曲线积分与曲面积分复习

1、第8章 曲线积分与曲面积分8.1向量值函数在有向曲线上的积分第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功w| F | l | cosF l变力沿曲线运动取微元dw | F | dsPdx Qdy，则 W l Pdx Qdy。平面曲线PdxLQdy ,空间曲线L PdxQdy Rdz，性质 ll一、计算方法1 设参数，化定积分tiLP(x, y)dx + Q(x,y)dy = t Px(t), y(t)x (t)Qx(t), y(t)y (t)dtLt0Q P2 .平面闭曲线上积分用格林公式dxdy - Pdx Qdy，其中L是Dd x yL的取正向的边界曲线，D为单连通区域，P, Q与DL上有连

2、续一阶偏导数。3 对于积分与路径无关的可自选路径4 积分与路径无关P(x,y),Q(x, y)及偏导数于D L上连续。下列四个命题等价(1) ” Pdx Qdy = 0，对D内任意闭曲线C.C(2) LPdx Qdy积分与路径无关B(3) 存在 u(x, y)使 du = P(x, y)dx Q(x, y)dy l Pdx Qdydu u |AP Q(4) 在D内恒成立./J霸=1z = 住/DXE产-1A兀积分常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径、例题1 基础题目，设参数，化定积分(1)计算I :xdyLydx， L :如图ABCDEA（1 ）设参数法于L1上设xcost， ysin

3、t022 、,xdyydx(cos tsin t)dtL122于L2上设xcost， y2s in txdyL2ydxo2 (cost 2cost 2sint sint)dt2于L3上以x为参数，dy2xdx xdyL3Jydx0于L4上以y诶参数x2，dx 0L4xdyydx于L5上y1，以x为参数（dy 0） lxdy5ydx综上xdy ydx 14 2L23解（2）（用格林公式）Lxdyydx2dxdy2(Sl ?2 S3S4)Lii 1Lx( 2x)(2020 V2dyx2)dx 2.2(1)dx 232 111 2 丄？2、. 2 22?丈sitcos2t 2dt2R2sin2Rco

4、s d2 2442 32(2)计算1:C y dx z dy x dz。其中C是曲线22 2-2xy zR22(R 0,z 0)xy Rx从x轴正向看去，逆时针方向。解（1 )令2 2z.R22 2x yRsin R .2ysin22R2 . 2R .2 2RR2 .2 Rcos d0 sinsinR sin cos(1cos )0422242213R4解（2）由对称性2zdy 0，而y2dx 0，2:x dz 0，由上述参数法CCCR RX 一 cos2R3 0 sin2t(1 2sin2t)dt2R3 02(sin2t 2sin4t)dt向。2R注（i）设参数注重平面，“抓住平面痕迹，解得

5、空间曲线（2）对称性问题，以直观（几何）定义解之为好2X(3)计算：° ydx zdy xdz。L:LxR2 交线,1Z轴正向看去逆时针方(令 x Rcost, y Rsin t， z 1 RcostRsin t)例2格林公式（加线减线）(1)计算exsi ny b(x y)dx (excosy ax)dy，C :从点 A( 0,2a)沿曲线Cx . 2ayy到点o（0,0）的曲线。连接O ,A 直线段(记为 L) I Pdx Qdy Pdx QdyC LLx .:e sin yC Lb(xxy)dx (e cosy ax)dyxe sin yLb(xy)dx (ecosy ax)d

6、y(e cos y a)D(ex cos y2ab)dxdy 0 cos ydy(bDa)dxdy sin y Q a22(b a) sin 2aL是不过原点的简单闭曲线（正向）计算曲线积分xdy ydxl _。(1)当L不包围原点时xdy ydxL4x22 2 2y 4xy2222 dxdy 0y D (4x y )(4x y )4x2(2 )当L包围原点时，做小椭圆 L:4x2 y22（使 充分小，从而Le含于闭曲线内）。则lxdy 2 ydx(1L LD注：本题为一特殊类型，形式：闭曲线围奇点；只当满足Q 可微，此时对于任x y意围奇点的闭曲线积分相等。例3 （积分与路径无关问题）a.

7、P，Q已知，积分与路径无关,自选路径（1 ）计算，L： yL22L xyQP积xyxdyydx221 xy解易验证则原式L.xdy ydxcos x，2，做A( 1,0)至 B(0,1)再到 C(1,0)弧段2y 1（y0）段（记为L）2 2Lxdy ydx (cos t sin t)dt(2)计算21,1)沿y x到(12xy ey)dx (cosy xey)dy，其中 AOB 为起于 A(AAOB0(0,0)再沿 y0 至 B(2,0)。eydxAOOB AO2xeydy12xydx cosydy (0 1)dxAAOd(xey)AAO°12xx2dx101 cosydy 2xe

