在该平面内的射影. .知能迁移知能迁移3 3 如下图，四面体如下图，四面体ABCSABCS中，中， SASA、SBSB、SCSC两两垂直，两两垂直，SBA=45SBA=45， SBC=60SBC=60，M M为为ABAB的中点的中点. .求：求： （1 1BCBC与平面与平面SABSAB所成的角；所成的角； （2 2SCSC与平面与平面ABCABC所成的角的正切值所成的角的正切值. .解解 （1 1）SCSBSCSB，SCSASCSA，SBSA=SSBSA=S，SCSC平面平面SABSAB，BCBC在平面在平面SABSAB上的射影为上的射影为SB.SB.

25、SBCSBC为为BCBC与平面与平面SABSAB所成的角所成的角. .又又SBC=60SBC=60, ,故故BCBC与平面与平面SABSAB所成的角为所成的角为6060. .（2 2连结连结MCMC，在，在RtRtASBASB中，中，SBA=45SBA=45，ASBASB为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，SMABSMAB，由由1 1知知ABSCABSC，ABSM=MABSM=M，ABAB平面平面SMCSMC， 平面平面ABCABC平面平面SMCSMC平面平面ABC.ABC.过点过点S S作作SOMCSOMC于点于点O O，SOSO平面平面ABC.ABC.SCMSCM为为SCSC与平面与平面A

26、BCABC所成的角所成的角. .由由1 1知知SCSC平面平面SABSAB，又又 平面平面SABSAB，SCSMSCSM，SMCSMC为直角三角形为直角三角形. .设设SB=aSB=a，即即SCSC与平面与平面ABCABC所成的角的正切值为所成的角的正切值为 . .,360tan,22aSBSCaSM则.66tanSCSMSCM66ABSM题型四题型四 二面角的求法二面角的求法 如下图，三棱锥如下图，三棱锥PABCPABC中，中， D D是是ACAC的中点，的中点，PA=PB=PC= PA=PB=PC= ， AC=2 AC=2 ，AB= AB= ，BC= .BC= . （1 1求证：求证：PD

27、PD平面平面ABCABC； （2 2求二面角求二面角PABCPABC的正切值大小的正切值大小. . （1 1已知三角形三边长，可考虑利用已知三角形三边长，可考虑利用 勾股定理的逆定理证明垂直勾股定理的逆定理证明垂直. . （2 2关键是找出二面角的平面角，由关键是找出二面角的平面角，由AP=PBAP=PB， 可考虑取可考虑取ABAB的中点的中点E.E.2526（1 1证明证明 连结连结BDBD，DD是是ACAC的中点，的中点，PA=PC= PA=PC= ，PDAC.PDAC.AC= AC= ，AB= AB= ，BC= BC= ，AB2+BC2=AC2.AB2+BC2=AC2.ABC=90ABC

28、=90，即，即ABBC.ABBC.PD2=PA2-AD2=3PD2=PA2-AD2=3，PB= PB= ，PD2+BD2=PB2.PDBD.PD2+BD2=PB2.PDBD.ACBD=DACBD=D，PDPD平面平面ABC.ABC.52226.221ADACBD5（2 2解解 取取ABAB的中点的中点E E，连结，连结DEDE、PEPE，由由E E为为ABAB的中点知的中点知DEBCDEBC，ABBCABBC，ABDE.ABDE.PDPD平面平面ABCABC，PDAB.PDAB.又又ABDEABDE，DEPD=DDEPD=D，ABAB平面平面PDEPDE，PEAB.PEAB.PEDPED是二面

29、角是二面角PABCPABC的平面角的平面角. .在在PEDPED中，中， PDE=90PDE=90, ,二面角二面角PABCPABC的正切值为的正切值为 . ., 3,2621PDBCDE. 2tanDEPDPED2 找二面角的平面角常用的方法有找二面角的平面角常用的方法有: :(1)(1)定义法：作棱的垂面，得平面角定义法：作棱的垂面，得平面角. .(2)(2)利用等腰三角形、等边三角形的性质利用等腰三角形、等边三角形的性质, ,取中线取中线. .知能迁移知能迁移4 4 如下图，四棱锥如下图，四棱锥PP ABCD ABCD的底面的底面ABCDABCD是直角梯形，是直角梯形， PAPA平面平面

