徐芝纶弹性力学第三版习题解答

1、徐芝纶弹性力学(第三版习题解答 尹久仁 2005 湘潭大学 1 第二章 2-1 如果某一问题中， z = zx = zy = 0 ，只存在平面应力分量 x , y , xy ，且它们不沿 z 方向 变化，仅为 x, y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？ 解 由于平面问题具有相同的平衡微分方程和几何方程，现将 z = zx = zy = 0 代入下列方程 1 x = E x ( y + z = 1 ( + z x y E y = 1 ( + x y z E z 1 1 1 yz = yz , zx = zx , xy = xy G G G 则有 这正是平面应力的广义虎克定律。同时，在平

2、面应力问题中， z = 0 ，当沿 z 方向的应变并不为零， 而有 1 ( x y E 1 y = ( y x E 1 xy = xy G x = z = E ( x + y . 2-2 如果某一问题中， z = zx = zy = 0 ，只存在平面应变分量 x , y , xy ，且它们不沿 z 方向 变化，仅为 x, y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？ 解 由于平面问题具有相同的平衡微分方程和几何方程，现将 z = zx = zy = 0 代入下列方程 1 x = x ( y + z E = 1 ( + z x y E y = 1 ( + x y z E z 1 1 1 yz

3、= yz , zx = zx , xy = xy G G G 则有 2 1 x = x ( y + z E = 1 ( + z x y E y 0 = 1 ( + z x y E 1 yz = yz G 也就是 1 2 y x = x E 1 1 2 y = x y E 1 1 yz = yz G 这正是平面应变的广义虎克定律。同时，在平面应变问题中， z = 0 ，当沿 z 方向的应力并不为零， 且有 z = ( x + y . 2-3 试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层 中，图 2-11，其应力状态接近于平面应力的情况。 解：设薄层的厚度为 ，由于 z 方向不受力，即 x

4、 z oy z = zx = zy = 0 若薄层足够小，则可认为在其厚度 范围内上述三应力保持与表 面一致，考虑上述近似，则有 E + x x = 1 + 1 2 E y = +y 1 + 1 2 E z = 1 + 1 2 + z = 0 E E E yz = 2(1 + yz = 0, zx = 2(1 + zx = 0, xy = 2(1 + xy 其中 = x + y + z 为体积应变，改写之，则有 x = 1 x y E 1 y = y x E 1 xy = xy G 可见在 范围内为平面应力状态。 3 2-4 试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等 厚度薄板中

5、，如图示，当板边上只受 x, y 向的面力或约束，且不沿厚度变 化时，其应变状态接近于平面应变的情况。 解： 由图知，两个刚性平面与弹性薄板为光滑接触，所以在薄板板面 上有 ox y z z z =± t 2 0, zx z =± t 2 = zy z =± t 2 =0 (a 由于板很薄，周边压力又不沿厚度方向变化，也就是说板不会产生弯 曲，可以认为在整个弹性薄板的所有各点除有与板面相同的应力分量 (b z 0, zx = zy = 0 此外，还有 x , y , xy 它们仅是 x, y 的函数，与 z 无关。注意剪应力的互等 性，所以 xz = 0, yz

6、= 0 。 又因为两个固定的刚性平而只阻止周边受压弹性薄板的膨胀，即只阻止板内点在 z 方向的移 动所以位移分量 w = 0 ，因而应变分量 z = 0 。再由各向同性体的广义虎克定律 1 z ( x + y = 0 E 1 1 2 x = x ( y + z = y x E E 1 (c 1 1 2 y = y ( z + x = x y E E 1 1 1 1 xy = xy , zx = zx = 0, yz = yz = 0 G G G 可见， x , y , yz 仅是 x 和 y 的函数， z = zx = zy = 0 。 且 可见符合平面应变问题的两个判别条件， z = 所以问

7、题得证。同时，由式(c还得到平面应变问题的物理方程 x = 1 2 y x E 1 1 2 y = x y E 1 yz = 2 (1 + 1 yz = yz G E x o 2-5 在图 2-3 的微分体中，若将对形心的力矩平衡条 件 mc = 0 ， 改为对角点的力矩平衡条件， 试问将导出什 么形式的方程？ 解：若选取图示 P 点为矩心，并设单元体厚度为 = 1 ，则 yx xy y P y x + xy + y y x yx + yx y C X Y x dx x dx xy x dy dy y + 4 xy x dx dy dx dydx + x + d x dy xy + 2 2 x

