2013年高考数学总复习7-2基本不等式新人教B版

1、1 7-2 基本不等式 基础巩固强化 1 1 1 1.a、b为正实数，a、b的等差中项为 A；孑、b的等差中项为H a b的等比中项为G（G0）, A.併 HW A C. G A 竿，二 A G H 2 甘 a+ b 2. （2012 重庆模拟）已知函数f（x） = log ax（ a0 且az 1），若x1,则不等 1 式f（1 X）1 的解集为 1 1 C (-汽 口 D (1 , 口 答案D 1 1 1 解析 依题意得 0a1 得 log a(1 )log aa, 01 xa,由此解得 1x1 的解集是（1,1a），选D. 3 .（文）（2012 河南六市联考）函数y = log ax

2、+ 1（a0 且az 1）的图象恒过定点 A,若点 x y A在直线 ： 4 = 0（ m0, n0）上，贝 U 耐n的最小值为（ ） A. 2+ 2 B. 2 C. 1 D. 4 答案C x y 1 1 解析y = log aX+ 1 过定点 A(1,1)，： A在直线 一+ 4= 0 上，二 一 + - = 4,v m0, m n m n n0, 1 1 1 1 n m 1 /n“口亠 1亠、 耐 n=/计nn) = 4(2 + 市 n)4(2+2. m n)=1，等号在 m= n=2 时成立， B. H G A D. H A0,直线(b2 + 1)x + ay+ 2 = 0 与直线x b

3、2y 1 = 0 互相垂直，则ab的最小值等于（ ） 3 4.（文）（2011 厦门二检）若直线 ax by+ 2 = 0（a0, b0）被圆 x2 + y + 2x 4y+ 1 = 0 1 1 截得的弦长为4，则a+的最小值为（） 1 A.4 3 - 3 - C2+ 2 D2+ 2 2 答案C 1 1 1 1 1 1 解析圆的直径是 4，说明直线过圆心（一 1,2），故 qa+ b= 1, ：+ = ga+ b）（ 卫 =|+ b+ 3+ ,2,当且仅当 b= 2b，即即 a= 2（ 2 1） , b= 2 .2 时取等号，故选 C. 4 9 （理）（2011 湖北八校第一次联考 ）若 0

4、x 13+ x 1 x x 1 x x 1 x 2、尸 x_ 产-=25 ,当且仅当 x = 書-，即x = 5 时取等号，选 C. x 1 x x 1 x 5 5. （2011 北京文，7）某车间分批生产某种产品， 每批的生产准备费用为 800 元.若每 x 批生产 x件，则平均仓储时间为 E 天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元为使平均到每件 8 A. 1 B. 2 C. 2 2 答案 D. 2 3 B 解析 .2 2 2 b + 1 由条件知（b + 1） ab 0，a 一, b2 + 1 b+ b2,等号在 b= 1, a= 2 时成立. b ab= 直，则ab的最小值等于（ ） 4

5、 产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （ ） A. 60 件 B. 80 件 C. 100 件 D. 120 件 答案B5 2 x 解析由题意知仓储 x件需要的仓储费为 元，所以平均费用为 82 在x= 1 处有极值，则ab的最大值为( ) 答案D 解析函数的导数为f (x) = 12x2 2ax 2b,函数在x= 1 处有极值，则有f =12 2a 2b= 0,即 a+ b = 6,所以 6= a+ b2 . ab,即 abb0)的半焦距，则 学的取值范围是 答案(1 , 2 b + c 解析由题设条件知，a1, a b+ c 2 b2 + c2+ 2bc b2+ c2 o

6、 2 = 2 W 2 = 2, a a a & (2011 广东佛山一检)已知直线x+ 2y = 2 分别与x轴、y轴相交于A, B两点，若 动点Ra, b)在线段AB上，则ab的最大值为 _ . 1 答案2 解析因为 A(2,0) , B(0,1)，所以 0W bw 1. 由 a + 2b= 2，得 a= 2 2b, 1 2 1 ab= (2 2b)b= 2( b刁 + 2, 1 1 当 b= 2 时，(ab)max= 点评利用a+ 2b= 2 消元后可以利用基本不等式求解，也可以利用二次函数求解. - 2 9. (2011 江苏)在平面直角坐标系 xOy中，过坐标原点的一条直线与函

7、数 f(x)= -的 x 图象交于P、Q两点，则线段PC长的最小值是 _ . 答案4 解析由题意，P、Q关于(0,0)对称，设直线PQ y= kx(k0)，从而 只斤 伍), Q - /R,_ .x 800 y = _ -1 - y 8- x 2 800 x 20，当且仅当x= 80 等号成立. 6. (2013 济南外国语学校第一学期质检 )若a0, b0，且函数 f (x) = 4x3 ax2 2bx A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 7.已知 b+ c a 3 6 则PQ飞命2+ 8k? 4 当且仅当k = 1 时，(PQmin = 4. a+ b ab求最值时，要注意“一正、二定