30、ABCDABCD，且，且ADBCADBC， ADDC,ADDC,ADCADC和和ABCABC均为等腰直角三角形均为等腰直角三角形, , 设设PA=AD=DC=aPA=AD=DC=a，点，点E E为侧棱为侧棱PBPB上一点，上一点， 且且BE=2EP.BE=2EP. （1 1求证：平面求证：平面PCDPCD平面平面PADPAD； （2 2求证：直线求证：直线PDPD平面平面EACEAC； （3 3求二面角求二面角BACEBACE的余弦值的余弦值. .（1 1证明证明 PAPA平面平面ABCDABCD，DCDC平面平面ABCDABCD，DCPA.DCPA.又又ADDCADDC，且，且PAPA与与A

31、DAD是平面是平面PADPAD内两相交内两相交直线，直线，DCDC平面平面PAD.PAD.又又DCDC平面平面PCDPCD，平面平面PCDPCD平面平面PAD.PAD.（2 2证明证明 连结连结BDBD，设，设BDBD与与ACAC相交于点相交于点F F，连结连结EFEF，在等腰直角在等腰直角ADCADC中，中，ADDCADDC，.4ACDDAC又又ADBCADBC，ACB=DAC=ACB=DAC=又又ABCABC为等腰直角三角形，且底面为等腰直角三角形，且底面ABCDABCD是直是直角梯形，角梯形， （假设（假设BB为直角，则与底面为直角，则与底面ABCDABCD是直角梯形相矛盾）是直角梯形相

32、矛盾）. .由由AD=DC=aAD=DC=a，易知，易知AB=AC= aAB=AC= a，BC=2aBC=2a，BCADBCAD且且BC=2ADBC=2AD，BF=2FD.BF=2FD.又又BE=2EPBE=2EP，PDEF.PDEF.又又EFEF平面平面EACEAC，PDPD平面平面EACEAC，直线直线PDPD平面平面EAC.EAC.42BAC2（3 3解解 过点过点E E作作EHPAEHPA交交ABAB于于H H点，点，则则EHEH平面平面ABCDABCD，又，又ABACABAC，EAAC.EAAC.EAHEAH为二面角为二面角BACEBACE的平面角的平面角. .BE=2EPBE=2E

33、P，即二面角即二面角BACEBACE的余弦值为的余弦值为 . .3231aABAH, 2tan,3232AHEHEAHaPAEH又,33cosEAH33方法与技巧方法与技巧1.1.证明线面垂直的方法证明线面垂直的方法 （1 1线面垂直的定义：线面垂直的定义：a a与与内任何直线都垂内任何直线都垂 直直aa； （3 3判定定理判定定理2 2：abab，aabb； （4 4面面平行的性质：面面平行的性质：，aaaa； （5 5面面垂直的性质：面面垂直的性质：，=l=l， a a ，al al a.a.;,:1)2(lnlmlAnmm、判定定理n思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2.2.证明线线垂直

34、的方法证明线线垂直的方法 （1 1定义：两条直线所成的角为定义：两条直线所成的角为9090; ; （2 2平面几何中证明线线垂直的方法；平面几何中证明线线垂直的方法； （3 3线面垂直的性质：线面垂直的性质：aa，b babab； （4 4线面垂直的性质：线面垂直的性质：aa，bbab.ab.3.3.证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法 （1 1利用定义：两个平面相交，所成的二面角利用定义：两个平面相交，所成的二面角 是直二面角；是直二面角； （2 2判定定理：判定定理：a a，aa.4.4.向量法证明线面平行与垂直也是一种重要的向量法证明线面平行与垂直也是一种重要的 方法方法. .失误与防范

35、失误与防范1.1.垂直关系的转化垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻 找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，那找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，那么么 可通过作辅助线来解决可通过作辅助线来解决. .如有平面垂直时，一如有平面垂直时，一般般 要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线， 使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线 垂直垂直. .故熟练掌握故熟练掌握“线线垂直线线垂直”、“面面垂直面面垂直” 间的转化条件是解决这类问题的关键间的转化条件是解决这类

36、问题的关键. .2.2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依 据据. .我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找 这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线 的垂线即可的垂线即可. .一、选择题一、选择题1.1.若若l l为一条直线为一条直线,、为三个互不重合的平为三个互不重合的平 面，给出下面三个命题：面，给出下面三个命题： ,;, ;l,ll,l. 其中正确的命题有其中正确的命题有( )( ) A.0 A.0个个 B.1B.1个个 C.2C.2个个 D.3D.3个个 解析解