8、 x yx y dx dy dy dx dy dxdy y + dy dx x dy + X dxdy Y dxdy + yx + =0 2 2 2 2 y y 化简后两边同时除以 dxdy ，忽略二阶以上的微量，则有 yx = xy mP = 0, y dx 2-6 在图 2-3 的微分体中， 若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的， 试问将导出什么形式的 平衡微分方程？ 提示：当考虑至二阶微量的条件下，上两题都将得出相同于式(2-1和式(2-2的平衡条件。 解：所谓单元体各面上应力分量不是均匀分布， 即应力分量是随 x, y 逐点变化的，P, A, B, D 点 处的应力是不同的，应力是一

9、个函数 f ( x, y 。设此函数在点 x = xP , y = yP 处的值为 f ( xP , yP 或 f P ，则把 f ( xP + dx, yP + dy 展开为 Taylor 级数时，就求得邻近点 x = xP + dx, y = yP + dy 处的 函数值为： yxP o (b yxA x yP xyP xP P X Y A yA xA xyA xyB B D xB yB yD xD xyD yxB yxD f f f ( x P + dx , y P + dy = f ( x P , y P + d x + d y + x P y P 2 f 1 2 f 1 2 f dx

10、 2 + 2 dy 2 + dxdy + 2! x 2 P 2! y P xy P 式中 (a f f , 等表示在点 ( xP , yP 处的一阶偏导数。 x P y P 若设 f ( x + dx, y = y ( x, y 并令 dy = 0 ，得 5 yA 可见 PA 微分面上的应力分量 y 是按非线性规律变化的。 同样，如设 f ( x, y = x ( x, y 。并令 dx = 0 ，又得 1 y 2 1 y 3 dx + dx + dx + =y + 2 x 2 6 x3 x 2 3 y (b xB = x + 因此，各点的应力值分别为 x 1 2 x 2 1 3 x 3 dy

11、 + dy + dy + 2 y 2 6 y 3 y (c 可见 PB 微分面上的应力分量 x 是按非线性规律变化的。 y x dy dy yB = y + y y y xA = x + x dx dx yA = y + x x xD = x + x dx + x dy yD = y + y dx + y dy x y x y xyP = xy yxP = yx xP = x yP = y xB = x + xyB = xy + xyA = xy + xyD = xy + xy y xy x xy x dy dx dx + xy y yxB = yx + yxA = yx + dy yxD =

12、 yx + yx y yx x yx x dy dx dx + yx y dy 由六面体的平衡条件 X = 0 ，得 1 x dy t dy x + x + y 2 x x x 1 dx + x + dx + d y t dy + x + x x y 2 1 yx dx t dx yx + yx + x 2 yx yx yx 1 dy + yx + dx + dy t dx + yx + y x y 2 + Xtdxdy = 0 式中 t 为六面体厚度。 将式(d展开约简以后，两边除以 tdxdy ，得 (d x yx + +X =0 x y 同样由 Y = 0 ，得 6 xy x 么？ +

13、y y + Y = 0. 2-7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什 解： 基本方程 基本假定 适用条件 平衡微分方程 连续性，小变形，均匀性 任意条件 几何方程 连续性，小变形，均匀性 小变形 物理方程 连续性，小变形，均匀性，完全弹性，各向同性 完全弹性，发生泊松变形 2-8 试列出下列两图所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积 分的应力边界条件。 q o (a h1 h2 b x (b Fn M Fs o q1 y l (l h 2 h 2 h, = 1 x g b y (h2 解：边界 y = 0 ， 边界 y =

14、h2 边界 x = 0 边界 x = b y 2 y =0 = gh1 , yx 2 y =0 =0 u y = h = 0, v y = h = 0 x x x =0 x=h = gy (0 y h2 , yx = gy (0 y h2 , yx x =0 x=h =0 =0 2-9 试应用圣维南原理，列出图所示的两个问题中 OA 边的三个积分的应力边界条件，并比较两 者的面力是否是静力等效？ q x o b h A h F o M A x b b 2 2 qb 2 qb 2 M = 12 F= y (a (h b, = 1 y (b 解： 对于图(a所示 OA 边，根据 S-N 原理，有

