2014届高三数学(基础+难点)《第51讲抛物线课时训练卷理新人教A版

1、1 第 51 讲抛物线 (时间：45 分钟分值：100 分) 基础热身 1. 抛物线y2=- 8x的焦点坐标是( ) A. (2 , 0) B . ( 2, 0) C. (4 , 0) D . ( 4, 0) 2以抛物线y2= 8x上的任意一点为圆心作圆与直线 x+ 2 = 0 相切，这些圆必过一定点， 则这一定点的坐标是( ) A. (0, 2) B . (2 , 0) C. (4, 0) D . (0 , 4) 3在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线关于 x轴对称，顶点在原点 O且过点R2 , 4)，则该抛物线的方程是 ( ) 2 2 A. y = 8x B . y = 8x 2 2 C

2、. y = 4x D . y = 4x 4. 2013 西安质检过抛物线y2= 2px( p0)的焦点F且垂直于对称轴的直线交抛物线 于A B两点，若线段 AB的长为 8,则p的值为( ) A. 1 B . 2 C. 4 D . 8 能力提升 5 . 2013 石家庄质检已知抛物线y2= 2px，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交 抛物线于A, B两点，若|AB = 10, P为抛物线的准线上一点，则 ABP的面积为( ) A. 20 B . 25 C. 30 D . 50 6 . 2013 黄冈模拟过抛物线y2= 4x的焦点作一条直线与抛物线相交于 A B两点, 它们到直线x= 2 的距离之

3、和等于 5，则这样的直线( ) A.有且仅有一条 B .有且仅有两条 C.有无穷多条 D .不存在 7 . 2013 厦门质检抛物线y2= mx的焦点为 段PF的中点，则点 M到该抛物线准线的距离为 ( A. 1 B. & 2013 四川卷已知抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点 Q并且经过点 M2 , yo)，若点M到该抛物线焦点的距 离为 3,则|QM =( ) A. 2 2 B . 2 3 F,点P(2 , 2 2)在此抛物线上, ) M为线 2 C. 4 D . 2.5 9. 已知抛物线y2= 2px(p0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A B两点，若线 段AB

4、的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 ( ) A. x = 1 B . x= 1 C. x = 2 D . x= 2 10. _ 设抛物线y2 = 2px(p0)的焦点为F,点A(0 , 2).若线段FA的中点B在抛物线上, 则点B到该抛物线准线的距离为 . 11. 2013 陕西卷图 K51 1 是抛物线形拱桥，当水面在 l时，拱顶离水面 2 m,水 面宽 4 m，水位下降 1 m 后，水面宽 _ m. 12 .过抛物线y2= 2px( p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为 A与抛物 线准线的交点为 B,点A在抛物线准线上的射影为 C,若XF= FB, BA- BC= 1

5、2,则p的值为 13. 2013 重庆卷过抛物线y2= 2x的焦点F作直线交抛物线于 A, B两点，若| AB 25 =12 I AF V | BF|，则 | AF| = _ . 14. (10 分)2013 广州调研设双曲线C的渐近线为y ，焦点在x轴上且实 轴长为 1.若曲线C2上的点到双曲线 C的两个焦点的距离之和等于 屮，并且曲线 G: x2 = 2py( p0 是常数)的焦点F在曲线C2上. (1) 求满足条件的曲线 C2和曲线C3的方程； 1 f (2) 过点F的直线l交曲线C3于点A B(A在y轴左侧)，若AF= 3 F B,求直线I的倾斜 角. 15. (13 分)2013 泉

6、州质检已知点F(1 , 0)，直线l : x= 1,动点P到点F的距 离等于它到直线I的距离. (1) 试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程； (2) 是否存在过N(4 , 2)的直线m,使得直线 m被截得的弦AB恰好被点N所平分？ 难点突破 16. (12 分)已知一条曲线 C在y轴右边，C上每一点到点F(1 , 0)的距离减去它到y轴 距离的差都是 1. (1) 求曲线C的方程； (2) 是否存在正数 m对于过点MmO)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有FA-FB 0)的焦点F p, 0 ,对称轴为x轴，过抛物线y2= 2px( p0) 的焦点F且垂直于对称轴的直线为 x=号，交