8、、三相等”，一定 要明确什么时候等号成立. 2应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“ 1”的 代换等等. 3注意到 P、Q关于原点对称，可设 P(xo, ?) , xoO，则 |PQ = 2|0P = 2%/x0+t 4, Xo XO XO= 2 时取等号，更简捷的获解. 10. 如图，互相垂直的两条公路 AM AN旁有一矩形花园 ABCD现欲将其扩建成一个更 大的三角形花园 APQ要求P在射线AM上，Q在射线AN上， 且PQ过点C,其中AB= 30m, AD= 20m.记三角形花园APQ的面积为S (1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值. 要使S不小

9、于 1600m2，则DQ的长应在什么范围内？ 解析 设 DQ= xm(x0)，则 AQ= x+ 20, QD AQ x x+ 20 DCTAP 30= AP =15(x+ 400 + 40) 1200，当且仅当 x 2 S 1600，.3x - 200 x + 12000， AP= x+20 x ，则 S= AP，AQ=2 2 x x = 20 时取等号. 7 20 亠 060. 答：(1)当DQ的长度是 20m 时，S最小，且S的最小值为 1200 甫； 2 20 要使S不小于 1600m，则DQ的取值范围是 00,且 m 1,二 n0 且 nz 1. 3n + m= 3n +十2寸3，当且

10、仅当n=时等号成立. （理）如图，在等腰直角 ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线 AB AC于不同的两点 M N,若只B= mAM XC= nN贝U mn的最大值为（ ） 1 A. 2 B. 1 C. 2 D. 3 答案B 解析以AC AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角 ABC的腰长为 2,贝U P点 坐标为（1,1） , B（0,2）、C（2,0） , v AB= mAM AC= nN 9 AU AB, XN= AC M0 ,-、 m n 、一 m 2 N2 , 10 亠八、 ,m n 直线 MN过点 P(1,1) , 2 + 2= 1， n = 2, 1. 2 2

11、 2 2 2 12. (2012 内蒙包头一模)若圆 C： x + y + 2ax+ a -4 = 0, (a F)与圆 C： x + y - 2by 1 + b2 = 0, (b R 外切，则a+ b的最大值为( ) A. 3 2 B. 3 C. 3 D. 3 2 答案D 2 2 2 2 解析 OC： (x+ a) + y = 4 的圆心 G( a, 0)，半径 r 1= 2, O C2： x + (y b) = 1 的圆心C2(0 , b)，半径2= 1, TO C 与O C2 外切， |CC2| =1 +2, 2 . 2 小 a + b = 9, 2 2 2 2 2 (a + b) =

12、a + b + 2abw 2( a + b ) = 18, a+ bmn - mnc 2 m n =1 4 当且仅当 m= n= 1 时取等号, mn的最大值为 DE F是线段DE上一点，连接BF,设 DF 帝入 AE= AC= 入2,且入1+入2=2，记 BDF的面积为 B C 11 入 2 DF 1 AB的中点，所以 BDE的面积为 云.因为宿 入1,所以 BDF的面积 S= f （入1,入2）=?解 连接BE因为 ABC勺面积为 1, AE 耐2, 所以 ABE的面积为 入2.因为D是 12 入1入22 ab，切线与两轴交于点 A( a, 0)和(0 , b)，不妨设 a0, b0,.

13、ab2, 则 AB= | AB = Ja + brj2ab2. （理）过点P（ 3, 0）作直线I与椭圆 3x2+ 4y2= 12 相交于A、B两点，O为坐标原点, 则AOAB面积的最大值为 _ ，此时直线倾斜角的正切值为 _ . 答案,3 -26 解析 设 A(X1, yj , B(X2, y2), I : x= my- 3, &AOB= j|OP 1| + M OP | y2| F(l yf +1 y2l) = #1 y1 y2l 把x = my- , 3代入椭圆方程得： 3( my2 2 3my+ 3) + 4y2 12= 0, 即(3 m + 4) y2 6 3my- 3 =

14、0, 6 寸 3 m 3 y1+ y2=科,y1y2 = 2 108m 12 ：im+i 2+ 3m+ 4 1 - 2 4 ；9rm + 3 144m+ 48 = 3m+4 W = 3 = 2, 3m+ 1 + 一3加 2 3 S写X 2=品此时时 =鳶吕？ m=当 令直线的倾角为 a，贝U tan a = 寺=6,4.3 3nn+ 1 + 3 即AOAB面积的最大值为.3,此时直线的倾斜角的正切值为土 . 13 15. (2011 安徽合肥联考)合宁高速公路起自安徽省合肥西郊大蜀山， 终于苏皖交界的 吴庄，全长 133km.假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于 60km/h且不高于 1