15、7 0 b xy y = 0 dx = xy 0 b b y =0 dx = 0 qx qb dx = 0 0 b 2 b b qx b b qb 2 y y =0 x dx = x dx = 0 0 b 2 2 12 b y dx = y =0 对于图(a所示 OA 边，我们有 0 b xy y = 0 dx = 0 dx = qb 2 b b qb 2 y y =0 x dx = 0 2 12 由此可见，两问题是静力等效的。 b 0 y y =0 2-10 检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？ 解：应满足形变协调方程，即相容方程： 2 2 2 x y xy + 2 = xy

16、 y 2 x 2-11 检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？ 解：应满足应力表示的相容方程： 2 X Y 2 + 2 + 2 ( x + y = (1 + x x y y 2-12 检验平面问题中的应力函数 是否为正确解答的条件是什么？ 4 解：应满足重调和方程 = 0 。 2-13 检验下列应力分量是否是图示问题的解答： (a 图(a， x = y2 q, y = xy = 0 ； b2 q q q a b a o q x q o l h2 h2 (l h (b x b y (a 解：将上述应力代入到 Navier 方程，满足。再将其代入用应力表示的相容方程，不满足相容方 程

17、。所以不是正确解答。 (b 图 2-17，由材料力学公式， x = 答： x = QS z* My , xy = (取梁的厚度 b = 1 ，得出所示问题的解 I bI z 2qx3 y 3qx 2 (h 2 4 y 2 , xy = lh3 4lh3 8 又根据平衡微分方程和边界条件得出 y = 试导出上述公式，并检验解答的正确性。 解： 3qxy 2qxy 3 qx 2lh 2l lh3 x = M 又 代入上面的方程得到 y q 12 y 2qx3 y = x3 × 3 = I 6l lh lh3 x xy 3q + = 0 xy = x dy = 3 x 2 y 2 + f

18、( x x y x lh ( xy y =0.5 h = 0 3q 2 x 4lh 0.75qx 2 2 = (h 4 y 2 3 lh f ( x = 即 将 xy 代入 xy y y + xy x = 0 ，得到 又 y y = 0.5 h x q = 0 ，则 g ( x = x ，故 2l y = xy dy = q (4 y 3 3hy x + g ( x 3 2lh y = 3qxy 2qxy 3 q x 2lh 2l lh3 代入到相容方程，不满足，所以不是正确解答。 2-14 试证明：在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。 证明：由应力张量 12

19、x xy ( ij = 11 = 21 22 xy y 或者主应力张量 1 0 0 2 得 n 方向的正应力为 n = nT n = (l m x xy = l 2 x + m 2 y + lm xy = l 2 1 + m 2 2 xy (l mT = (l x + m xy l xy + m y (l mT y 则剪应力为 2 2 2 n = pn n = lm( y x + (l 2 m2 xy = lm( 2 1 由于 l 2 + m 2 = 1 ，消除 m ，得到 1 1 = ±l 1 l ( 2 1 = ± l l ( 2 1 = ± l 2 ( 2

20、1 4 2 2 n 2 2 4 2 9 由上式可见，当 1 1 2 时，此时 l = 0 时 ， n 取 得 最 大 或 最 小 值 。 于 是 ， 得 到 l = ± 2 2 1 ，从而有 2 m = ± 1 l2 = ± n 证毕。 n = max or n = min = 1 + 2 2 = x + y 2 2-15 设已求得一点处的应力分量，试求 1 , 2 , 3 。 (1 x = 100, y = 50, xy = 10 50 ； 12 x ( ij = 11 = 21 22 xy 50 xy 100 = y 50 10 50 解：由应力张量 其特征方

21、程为 det( I = 2 (100 + 50 2 2500(1 2 2 = 0 其解为 1 = 2 + 2 + 10 4 2 = 137.46, 2 = 2 + 2 10 4 2 = 33.25 故 1 = 2 + 2 + 10 4 2 , 2 = 2 + 2 10 4 2 , 3 = 0 (2 x = 200, y = 0, xy = 400 ； 解：由应力张量 12 x xy 200 400 ( ij = 11 = = 0 21 22 xy y 400 其特征方程为 det( I = 2 200 160000 = 0 其解为 1 = 100(1 + 17, 2 = 100(1 17 故