7、抛物线于 A$, p, B$, p M点，线段AB的 长为 8,故 2p= 8? p= 4. 【能力提升】 5. B 解析抛物线y2 = 2px，直线l经过其焦点且与 x轴垂直，并交抛物线于 A, B 两点，贝 U |AB = 2p, |AB = 10,所以抛物线方程为 y2= 10 x, P为抛物线的准线上一点， P 1 到直线AB的距离为p= 5,则厶ABP的面积为 2X 10X 5= 25. 6. D 解析设点A(X1, y1) , B(X2, y2).因为A, B两点到直线x = 2 的距离之和等 于 5,所以x1 + 2+ X2+ 2 = 5,所以x1 + X2= 1.由抛物线的定义

8、得| AE| = X1 + 1 + X2+ 1 = 3.而 过抛物线焦点弦的最小值 (当弦ABLx轴时，是最小焦点弦)为 4，所以不存在满足条件的直 线. 7. D 解析由点 R2 , 2 2)在此抛物线y2= mx上,得m= 4, 抛物线的准线方程为 x= 1，焦点为F(1 , 0). M到抛物线的准线x = 1 的距离为|. & B 解析设方程为y2= 2px,准线为x= p,而M点到准线距离为 3,可知2 = 1，即 p= 2, 2 故抛物线方程为y= 4x, 当x = 2 时，可得yo= 2 _ 2, |OM = ,22+( 2 ；2) 2= 2 3. 9. B 解析抛物线的焦

9、点F , 0 j,所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为y= x 2, 即 x= y + p, 将其代入 y2= 2px=2p(y + p = 2py+ p2,所以 y22py p2= 0, p, 0 j,点F, A的中点为曇，1)代入抛物线 了，1 ,故点B到抛物线准线的距离为-4 2 3 j2 2 = 4 11 . 2 6 解析本小题主要考查了抛物线的知识，解题的关键是建立坐标系求出抛 物线的方程.以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为 x2= 2py( p0), 由题意知抛物线过点(2 , 2)，代入方程得 p= 1，则抛物线的方程为 x2= 2y，当水面下又M为线段PF的中

10、点， M的坐标为 2 所以 =p= 2,所以抛物线为 y2= 4x，准线方10.呼解析抛物线的焦点坐标为 2 方程得 1 = 2pX 4,解得p=J2,故点B的坐标为 4 25 13 、 y2)， 则 | AB = X1 + X2+ p= X1 + X2+ 1 = 12，所以 X1 + X2 =匸.设直线 严 1、 k2 x2 x+ = 2x，即 k2x2 ( k2+ 2)x+ = 0, X1+ X2= . 2 ， 4 丿， 、 丿 4 ， k 12 k2 1 所以 k = 24,将 k = 24 代入 fx?( k? + 2)x + -4 = 0,因为 | AF 0)的焦点为F(0 , 1)

11、, 于是 2= 1,所以p= 2,曲线 G: X = 4y. 由条件可设直线I的方程为y = kx + 1( k0), X = 4y, 2 2 由 f 得 x 4kx 4= 0, = 16( k +1)0. y= kx + 1. 设 A(X1, yd , B(X2, y2)，贝U X1 + X2= 4k, X1X2= 4. 由 AF= FB得 3x1 = X2，代入 X1 + X2= 4k,得 X1 = 2k, X2= 6k，代入 X1X2= 4 得 k = 3 3，由于点A在y轴左侧，所以X1 = 2k0,所以k=f，直线I的倾斜角为；. 15. 解：(1)因点P到点F的距离等于它到直线I的

