2019级上第16次课CH3第一节微分中值定理ppt课件

1、上一页下一页返回第一节第一节 微分中值定理微分中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理四、小结四、小结第三章 微分中值定理与导数应用上一页下一页返回一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理罗尔（罗尔（R Rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba 上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba , ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零，在该

2、点的导数等于零， 即即0)( f )1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上可导上可导在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf上一页下一页返回几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC上一页下一页返回证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)

3、( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取得取得最值不可能同时在端点最值不可能同时在端点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()( fxf, 0)()( fxf上一页下一页返回, 0 x若若; 0)()( xfxf则则有有, 0 x若若; 0)()( xfxf则则有有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存在存在 f).()( ff. 0)( f只只有有上一页下一页返回注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如

4、例如,;2 , 2, xxy,)0(2,2一一切切条条件件满满足足罗罗尔尔定定理理的的不不存存在在外外上上除除在在f .0)( xf但但在在内内找找不不到到一一点点能能使使; 0)0(,1 , 0(,1 fxxy.1 , 0, xxy又例如又例如,上一页下一页返回例例1 1.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连连续续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1 , 0(011xxx

5、设另有设另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之间间满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条在在xxxf使使得得之之间间在在至至少少存存在在一一个个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.为为唯唯一一实实根根上一页下一页返回二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理: : 如果函数如果函数 f(x)在在 闭区间闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,那末在那末在 ),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等

6、式 )()()(abfafbf 成立成立. . )1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf结结论论亦亦可可写写成成上一页下一页返回ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减减去去弦弦曲曲线线., 两两端端点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲曲线线

7、ba上一页下一页返回作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件xF. 0)(,),( Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. .上一页下一页返回,),()(内内可可导导在在在在设设baxf).10()()()(000 xxxfxfxx

8、f则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可写写成成.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又称有限增量定理拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf上一页下一页返回例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证证明明证证1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)(

9、xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx上一页下一页返回例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即上一页下一页返回三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理柯西柯西(CauchyCauchy) )中值定理中值定理 如果函数如果函

10、数)(xf及及)(xF在闭在闭区间区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且且)(xF 在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少内至少 有一点有一点)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. . 上一页下一页返回几何解释几何解释:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()(

11、)()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x . 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba上一页下一页返回, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf上一页下一页返回例例4 4).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至至少少存存在在一一点点证证明明内内可可导导在在上上连连续续在在设设函函数数证证分析分析: 结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设, 1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即上一页下一页返回Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值