22、1 = 100(1 + 17, 2 = 0, 3 = 100(1 17 (3 x = 2000, y = 1000, xy = 400 ； 解：由应力张量 12 x xy 2000 400 ( ij = 11 = = 21 22 xy y 400 1000 其特征方程为 det( I = 2 + 1000 2160000 = 0 其解为 1 = 100(5 + 241, 2 = 100(5 241 故 1 = 100(5 + 241, 2 = 0, 3 = 100(5 241 (4 x = 1000, y = 1500, xy = 500 。 解：由应力张量 10 12 x xy 1000 1

23、500 ( ij = 11 = = 21 22 xy y 1500 500 其特征方程为 det( I = 2 + 500 2750000 = 0 其解为 1 = 250(1 + 3 5, 2 = 250(1 3 5 故有 1 = 250(1 + 3 5, 2 = 0, 3 = 250(1 3 5 2-16 设有任意形状的等度薄板， 体力可以不计， 在全部边界上(包括孔口边界上受有均匀压力 q 。 试证 x = y = q 及 xy = 0 能满足平衡微分方程，相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值 条件，因而就是正确的解答。 提示：(1在校核边界条件时，应考虑边界为任意的斜边界，并应用公式

24、(2-15。 (2对于多连体的情况，应由应力分量求出位移分量，再校核位移单值条件是否满足(参考第三章 中求位移的方法。 解：不计体力，即 X = Y = 0 。将 x = y = q 及 xy = 0 代入到 Navier 方程，满足。 代入到相容方程 2 2 + 2 2 y x 满足。代入到边界条件 2 ( x + y = (2q = 0 l x + m xy + ql = 0 m y + l xy + qm = 0 满足。所以是正确的解答。 2-17 设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷 载 F ，图 2-18，体力可以不计。试根据材料力学公式， 写出弯应力 x 和切应力 xy 的表达

25、式，并取挤压应力 1 o F y l h 2 h 2 x y = 0 ，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相 容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。 解 ： 由 材 料 力 学 ， x = x xy + = 0 ，得到 x y M 12 Fxy 代入 y= I h3 xy = 由 xy y =h 2 6 Fy 2 + f ( x h3 = 0 ，得 f ( x = 3F ，则 2h xy = 6 Fy 2 3F 2h h3 12 Fxy 6 Fy 2 3F 代入到应力相容方程 将 x = , y = 0, xy = 3 2h h3 h 2 2 + 2 ( x + y = 2 (2

26、q = 0 2 y x 11 2-18 试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为 fx = V V , fy = x y 其中 V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示成为 2 2 2 x = 2 + V , y = 2 + V , xy = xy y x 试导出相应的相容方程。 证明 平面问题中的平衡微分方程为 x xy + +X =0 x y xy x + +Y = 0 x y 现将 (1 (2 X = 代入(1和(2，得 V V 2 2 2 ,Y = , x = 2 + V , y = 2 + V , xy = x y y x xy 2 V 2 2 +V +

27、y xy + x = 0 x y 2 V 2 2 +V + x xy + y = 0 y x (3 (4 可见式(3和式(4恒等于零，满足平衡微分方程。 平面应力情况下的相容条件是 2 X Y 2 2 + 2 ( x + y = (1 + x + y x y 将 X = 代入上式，得 V V 2 2 ,Y = , x = 2 + V , y = 2 + V x y y x 2 2V 2V 2 2 2 2 + 2 2 + 2 + 2V = (1 + 2 + 2 x x y y x y 展开，得 2V 2V 4 4 4 + 2 2 2 + 4 = (1 2 + 2 x x 4 x y y y 在平

28、面应变情况下，只需将上式中的 用 1 4 4 4 1 2 +2 2 2 + 4 = 4 x x y y 1 进行代换，得 2V 2V 2 + 2 。 x y 12 x o x 2-19 试证明，§2-4 中所述的刚体位移分量 u0 , v0 及 实际上就是弹性体中坐标原点的位移分量 和转动角度。 证明：参阅教材 p17 y r y 第三章 3-1 试考察应力函数 = ay 在图示矩形板和坐标系 3 o l h x 中能解决什么问题（不计体力） 。 o h x e P l y e P (b x y ( a x 解 此为逆解法。需注意，凡 4 次以上的应力函数多项式均应代入相容方程进行检

