第二章逻辑代数基础-2

1、2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础12.3 逻辑代数的公式逻辑代数的公式 2.3.1 基本公式（定律）基本公式（定律） 1.自等律自等律 A + 0 = A A 1 = A 2.吸收律吸收律 A + 1 = 1 A 0 = 0 3.重叠律重叠律 A + A = A A A = A 4.互补律互补律 5.还原律还原律 A = A A + A = 1 A A = 06.交换律交换律 A + B = B + A A B = B A 2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础27.结合律结合律 A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) A B C= (A

2、B) C = A (B C)8.分配律分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC= (A + B) (A + C) 9.反演律反演律 A + B = A B AB = A + B 基本公式的正确性可以用列真值表的方法加以证基本公式的正确性可以用列真值表的方法加以证明；对同一基本公式左、右两列存在明；对同一基本公式左、右两列存在对偶关系对偶关系。A B = A B 2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础3* 异或、同或逻辑的公式（补充）异或、同或逻辑的公式（补充） 1. 异或运算符、同或运算符互为对偶（反演）运算符异或运算符、同或运算符互为对偶（反演）运算符 2. 多个变

3、量的异或、同或之间的关系多个变量的异或、同或之间的关系(1) 偶数个变量的异或、同或互补偶数个变量的异或、同或互补(2) 奇数个变量的异或、同或相等奇数个变量的异或、同或相等A1 A2 An = A1 A2 An (n为偶数为偶数)A1 A2 An = A1 A2 An (n为奇数为奇数)2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础43. 多个常量的异或、同或运算多个常量的异或、同或运算(1)异或时，起作用的是异或时，起作用的是 “1” 的个数（奇的个数（奇1得得1） 0 0 = 0 0 0 0 = 0 1 1 = 0 1 1 1 = 1 (2)同或时，起作用的是同或时，起作用的是 “0” 的

4、个数（奇的个数（奇0得得0） 0 0 = 1 0 0 0 = 0 1 1 = 1 1 1 1 = 1 2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础52.3.2 常用公式常用公式 1. 合并相邻项公式合并相邻项公式 AB + AB = A2. 消项公式消项公式 A + AB = A3. 消去互补因子公式消去互补因子公式 A + AB = A + B4. 多余项（生成项）公式多余项（生成项）公式AB + AC + BC = AB +AC证明：证明：AB + AC + BC = AB + AC + ( A + A )BC= AB + AC + ABC + ABC = AB + AC2022年2月2日

5、星期三第二章 逻辑代数基础62.4 逻辑运算的基本规则逻辑运算的基本规则 2.4.1 代入规则：代入规则： 适用于等式适用于等式设设 F1( x1, x2, ,xn ) = F2( x1,x2, ,xn)，令，令x1=G，则则 F1( G, x2, ,xn ) = F2( G,x2, ,xn)例：已知 AB + AB = A 若令G = AB, H = CD并把等式两边的A、B 分别用函数G、H 代替，则有：ABCD + ABCD = AB2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础72.4.2 反演规则：反演规则： 用于求反函数用于求反函数 F F + 1 0 A A+ 0 1A Al注意：

6、注意： (1) 与运算优先或运算，与运算优先或运算，若有括号，先算括号内若有括号，先算括号内 (2) 不属于单个变量上的不属于单个变量上的非号，在变换时应保留非号，在变换时应保留 l常用关系式：常用关系式：(1) F = F；(2) 若若 F = G ，则，则 F = G ；反之也成立。反之也成立。2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础8例例1：若：若 F = A B + C D， 试用反演规则求反函数试用反演规则求反函数 F。例例2：若：若 F = A + B+C D， 试用反演规则求反函数试用反演规则求反函数 F。解：解： F = A B C + D解：解：F = ( A + B )

7、 ( C + D )2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础92.4.3 对偶规则对偶规则 ： 用于等式的证明用于等式的证明 F F + 1 0 + 0 1l注意：注意： (1) 与运算优先或运算，与运算优先或运算，若有括号，先算括号内若有括号，先算括号内 (2) 不属于单个变量上的不属于单个变量上的非号，在变换时应保留非号，在变换时应保留 l常用关系式：常用关系式：(1) ( F) = F；(2) 若若 F = G ，则，则 F = G ；反之也成立。；反之也成立。2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础10将将 F中的变量原反互换后即可得到中的变量原反互换后即可得到 F ；将将 F