15、20km/h 的速度匀速行驶到吴庄. 已知该汽车每小时的运输成本 y(以元为单位)由固定部分和可变部 分组成；固定部分为 200 元；可变部分与速度 v(km/h)的平方成正比.当汽车以最快速度行 驶时，每小时的运输成本为 488 元. (1) 把全程运输成本f(v)(元)表示为速度v(km/h)的函数； (2) 汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？ 2 解析 依题意 488= 200 + k X 120 ? k = 0.02. 133 2 200 f(v) = -(200 + 0.02 v) = 133(p + 0.02 v)(60 v 133X2、/X 0.0

16、2 v= 532,当且仅当=0.02 v,即 v =100 时，“=”成立， 即汽车以 100km/h的速度行驶，全程运输成本最小为 532 元. 16. 设矩形ABCDA含AD的周长为 24,把它沿AC折起来，AB折过去后交 CD于点P,如 图，设AB= x，求 ADP勺面积的最大值，及此时 x的值. 解析 AB= x,. AD= 12-x, 又 DP= PB , AP= AB PB = AB- DP 即 AP= x DP (12 x)2+ PD = (x DF)2, 72 得 DP= 12, z. / ABAD - 6x0） , AC= 1 AF（卩0），则寸+的最小值是（ ） 入 1 7

17、 A. 9 B.2 9 C. 5 D.q 答案D 解析ED- AD AE= *Ai芥 AC AE =1（入 AE+ 1AF） XE= 1 AE+AF, EF= AF AE 巨与EF共线，且AE与AF不共线, 二入 + 1 = 2,二十 +兰=1 1 +* （入 + 1 ） 人 1 2 I人 1 / 备选题库 P为双曲线右支上的 AB AC于 E、F 两点, =25+ 入=3 时成立. 入 3 1 1 2 1， t+42 人 1 4 1 =3, 16 任意一点，若 黑才的值为 8a,则双曲线的离心率 丨PFd 答案 | PF2|，即 | PF2| = 2a 时取等号.这时| PF1| = 4a.

18、由| PF| + | PF2| | F冋得 6a2c,即 e=Y3, e (1,3. A. 0 D. 3 答案 y= x 1, x 0 , 1 为增函数， ymax= y| x=- 当a 2 时，a x*恒成立, 即 x + ax+10, x j0, 恒成立，.选 C. 4.设 M 是厶 ABC内 一点，且 XB- Xb= 2 羽，/ BAG= 30，定义 f(M) = (m n, p)，其 中m n、p分别是 MBCA MCAA MAB勺面积.若f（M） = ?, x, y j,则*+专的最小值是 答案 18 A (1 , + ) B. (1,2 C. (1 , D. (1,3 e的取值范围

19、是（ 解 IPFI2 = 2a+ |PF2| I PR| = | PHI 2 . 2 4a -=| PF| + | PF| + 4a4a+ 4a= 8a 4a2 ，当且仅当两 2 3若不等式 x + ax+10对一切 分 将不等式进行变形，变为不等式的一边为参数，另一边为含 x的代数式a x1, x 0, 2 I, a 只要大于或等于 y = x1 x J, 2 的最大值就满足题设要求. 解析 若x2 + ax+1 0, x 0, 2 恒成立，则 a x1, x 0, 恒成立. 令 y= x 1 则 y 1 + 7，当 y 0, 1 = 5 2= 2, x, 2 ,贝 U a 的最小值为（ 1

20、7 解析 / AB - AC= | AB -| ACCOS30 =歹 AB - AC = 2.3,A I AB - AC = 4,18 1 由f (M)的定义知， SAABC= 又 SABC= 1| AB 丨 AC sin30 = 1, 1 二x+ y= 2(xo, y0) 1 4 14 y 4x y 4x 1 x + y = 2(x + y) x+ y = 2 5+ x + -y 2(5 + 2 4) = 18,等号在=，即 y = 2X=&时 成立， .1 4 i + min = 18. 匕y丿 3x y 6w 0, x y + 20, 5 .设x、y满足约束条件 x 0, -y

21、0. 2 3 最大值为 12,则-+的最小值为 a b - 25 答案百 解析不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分, 若目标19 当直线ax+ by= z(a0, b0)过两直线的交点 A(4,6)时，z取最大值 12, 4a+ 6b = 12, - 2a+ 3b = 2 3 a+ b= 2 3 L 3 丿 6. (2012 江南十校联考 )已知f(x)= x+ 1 x 1 则不等式x+ (x + 1) f (x 20 1) 3的解集是 _ . 答案3,+) 解析不等式x+ (x + 1)f(x 1) 3化为: x1, x + x + x 3, 3 x 1. 7.已知 a、 3 都是锐角，且 sin 3 = sin a cos( a + 3 ). n (1) 当 a + 3 = 4，求 tan 3 的值； 当 tan 3取最大值时，求 tan( a + 3 )的值. 解析T由条件知，sin 3 =#sin 3 , 3 1 1 整理得 2sin 3 zcos 3 = 0,T 3 为锐角，二 tan 3 =