29、验。此处应力 函数为三次式，满足是显然的。 当不计体力时，应力分量为 2 2 2 x = 2 = 6ay, y = 2 = 0, xy = =0 xy y x 将上述应力分量表达式分别引入边界面的坐标后，可得对应的面力为 x = 0 面， 13 x x xy x = l 面， x =0 = 6ay = 0, x x = 0, y = h x = 0, y = 0 x =0 = 6ah =0 = 6ay = 0, x x =l , y = h x x xy x =l x =l , y = 0 x =l = 6ah =0 由上两式可得对应的面力(图 a，当 l >> h 时，根据 S-

30、N 原理还可等效为偏心受拉问题(图 b。 当 a > 0 时为偏心拉伸，当 a < 0 时为偏心压缩。 3-2 取满足相容方程的应力函数为：(1 (2 = ax 2 y ， h 2 h 2 y l (h = bxy 2 ，(3 = cxy 3 ，试求出应力分量（不计体 o 力） ，画出图示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界 上表示出面力的主矢量和主矩。 解： (1 x x = = 0, y = 2 = 2ay, xy = = 2ax 2 xy y x 2 2 2 b 在边界 y = h 2 处， l = 0, m = 1 C X = lx + m xy = 2ax y = h 2

31、 y = h 2 Y = l xy y = h 2 + m y y = h 2 = ah o 2al h 2 h 2 x 在边界 y = h 2 处， l = 0, m = 1 C X = l x + m xy = 2ax y =h 2 y =h 2 Y = l xy y = h 2 + m y y = h 2 = ah 在次要边界 x = 0 上， l = 1, m = 0 14 h 2 h 2 h 2 (l x (l xy x =0 + m xy + m y x =0 dy = h 2 h 2 h2 ( x ( xy x=0 dy = 0 dy = 0 h 2 h 2 x =0 x=0 d

32、y = h 2 x =0 h 2 x x =0 ydy = 0 在 x = l 上， l = 1, m = 0 其边界如图示。 (2 h 2 h 2 h 2 (l x (l xy x =l + m xy + m y x =l dy = h 2 h 2 h 2 ( x ( xy x =l dy = 0 dy = 0 h 2 h 2 x =l x =l dy = h 2 x =l h 2 x x =l ydy = 12 F h 2 2 l y dy = 0 h3 h 2 x = 2 2 2 = 2by, y = 2 = 0, xy = = 2by xy y 2 x 2 2 2 = 6cxy, y

33、= 2 = 0, xy = = 3cy 2 xy y 2 x 边界情况思路同(1，略。 (3 x = 边界情况思路同(1，略。 3-3 试考察应力函数 = F xy (3h 2 4 y 2 3 2h 能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力） ，画出图示矩形边界上的面力分布（在次要边界上画 出面力的主矢量和主矩） ，指出该应力函数能解决什么问题。 解：将 代入双调和方程 2 2 = 0 ，满足。齐方程应力通解为 x = y = xy 2 12 F = 3 xy 2 y h 2 =0 x 2 2 4 F 2 F = = 3 y 3 (3h 2 4 y 2 xy h 2h F F 在边界 y =

34、h 2 处， l = 0, m = 1 C X = lx + m xy =0 y = h 2 y = h 2 Y = l xy y = h 2 + m y y = h 2 = 0 o l (h h 2 h 2 b Fl x y 15 在边界 y = h 2 处， l = 0, m = 1 C X = lx + m xy =0 y=h 2 y =h 2 Y = l xy y = h 2 + m y y = h 2 = 0 在次要边界 x = 0 上， l = 1, m = 0 h2 h 2 h2 (l x (l xy x =0 + m xy + m y x =0 dy = h2 h 2 h2 (

35、 x ( xy x =0 dy = 0 dy = F h 2 h2 x =0 x =0 dy = h 2 x=0 h 2 x x =0 ydy = 0 在 x = l 上， l = 1, m = 0 h 2 h 2 h 2 (l x (l xy x =l + m xy + m y x =l dy = h 2 h 2 h 2 ( x ( xy x =l dy = 0 dy = F h 2 h 2 x =l x =l dy = h 2 x =l h 2 x x =l ydy = 12 F h 2 2 l y dy = Fl h3 h 2 其边界如图示。可见能解决悬臂梁在自由端受集中力作用的问题。