8、y(0,0)(1,1)sin y I；2 e 1 sin 1Q之一未知,已知积分于路径无关问题。y L xxf y dxxyxf 1xdy0 ,其中L是任一不与y轴相交的简单光滑闭曲线,求f (x)。解L原积分为零，则Q，即12yZ)fC) X 爲 f =xyxxxxxx乂 f上2f y2y,令#t，得 tf(t)2f (t)2t2,f (t) - f (t) 2xxxxxt2 2f (t) edtdtt2e t dt c;t22dtc2t2ct22t ct2t2t代入f (1)1 得 12 c ,c 3，f (t)3t22t , f(t)t3 t2 G ,代入初值f (1)1 得 111G

9、,G1，则f(t)t3 t21 即 f (x) x3 x21(1 )设f具有连续二阶导数，且 f (1) f (1)1 ,2(2)设函数Q(x, y)与xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分L2xydx Q(x, y)dy 路径无关,且t恒有(t,1)(1,t)(0,0)2xydx Q(x, y)dy (°,。)2xydx Q(x, y)dy求 Q(x, y)。解由于积分与路径无关，得Q2(2xy) 2x，则 Q(x, y) x c(y) , c(y)为 x y待定函数，则(t,i)(0,o)2xydx Q(x, y)dy1 _ - 10(t c(y)dy t 0c(y)dy(i

10、,t)tt(0,o)2xydx Q(x, y)dy 0Q(1, y)dy 0(1 c(y)dy tt0c(y)dy从而t210c(y)dy tt0c(y)dy，对 t 求导得 2t 1 c(t) , c(t) 2t 1 ,c(y) 2y 12从而 Q(x,y) x 2y 1 ；小注：上述两例由积分与路径无关，和P, Q之一未知而导得微分方程，称为解方程问题。8.2向量值函数在有向曲面上的积分一、概念与形式1 定义流量 Q | v| S cos(n,v)=v s , dQ v ds=Pdydz Qdzdx Rdxdyv (P(x, y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z)v dS Pdyd

11、z Qdzdx RdxdySS2 物理意义：计算流量，通量3 .性质：SSP QR5.咼斯公式dvPdydz Qdzdx Rdxdy,x yz或PQR dv(Pcos QcosRcos )dSxyz4 .计算方法：投影，定号：上正下负，右正左负，前正后负，做二重积分向余弦.二、例题2例1求积分 xyzdxdy，其中S : xs外z21， x0, y 0部分外测解把S分成两部分：S上 : zx2，ST : zS外S上外S下外D xy2 xy ； 1Dxy面外测。解：s外Dzx2Dzxxy ； 1 x2y2dxdy(i)Dxy( . 1x2yxy2)dxdyydzdxydzdxdxdycosd :

12、宀1r2 rdr2o15(z21)dxdy，其中 S:xydzdxs左外ydzdxS右外(、4 x2)dzdx4 x2dzdxDzxx2dzdx2<42dx2 xdz0x 2,z0所截部分曲(zS外1)dxdy综上，原式例3计算axdydza)dxdy1z 222j(x y z )(x:下半球面'一 a2x2y2 上侧(a 0)。解做xoy面x y，记So，取下侧，则1原式axdydza(x1 1a)dxdya s- a s0 下(axdydz(0)(x a)dxdySo11adv ( 1)- a Va D(x(xy0) a) dxdy 彳 a3例 4 计算：.：x2dydz-

13、f () y2 dzdxz z1 f （丄）z2 dxdy,其中f具有连续偏 y z2 2 2y z 1 和 x29y z 4所围立体表面外测。解I2xv4fz2y丄yf (00|22 (xvyz)dv2vzdv 20d154例5设S为上半球面：2 2x y2 z2(A)x dydz；（B）xdydz；S上S上导数,4) 2zdvz-4 sin cos d r rdr0 1a2(z 0),(a0)，下列积分不为零的是(C) xdS ；( D) xyzdS ( B)SS8.3Stoks 公式应用例dydzdzdxdxdy、公式：】PdxQdyRdzR Q()dydz s y zR)dzdx x）

14、dxdy,l与S的方向满足右手定则。 y二、例题例1计算= ydxCzdyxdz，C为曲线2a一其方向为从z轴正向看去为反时针方向。dydzdzdxdxdy解原式Sdydzdzdxdxdy(coscoscos)dS由 F(x, y,z) x y z 0, Fx1, Fy 1 , Fz 1 , n (1,1,1)。丄丄丄.3' 3' 3 '1cos cos cos。上式 3 dSS2例2计算I (yy z 2与柱面| x |dydz3 a2。2 2 2 2 2z )dx (2z x )dy (3x y )dz，其中 L 是平面|y| 1的交线，从z轴正向看去为逆时针方向。