8、中的变量原反互换后即可得到中的变量原反互换后即可得到 F。F F + 1 0 A A+ 0 1A AF F + 1 0 + 0 1l反演与对偶规则比较：反演与对偶规则比较：2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础111. 最小项、最小项表达式最小项、最小项表达式 最小项的概念最小项的概念l 一个真值表可能对应多个一般与或式，但只一个真值表可能对应多个一般与或式，但只对应一个标准与或式，即最小项表达式。对应一个标准与或式，即最小项表达式。 2.5 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 最小项是一个最小项是一个乘积项乘积项，在该乘积项中逻辑函，在该乘积项中逻辑函数的所有变量都要以原变量或反变量

9、的形式数的所有变量都要以原变量或反变量的形式出现一次，而且只能出现一次。出现一次，而且只能出现一次。 最小项的表示最小项的表示 三变量函数三变量函数F ( A,B,C )，ABC 和和ABC是两个是两个最小项。最小项。2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础12例例1：已知三变量函数：已知三变量函数 F(A,B,C) ，则，则 ABC就是就是一个最小项，通常写成一个最小项，通常写成m5。其中，其中，m 表示最小项，表示最小项，5 表示最小项的编号表示最小项的编号 ABC ( 101 )2 ( 5 )10 例例2：已知四变量函数：已知四变量函数 F(A,B,C,D) ，则，则 BACD就就是

10、一个最小项，其最小项编号为多少？是一个最小项，其最小项编号为多少？解：把最小项中的变量从左到右按解：把最小项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺的顺序排列序排列 ，得，得ABCD，从而得，从而得(0111)2，即，即(7)10。所以，此最小项的编号为所以，此最小项的编号为7，通常写成，通常写成m7。2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础132. 最小项表达式（标准与或式）最小项表达式（标准与或式） 例：),(420mmm)4 , 2 , 0(m420mmmCBACBACBACBAF),( 函数的最小项表达式是指每个与项都是最小函数的最小项表达式是指每个与项都是最小项的与或表达式，也称标准

11、与或式。项的与或表达式，也称标准与或式。 n变量，共有：变量，共有：2 n 个最小项。个最小项。 对任何一个最小项，只有一组变量的取值组对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为合，使它的值为1。 2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础14A B CA B C0 0 000 0 10 0 1 000 1 101 0 001 0 111 1 001 1 10l 能使最小项的值为能使最小项的值为1的的取值组合，称为与该最取值组合，称为与该最小项对应的取值组合。小项对应的取值组合。 例：101 ABC 。 l若把与最小项对应的若把与最小项对应的取值组合看成二进制数取值组合看成二进制数

12、，则对应的十进制数就，则对应的十进制数就是该最小项的编号是该最小项的编号i。 3. 最小项的性质最小项的性质 2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础15全部最小项之和恒等于全部最小项之和恒等于1。 即：即： 1201niim任意两个最小项的乘积恒等于任意两个最小项的乘积恒等于0 。 即：即： ), 12)(0(0jijimmnji且2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础16即：即： 任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最小项小项 ， ), 12)(0(jijimmmniji且证明：证明： 若自变量的取值组合使若自变量的取值组合使mi = 1 (

13、 有且只有一组有且只有一组)，则则mj = 0，于是：，于是： ： ijimmm1若自变量的取值组合使若自变量的取值组合使mi = 0 ( 其余其余2 n -1组组)，则：则： ijimmm0所以，等式成立。所以，等式成立。2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础17以外的所有正整数）中除了为（jkn) 12(0证明：证明： ，即上述关系式成立。，即上述关系式成立。 kjmm所所以以根据最小项的性质根据最小项的性质1:对任何一个最小项，对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为只有一组变量的取值组合，使它的值为1。 若自变量的取值组合使若自变量的取值组合使，0 jm则：则：;1

14、km若自变量的取值组合使若自变量的取值组合使，1 jm则：则：;0 km 若若 ，则，则 。jFmkFm),4 , 2 , 1 (),(mCBAF例： )7 , 6 , 5 , 3 , 0(),(mCBAF则则2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础18证明：证明： 根据反演规则和对偶规则之间的关系可知，根据反演规则和对偶规则之间的关系可知，F中中的原、反变量互换，即得到的原、反变量互换，即得到F。所以，所以，F 和和F中中包含的最小项的个数是相等的包含的最小项的个数是相等的，且对应的最小项的编号之和为且对应的最小项的编号之和为( 2n-1 )。 即上述关系式成立。即上述关系式成立。 若若