36、3-4 试证 = qx 2 4 y3 y qy 2 4 3 + 3 1 + h 10 h y3 y 2 3 h h 能满足相容方程，并考察它在图示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为 l ，高度为 h ，不计体力） 。 解题方法完全同 3-3，此处解略。 h 2 o x h 2 y 3-5 设有矩形截面的竖柱， 密度为 ， 在一边侧面上受有均布剪力 q ， 如图所示，试求应力分量。 解 本题采用半逆解法，即先根据已有力学知识分析图示柱子的应力 分布规律而设定某个应力分量的函数形式， 然后反推出应力函数并使其满 足相容方程和应力边界条件。 结合图受力特点以及材力知识， 可知这属于 故

37、可假设： 偏心受压、 纵向纤维间无挤压以及剪应力的分布只是 x 的函数， l (h b x h g q y 16 2 x = 2 = 0 y 积分得 = yf1 ( x + f 2 ( x 代入到双调和方程得 y 必有 故 d 4 f1 ( x d 4 f 2 ( x + =0 dx 4 dx 4 d 4 f1 ( x d4 f2 ( x = 0, =0 dx 4 dx 4 = y ( Ax 3 + Bx 2 + Cx + Ex 3 + Fx 2 应力分量为 2 x = 2 = 0 y 2 y = 2 Yy = 6 Axy + 2 By + 6 Ex + 2 F gy x 2 xy = = (

38、3 Ax 2 + 2 Bx + C xy 利用边界条件，可得 A= 故有应力解答 q q , B = ,C = E = F = 0 2 h h x = 0 y = xy = 2qy 3x 1 gy h h qx 3x 2 . h h 3-6 如图所示墙，高度为 h ，宽度为 b ， h 3 b ，在两侧边受到均布 o x 剪力 q 的作用，试用应力函数 = Axy + Bx y 求解应力。 解：将 = Axy + Bx y 代入双调和方程 3 2 2 = 0 ，满足。其应力 b 2 b 2 通解为 q q h y 17 (h b x = y = xy 2 =0 y 2 2 = 6 Bxy x

39、2 2 = = A 3Bx 2 xy 在边界 x = ± b 2 处， X = 0, Y = q ， l = ±1, m = 0 ，有 A 3 2 Bb = q 4 在次要边界 y = 0 处， X = 0, Y = 0 ， l = 0, m = 1 ，由于无法确定积分常数，可选择圣维南边界， 即 b 2 b 2 y y=0 dx = 0, b 2 b 2 xy y=0 dx = 0 显然，第一式恒满足。由第二式， 联立得 b2 b 2 xy Bb3 dx = ( A 3Bx dx = Ab =0 y=0 b 2 4 b2 2 q 2q A = ,B = 2 2 b 代入上

40、面应力表达式，则有 x = 0 y = xy 12q xy b2 2 q 6 q 2 = = x xy 2 b 2 3-7 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩 作用，不计体力， l 2 3 h ，如图所示，试用应力函数 3 Fn M Fs = Axy + By + Cy + Dxy 求解应力分量。 解：将 = Axy + By + Cy + Dxy 代入双调和方 2 3 3 o h 2 h 2 x y l 程 2 2 = 0 ，满足。 其应力通解为 18 x = y = xy 2 = 2 B + 6Cy + 6 Dxy y 2 2 =0 x 2 2 = = A 3Dy 2 xy 在主要边

41、界上， y = ± h 2, X = Y = 0, l = 0, m = 1 ， A+ 在次要边界上， h2 h2 3 Dh 2 = 0 4 dy = Fs , h 2 h 2 x dy = Fn , x =0 h 2 xy x =0 h 2 x x=0 ydy = M 将应力通解代入上式，可得 联立解得 h2 h 2 (2 B + 6Cy dy = 2 Bh = Fn ( A 3Dy 2 dy = Ah (2 B + 6Cy dy = 1 3 Dh = Fs 4 h2 h 2 h2 h 2 6 h3 C = M 4 4 A= F 2F 3 Fs 3 , B = n , C = 3

42、M , D = 3s 2 h 2h h h x = y = 0 xy = Fn 18M 12 F 3 y 3 s xy h h h 3 Fs 6 Fs 2 + 3 y 2 h h 3-8 设图示三角形悬臂梁是受重力作用，而梁的密度 为 ，试用纯三次式的应力函数求解。 解：取纯三次式应力函数为 n x = Ax3 + Bx 2 y + Cxy 2 + Dy 3 可验证其满足双调和方程 2 2 y g =0 。选取与体积力 X = 0, Y = g 对应的特解为 0 0 0 x = 0, y = gy, xy = 0 应力通解为 19 x = y = xy 从而有 2 = 2Cx y 2 2 =