15、dzdx dxdy解原式Sy z2z2 x2 3x2 y2(2y 4z)dydz (S2z 6x)dzdx(2x2y)dxdy注意到dydz cos dS1-dS， dzdxcosdS1 1dS， dxdy cos dS dS上式2y 3z)dS4x2y 3(2 x y) 3dxdy2 (x y 6)dxdyD12 dxdyD24 。注：此类问题命题方式通常都是平面与曲面交线,且总是要化成第一型曲面积分来处理。同时为减少计算量 P，Q，R通常为一次函数，充其量不过二次。习题课计算ABCDAdx dy|xy| 1，其中ABCDA为|x|解 积分路径如图8 21，利用对称性。将原式分成两部分，即y

16、 i/B(0.1)尸2</工/| y| 1，取逆时针方向dx dyABCDA | xy |1dxdy0 oABCDA | xy |1 ABCDA | xy |1第一个积分，曲线关于 x轴对称，L在上半平面部分的走向与 L在下半平面部分的走向相反(前者A C,后者C A),被积函数是y的偶函数。第二个积分，曲线关于 y轴对称,L在右半平面部分的走向与L在左半平面部图 8 - 21分的走向相反(前者D B，后者BD)，被积函数是x的偶函数。所以两个积分均为零.dxI”,ABCDA | xy |上述结论再一般情况下也成立对坐标的曲线积分，当平面曲线 L是分段光滑的，关于 x轴对称，L在上半平面

17、与下半平面部分的走向相反时,(1 )若 P(x, y) P(x, y)(即 P(x, y)为 y 的偶函数)，贝U L P(x, y)dx 0 ；(2 )若 P(x, y) P(x, y)(即 P(x, y)为 y 的奇函 数)，则,P(x,y)dx 2 , P(x,y)dx，其中为L的上半平面的部分.L L1类似地，对LQ(x,y)dy的讨论也有相应的结论.例2 设P(x, y)，Q(x, y)在光滑的有向曲线 C上连续，L为曲线弧C的弧长，而M max . P2 Q2，证明cPdxQdy LM.由两类曲线积分的联系和性质，有cPdxQdyc(PcosQsin )ds|(PcosQsin )

18、 |dsCJ (Pi Qj) (cos i sin j)|dsCI(Pi Qj)ll(cos isin j)|dsP2 Q2ds M ds ML.C 'C例3dydz zdzdxz e计算甘中-是锥/ 22kJ Akj y ,丿、i”宀xy厂22面zx y被平面z1和z 2所截得的部分的下侧.解在计算dydz 时，可分为两块，即前面一块 1和后面一块2 ,1在yOz平面上的投影为正,2在yOz平面上的投影为负，其投影区域Dyzy相同见图9 - 22.故图 8 - 22dydzdydz dydz dydz dydz 0.2DxyDxy在计算zdzdx时，可分为两块，即右面一块3和左面一块

19、3，3在zOx平面上的投影为正,2在zOx平面上的投影为负，其投影区域Dzxzdzdxzdzdx zdzdx zdzdx zdzdx34DzxDzx0.在计算dxdy,时，注意被积函数 R(x, y, z)2 2x yze中X2中，y2eze x2 y2，在xOy平面上的投影为负，投影区域Dxy可用极坐标表示为2,02 ，故z ex2 y2e y-2 2 dxdy.x y/ 2 Dxy, x2yu入uy22e!drdr 2 e(1 e)01 r例4 计算 xdydz ydzdx (x z)dxdy，其中 是平面2x 2y z 2在第一卦限部分的上侧解因为取上侧，因此法向量n与z轴正向的夹角为锐

20、角，其方向余弦是2cos , cos32,cos1，则有33xdydz ydzdx (x z)dxdy2x 2y 1x 1z dS 1 3x 2y zdS.333 33计算133x 3yzz dS。的方程为z 2 2x 2y，其在xOy平面的投影区域DXy: 0 y 1x,0 x 1，又曲面的面积元素I 22/22dS J Zx Zydxdy Ji ( 2)( 2) dxdy 3dxdy所以xdydz ydzdx (x z)dxdy(3xD xy2y 2 2x2y)3dxdy11 x0dx 0 (x 2)dym为常数.得闭曲线AnOA，从而1oJA(ex cosy my)dymy)dx (ex

21、cosy my)dy，其中 L 是 x2 y2 ax从点mdxdyD图 8 23例 8 计算 IL(exsin yA(a,0)到点0(0,0)的上半圆弧,解我们补一条直线OA， 可以是呀格林公式IJeXsi ny my)dxxx= (e sin y my)dx (e cosy my)dyAnOA=ex cosy (ex cos y m)dxdyD其中D为半圆x222ay ax, y 0, dxdyD8/ X °A(e sin ymy)dx (excosy my)dy 0，故 I例9计算解因为(1)当(2 )当xdydz ydzdx zdxdy，其、中丨32 2 2 2 (x y z )Q0(x2 y2y z不包围原点时，由高斯公式即得包围原点时，取 1 x y1由高斯公式，得：.xdydz ydzdx为任一不经过原点的闭曲面的外测0)，所以xdydz ydzdx zdxdy0 o/ 2 2(x yz2 r2的外测,3/ 2 2 2、？(x y z )2zdxdy _ s xdydzydzd