12、距离，所以点 P的轨迹C是以F为 焦点、直线x = 1 为准线的抛物线，其方程为 y2 = 4x. (2)方法一：假设存在满足题设的直线 m设直线m与轨迹C交于A(X1, y , B(X2, y2), X1 + X2= 8, 依题意，得/ |y1 + y2 = 4. 当直线m的斜率不存在时，不合题意. 当直线m的斜率存在时，设直线 m的方程为y 2= k(x 4), y 2= k(x 4), y2= 4x, 2 2 2 2降 1 m 时，为y = 3，代入抛物线方程得 ，tB-p, y x= 6，所以此时水面宽为 2 6 m. P B , FP, 0 ,由AF= FB#, P , ! , FI

13、，0 ,由AF= FEW, 22p, t =( p, yB),由此得 12= 3p, yB= t.设 C 2, t ,则 BA= 2p + ：, 2t , 2 =12 得 4t = 12,故 p= 1. 13. 5 解析由抛物线方程可知 p= 1，焦点F的坐标为1, 6 2 2p 2 BO (0 , 2t),所以 BA- BC 0，设 A(xi, yi), 0X2, AB的方程为y = k x1 , 2 k + 2 13 代入抛物线y2= 2x，得k2 f 1 a1=2 解得 .b1=# F1( 1 , 0) , F2(1 , 0), 2 2 x y 14 .解：(1)双曲线C满足：岸= 如=

14、1, 则Ci= pai+ bi = 1，于是曲线C的焦点 曲线G是以F, F2为焦点的椭圆，设其方程为 a|+ b2 = 1(a2b20), a2=迄，即 Q： + y2= 1. 4 = 1, 2 联立方程组 消去 y,得 kx (8k 4k + 4)x+ (2 4k) = 0, (*) 12. 1 解析设 5 2 此时，方程(*)为X 8X + 4= 0,其判别式大于零, 存在满足题设的直线 m 且直线m的方程为：y 2= x 4，即x y 2= 0. 方法二：假设存在满足题设的 直线m设直线m与轨迹C交于A(xi, yi),巳X2, y2), xi + X2= 8, 依题意，得 yi +

15、y2 = 4. 易判断直线m不可能垂直y轴， 设直线m的方程为x 4= a( y2), x 4= a (y 2), 联立方程组 2 ly = 4x, 消去 x,得 y2 4ay+ 8a16 = 0, 2 / = 16( a 1) + 480, 直线与轨迹 C必相交. 又 y1+ y2 = 4a= 4, a= 1. 存在满足题设的直线 m 且直线m的方程为：y 2= x 4，即x y 2= 0. 方法三：假设存在满足题设的直线 m设直线m与轨迹C交于A(X1, y , B(X2, y2), 为 + X2= 8, 依题意，得i |y1 + y2 = 4. A(X1, yj , 0X2, y2)在轨

16、迹 C上 , 2 y1= 4X1 , (1) 22 有 f 2 将，得 y1 y2= 4(X1 X2). y2= 4x2 , ( 2) 当X1= X2时，弦AB的中点不是N,不合题意， 里二聖=1,即直线AB的斜率k = 1, X1 X2 屮 + y2 注意到点N在曲线C的张口内(或：经检验，直线 m与轨迹C相交)， 存在满足题设的直线 m 且直线m的方程为：y 2= x 4，即x y 2= 0. 【难点突破】 16. 解： 设P(x, y)是曲线C上任意一点，那么点 P(x, y)满足： (x 1) 2+ y2 x= 1(x0). 化简得 y2= 4x(x0). (2)设过点Mm 0)( n0)的直线I与曲线C的交点为A(X1, y , 0X2, y2). x = ty + m, 2 2 设 I 的方程为 x= ty + m 由 2 得 y 4ty 4m= 0, = 16( t + m)0 , ly = 4x f y1+ y2= 4t , 于是 刖2= 4m 又 FA= (X1 1 , yd , FB= (X2 1, y2), FA- FB0? (X1 1)( X2 1) + y1y2 = X1X2 (X1 + X2) + 1 + y1y20. 2 2 2 小 2 2 又x=y,于是不等