37、析 对于对于，与与可能平行，故错可能平行，故错. . 正确，故选正确，故选C.C.C定时检测定时检测2.2.设设a a、b b是不同的直线，是不同的直线，、是不同的平面，那是不同的平面，那么么 下列四个命题中正确的是下列四个命题中正确的是( )( ) A. A.若若ab,a,ab,a,则则bb B. B.若若a,a,则则aa C. C.若若a,a,则则aa D. D.若若ab,a,b,ab,a,b,则则 解析解析 A A中，中，b b可能在可能在内；内；B B中，中，a a可能在可能在内内, , 也可能与也可能与平行或相交不垂直）；平行或相交不垂直）；C C中，中，a a可可 能在能在内；内；

38、D D中，中，abab，aa，则，则b b或或 b,b,又又b,.b,.D3.3.（20212021北京理，北京理，4 4若正四棱柱若正四棱柱ABCDA1B1ABCDA1B1 C1D1 C1D1的底面边长为的底面边长为1,AB11,AB1与底面与底面ABCDABCD成成6060 角，则角，则A1C1A1C1到底面到底面ABCDABCD的距离为的距离为( )( ) A. B.1 C. D. A. B.1 C. D. 解析解析 如下图，直线如下图，直线AB1AB1与底面与底面 ABCDABCD所成的角为所成的角为B1ABB1AB，而，而A1C1A1C1 到底面到底面ABCDABCD的距离为的距离为

39、AA1AA1， 在在RtRtABB1ABB1中，中，B1B=ABtan 60B1B=ABtan 60= .= . 所以所以AA1=BB1= .AA1=BB1= .33233D34.4.已知直线已知直线ll平面平面，直线，直线m m平面平面，下面有三，下面有三 个命题：个命题： lm;lm;lm;lm;lmlm ; 则真命题的个数为则真命题的个数为( )( ) A.0 B.1 C.2 D.3 A.0 B.1 C.2 D.3 解析解析 如下图，设面如下图，设面AB1AB1为为，面，面 A1C1A1C1为为，A1D1A1D1，A1C1A1C1， 而而A1D1A1D1与与A1C1A1C1相交，故相交，

40、故错错. .C5.5.下面四个命题：下面四个命题： “直线直线aa直线直线b b的充要条件是的充要条件是“a a平行于平行于b b 所在的平面所在的平面”； “直线直线ll平面平面内所有直线的充要条件内所有直线的充要条件 是是“ll平面平面”； “直线直线a a、b b为异面直线的充分不必要条件为异面直线的充分不必要条件 是是“直线直线a a、b b不相交不相交”； “平面平面平面平面的必要不充分条件是的必要不充分条件是 “ “内存在不共线三点到内存在不共线三点到的距离相等的距离相等”. . 其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是( )( ) A. A. B. B. C. C. D. D.解

41、析解析 abab推不出推不出a a平行于平行于b b所在的平面，反之也所在的平面，反之也不成立不成立.不正确不正确. .由线面垂直的定义知由线面垂直的定义知正确正确. .a a、b b不相交时，不相交时，a a、b b可能平行，此时可能平行，此时a a、b b共面共面. .不正确不正确. .当当时，时，内一定有三个不共线的点到平面内一定有三个不共线的点到平面的距离相等的距离相等. .反之，设反之，设A A、B B、C C是是内三个不共内三个不共线的点，当线的点，当过过ABCABC的中位线时，的中位线时，A A、B B、C C三点三点到到的距离相等，但此时的距离相等，但此时、相交，相交，正确正确

42、. .答案答案 C C6.6.（20212021浙江理，浙江理，5 5在三棱柱在三棱柱ABCA1B1C1ABCA1B1C1 中，各棱长相等中，各棱长相等, ,侧棱垂直于底面侧棱垂直于底面, ,点点D D是侧面是侧面 BB1C1CBB1C1C的中心，则的中心，则ADAD与平面与平面BB1C1CBB1C1C所成角的所成角的 大小是大小是( )( ) A.30 A.30 B.45 B.45 C.60 C.60 D.90 D.90 解析解析 取取BCBC中点中点E E，连结，连结AEAE，则，则AEAE平面平面 BCC1B1BCC1B1，故，故ADEADE为直线为直线ADAD与平面与平面BB1C1CB