43、6 Ax + 2 By x 2 2 = = 2 Bx 2Cy xy 2 0 + x = 2Cx y 2 x = x + x0 = 0 y =y +y = 0 xy = xy + xy 2 0 + y = 6 Ax + 2 By gy 2 x 2 0 = + xy = 2 Bx 2Cy xy = 0, xy =0 由边界条件，在 y = 0 面上， X = Y = 0 ， l = 0, m = 1 ，则 y l x l xy 得 y =0 y =0 得到 A = B = 0 。在 y = x tan 面上， X = Y = 0 ， l = sin , m = cos ， y = x tan +

44、m xy + m y y = x tan y = x tan =0 =0 y = x tan C= 从而有 g 2 cot , D = g 3 cot 2 。 x = g cot 2 gy cot 2 y = gy xy = gy cot . 3-9 设图示简支梁只受重力作用，梁的密度为 ，试用应力函数 = x2 A B ( Ay 3 + By 2 + Cy + D + x( Ey 3 + Fy 2 + Gy y 5 y 4 + Hy 3 + Ky 2 2 10 6 求解应力分量，并画出界面上的应力分布图。 ql g o h 2 h 2 y l ql x l 20 解：可验证其满足双调和方程

45、2 2 = 0 。选取与体积力 X = 0, Y = g 对应的特解为 0 0 0 x = 0, y = gy, xy = 0 应力通解为 x = 2 x 2 = (6 Ay + 2 B + x(6 Ey + 2 F 2 Ay 3 2 By 2 + 6 Hy + 2 K 2 2 y 2 y = 2 = Ay 3 + By 2 + Cy + D x 2 = x(3 Ay 2 + 2 By + C (3Ey 2 + 2 Fy + G xy = xy 从而有 2 x2 0 x = x + = 2 + x = (6 Ay + 2 B + x(6 Ey + 2 F 2 Ay 3 2 By 2 + 6 H

46、y + 2 K 2 y 0 x 2 0 y = y + = 2 + y = Ay 3 + By 2 + Cy + D gy x 2 0 0 + xy = x(3 Ay 2 + 2 By + C (3Ey 2 + 2 Fy + G xy = xy + xy = xy 0 y 由边界条件确定待定常数。 考虑到对称性， xy 应为 x 的奇函数， x 和 y 应为 x 的偶函数，故由应力的第一和第三式得 E = F = G = 0 。注意到利用了对称性，相当于利用了一部分边界条件。 长边： y y=±h 2 =0 h3 h2 h h h3 h2 h h A + B + C + D g =

47、0, A + B C + D + g = 0 8 4 2 2 8 4 2 2 xy =0 y=±h 2 3h 2 3h 2 A + hB + C = 0, A hB + C = 0 4 4 得 B = D = 0, A = 短边： 2 g 3 , C = g 2 2 h h 2 得 h 2 h 2 x x = l dy = 2 Kh = 0, K = 0, H = h 2 x x = l ydy = 2 Kh = 0 gl 2 h 2 g 10 从而有 21 4 y 2 6 g 3 + 2 y (l 2 x 2 gy 2 h h 5 2 6 gy 4 y 1 2 y = 2 h x

48、= gy xy 6 gx h 2 = 2 y2 4 h 3-10 图示悬臂梁，长为 l ，高为 h ， l 均布载荷 q ，试检验应力函数 h ，在边界上受 q = Ay 5 + Bx 2 y 3 + Cy 3 + Dx 2 + Ex 2 y 能否成为此问题的解？若可以，试求出应力分量。 解：将代入 代入到双调和方程 2 2 o h 2 h 2 x = 0 ，得到 y l 24(5 A + B = 0 因此，要使 成为应力函数，需满足 5 A + B = 0 ，即 = Ay 5 5 Ax 2 y 3 + Cy 3 + Dx 2 + Ex 2 y 可以作为应力函数。应力通解为 2 x = 2 = 30 Ax 2 y + 20 Ay 3 + 6Cy y y = xy 2 = 10 Ay 3 + 2 Ey + 2 D 2 x 2 = = 2 Ex + 30 Axy 2 xy 在上边界 y = h 2 上， X