15、 ，则，则 , 。jFmkFm (21)nkj2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础19例例1：若：若)6 , 4 , 3(),( mCBAF )1 , 3 , 4(),(mCBAF则则 )?(),(mCBAF解：解：, )7 , 5 , 2 , 1 , 0(),( mCBAF )7 , 6 , 5 , 2 , 0(),(mCBAF解：解：例例2：若：若 )6 , 4 , 3(),(mCBAF则则 )?(),(mCBAF2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础203. 写最小项表达式的方法写最小项表达式的方法两种方法两种方法解：F(A,B,C) = AB( C + C) = ABC

16、+ ABC)7 , 6(m由一般表达式写出最小项表达式的方法由一般表达式写出最小项表达式的方法公式法：利用公式法：利用A+A=1 变换变换 真值表法真值表法例例. 将式将式 变换为最小项表达式。变换为最小项表达式。( , ,)F A B CAB2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础21A BF0 01 0 101 0 11 10解：最小项表达式：解：最小项表达式： = m0+m2F(A,B) = A B + A B表表 2.5.2例例2.5.3 试将表试将表 2.5.2 真值表所表示的逻辑函数分别用最真值表所表示的逻辑函数分别用最小项表达式和最大项表达式表示。小项表达式和最大项表达式表示

17、。由真值表写出最小项表达式的方法由真值表写出最小项表达式的方法 最小项表达式是真值表中所有使函数值为最小项表达式是真值表中所有使函数值为1的取的取值组合所对应的各最小项之和。值组合所对应的各最小项之和。2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础222.6 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 l 为什么要化简？为什么要化简？化简的意义（目的）化简的意义（目的） 简化电路结构，节省元器件；提高工作可靠性简化电路结构，节省元器件；提高工作可靠性 最简与或式最简与或式或者或者最简或与式最简或与式 (1) 项数最少项数最少 (2) 每项中的变量数最少每项中的变量数最少 l 化简成什么形式？化简成什么形式？化

18、简的目标化简的目标l 最简的标准？最简的标准？l 化简的方法？化简的方法？(1) 公式法公式法 (2) 卡诺图法卡诺图法2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础231. 与或式的化简与或式的化简 (1) 相邻项合并法相邻项合并法 利用合并相邻项公式: A B + A B = A例2：F = A ( B C + B C ) + A ( B C + B C ) = A 例1：F = A B + C D + A B + C D = A + D = ( A B + A B ) + ( C D + C D )2.5 公式法化简公式法化简2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础24(2) 消项法消

19、项法 = A B利用消项公式 A + AB = A 或多余项公式A B + A C + B C = A B + A C例1： F = A B + A B C + A B D = A B + A B ( C + D )例2： F = A C + C D + A D E + A D G = A C + C D2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础25(3) 消去互补因子法消去互补因子法 利用 消去互补因子公式 A + AB = A + B例1：F = A B + A C + B C = A B + C = A B + A B C 例2： F = A B + A B + A B C D + A

20、 B C D = A B + A B + C D ( A B + A B ) = A B + A B + C D2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础26(4) 拆项法拆项法 利用互补律利用互补律 A + A = 1，把某乘积项拆为，把某乘积项拆为2项，再项，再利用前面的公式化简利用前面的公式化简例： F = A B +BC+BC+ AB = A B + B C + (A + A) BC + (C +C)AB = (AB + ABC) + (BC + A BC) + (ABC+ABC) = AB + BC +AC2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础27(5) 添项法添项法 利用重

21、叠率利用重叠率A + A = A，把某项拆为，把某项拆为2项，再利用项，再利用前面的公式化简前面的公式化简 = (ABC + ABC)+ (ABC + ABC) = AB + BC例： F = ABC +ABC+ABC 2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础28结论：先找公共因子，再找互补因子结论：先找公共因子，再找互补因子 合并相邻项公式 AB + AB = A 消项公式 A + AB = A 消去互补因子公式 A + AB = A + B 多余项（生成项）公式AB + AC + BC = AB +AC(6) 综合法综合法 综合运用上述定理、规则及公式进行化简综合运用上述定理、规则及公式进行化简2022年2月2日星期三第二章 逻辑代数基础292.2.或与式的化简或与式的化简 方法：方法： 二次对偶法二次对偶法F或与式或与式（未化简）（未化简）与或式与或