43、B1C1C所所 成的角成的角. .设各棱长为设各棱长为a a，那么，那么 ADE=60ADE=60. .,23aAE . 3tan,21ADEaDEC二、填空题二、填空题7.7.（20192019全国全国文，文，1616已知菱形已知菱形ABCDABCD中中, , AB=2 AB=2，A=120A=120，沿对角线，沿对角线BDBD将将ABDABD折起折起, , 使二面角使二面角A-BD-CA-BD-C为为120120，则点，则点A A到到BCDBCD所在所在 平面的距离等于平面的距离等于 . . 解析解析 如下图，取如下图，取BDBD中点中点E E，连接，连接 AEAE、CE.CE. ABDA

44、BD、BCDBCD均为等腰三角形，均为等腰三角形， AEBDAEBD，CEBDCEBD， BDBD平面平面AEC.AEC. AEC AEC为二面角为二面角ABDCABDC的平面角，的平面角， AEC=120AEC=120. .在平面在平面AECAEC内过内过A A作作CECE的垂线的垂线AH,AH,垂足为垂足为H,H,那么那么H H在在CECE的延长线上的延长线上. .BDBD平面平面AECAEC，BDAH.BDAH.又又AHCE,AHCE,AHAH平面平面BCD.BAD=120BCD.BAD=120,BAE=60,BAE=60, ,又又AEH=60AEH=60, ,即点即点A A到到BCDB

45、CD所在平面的距离为所在平面的距离为 . . 1,cosAEABAEBAE,23AH23答案答案238.8.将正方形将正方形ABCDABCD沿对角线沿对角线BDBD折起，使平面折起，使平面ABDABD平平 面面CBDCBD，E E是是CDCD的中点，则异面直线的中点，则异面直线AEAE、BCBC所成所成 角的正切值为角的正切值为 . . 解析解析 如下图，取如下图，取BDBD中点中点O O，连结，连结AOAO、OEOE， 则则AOBD.AOBD.平面平面ABDABD平面平面CBDCBD， AOAO平面平面BCDBCD，OEBCOEBC， AEOAEO即为即为AEAE、BCBC所成的角所成的角.

46、 . 设正方形的边长为设正方形的边长为2 2，则，则OE=1OE=1，AO= AO= ， tanAEO= .tanAEO= .2229.a9.a、b b表示直线，表示直线，、表示平面表示平面. . 若若=a,b=a,b,ab,ab，则，则; 若若a a,a,a垂直于垂直于内任意一条直线，内任意一条直线， 则则； 若若，=a,=b,=a,=b,则则ab;ab; 若若a a不垂直于平面不垂直于平面，则，则a a不可能垂直于平面不可能垂直于平面 内无数条直线；内无数条直线； 若若a,b,ab,a,b,ab,则则. 上述五个命题中，正确命题的序号是上述五个命题中，正确命题的序号是 . .解析解析 对对

47、可举反例如图，需可举反例如图，需bb才能才能推出推出.对对可举反例说明，当可举反例说明，当不不与与，的交线垂直时，即可得到的交线垂直时，即可得到a a，b b不不垂直；对垂直；对a a只需垂直于只需垂直于内一条直线便可以垂直内一条直线便可以垂直内无数条与之平行的直线内无数条与之平行的直线. .所以只有所以只有是正确的是正确的. .答案答案 三、解答题三、解答题10.10.四面体四面体ABCDABCD中中,AC=BD,AC=BD，E E、F F分别是分别是ADAD、BCBC 的中点，且的中点，且 BDC=90BDC=90. . 求证：求证：BDBD平面平面ACD.ACD. 证明证明 如下图，取如

48、下图，取CDCD的中点的中点G G，连接，连接EGEG、 FGFG、EF.EF. E E、F F分别为分别为ADAD、BCBC的中点，的中点， EG ACEG AC，FG BD.FG BD. ,22ACEF 又又AC=BDAC=BD，在在EFGEFG中，中，EG2+FG2= AC2=EF2. EG2+FG2= AC2=EF2. EGFG.BDAC.EGFG.BDAC.又又BDC=90BDC=90，即，即BDCDBDCD，ACCD=CACCD=C，BDBD平面平面ACD.ACD.21ACFGEG2111.11.如下图，知如下图，知ABCABC是等边三角形，是等边三角形， ECEC平面平面ABCABC，BDBD平面平面ABCABC，且，且ECEC、 DBDB在平面在平面ABCABC的同侧，的同侧，M M为为EAEA的中点，的中点， CE=2BD.CE=2BD. 求证：（求证：（1 1DE=DADE=DA； （2 2平面平面BDM