第四部分隐函数与参数方程的求导法教学-ppt课件

1、第四节第四节 隐函数与参数方程的求导法隐函数与参数方程的求导法一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义: :.)(称称为为隐隐函函数数由由方方程程所所确确定定的的函函数数xyy .)(形式的函数称为显函数形式的函数称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题: 假设隐函数不易显化或不能显化，如何求导假设隐函数不易显化或不能显化，如何求导?隐函数求导法隐函数求导法: :用复合函数求导法那么直接对方程两边求导用复合函数求导法那么直接对方程两边求导.解出解出例例1 1.,)(00 xyxdxdydxdyxyyeexy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方

2、方程程解解, 求求导导方方程程两两边边对对 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知0 xdxdy. 1 yedxdyexxy )(00 yxyxexye例例2 2.,)23,23(,333线线通通过过原原点点在在该该点点的的法法并并证证明明曲曲线线的的切切线线方方程程点点上上求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CCxyyxC 解解得得求求导导方方程程两两边边对对, xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23( 23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方

3、程为法线方程为, xy 即即显然经过原点显然经过原点.)(3 33xyyxyyx 确确定定了了函函数数设设方方程程xyxyy 22例例3 3.)1 , 0(, 144处处的的值值在在点点求求设设yyxyx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对 x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx4110 yxy求求导导得得两两边边再再对对将将方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16110 yxy0401010 yxy014)41(11204120102 yxy例例4 422, 02sindxydyyx求求设设 解解求

4、求导导得得方方程程两两边边对对 x0cos211 dxdyydxdy)( xyy 设方程确定了设方程确定了解得解得ydxdycos22 )cos22(22ydxddxyd )( xyy 注注意意)cos2()cos2(122yy dxdyyy sin)cos2(1223)cos2(sin4yy 1 将将1代入代入 二、对数求导法二、对数求导法察看函数察看函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :. )()( 的情形的情形数

5、数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu例例5 5解解142)1(3111 xxxyy等式两边取对数等式两边取对数,得得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln得得求导求导上式两边对上式两边对,x142)1(31111 xxxyy.,)4(1 )1(23yexxxyx 求求设设142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxx例例6 6解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数等式两边取对数,得得xxylnsinln 得得求导求导上式两边对上式两边对,xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxx

6、xxx 另解另解xxxexylnsinsin )ln(sinxx xxelnsin xxeylnsin )(lnsinln)(sinxxxx xxelnsin )1sinln(cosxxxx xxsin )sinln(cosxxxx xexln 三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(程所确定的函数程所确定的函数则称此函数为由参数方则称此函数为由参数方间的函数关系间的函数关系与与确定了确定了若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 假设消参困难或无法消参，如何求导假设

7、消参困难或无法消参，如何求导? ?t0)( )( ttx 单调，可导，且单调，可导，且设函数设函数 )()( ,tytx 给了参数方程给了参数方程一般地一般地：则则由由反反函函数数求求导导法法则则知知,)()(1也也可可导导的的反反函函数数xttx 且且dtdxdxdt 1 其其导导数数也也可可导导再再设设)(ty )(),(1xtty )(1xy 由复合函数及反函数的求导法那么得其导数由复合函数及反函数的求导法那么得其导数dxdtdtdydxdy dtdxdtdy 1 dtdxdtdy dtdxdtdydxdy 二二阶阶可可导导，从从而而则则还还是是二二阶阶可可导导的的若若函函数数)(,)(

8、),(1xytxty )(22dxdydxddxyd dxdtdxdydtd )(dtdxdxdydtddxyd)(22 dtdxdxdydtd 1 )( dtdxdxdydtd)( 例例7 7解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12(1 axay)22( axy即即例例8 8解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytax

9、dtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan dtdxdxdydtddxyd ) ( 22 )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tta4cossin31 例例9 9解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨

10、迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 四、相关变化率四、相关变化率., , ,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之

11、间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而变量都是可导函数都是可导函数及及设设dtdydtdxyxtyytxx 相关变化率问题相关变化率问题: :知其中一个变化率时，如何求出另一个变化率知其中一个变化率时，如何求出另一个变化率?例例1010解解?,500./140,500率率是是多多少少观观察察员员视视线线的的仰仰角角增增加加米米时时当当气气球球高高度度为为秒秒米米其其速速率率为为上上升升米米处处离离地地面面铅铅直直一一汽汽球球从从离离开开观观察察员员则则的的仰仰角角为为观观察察员员视视线线米米其其高高度度为为秒秒后后设设气气球球上上升升, ht500tanh 得得求求导导上上式式两两边边对对,tdtdhdtd 5001sec2 ),/(140秒秒米米 dtdh2sec,5002 时时当当h)/(14. 0分分弧弧度度 dtd 仰角添加率仰角添加率米米500米米h 五、小结五、小结隐函数求导法隐函数求导法: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导; ;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数, ,按隐函数的求按隐函数的求导法那么求导导法那么求导; ;参数方程求导参数