高一第一学期集合典型例题

1、J=T第一学期集合典型例题:1 .解不等式：缶+ 5 > K+1,555解：设尸隹口不，即'2门。对应的曲线是以乂(F ,o)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数户=工+1的图象是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2,此不等式的解在图象上就是抛物线位于直线上方的部(a| - <2)分，故不等式的解集是2,。2 .已知用+ T+1 = 0 ,则依一1丫的最小值是 如果将+6'- 1)一看成是两点之间的距离，那么我们头脑里就立即造出一个几何模型来。(x,y)和(1,1)两点之间的距离。点(1,1)到直线K+¥ + 1 = °的距

2、离即为满足题目条件的最小值。f (x) = log 2a (x + 1)满足 f (x) > 0,则 a 的取值3 .若定义在区间(一1,0)内的函数 范围是().A. (0, -) B . (0,°C . (-, +8) D . (0, +8) 222分析数形结合.由在(一1, 0)内f (x) > 0可知函数f ( x) = log 2a (x + 1 )在(一1 , 0)内的图象位于 x轴上方，且x-0时，f (x) 一 0 (如图所示).所以底数2a应满足0V 2a< 1,得0v av工，选A.2评注解题时应善于将f (X) >0加以转化，由式想形.本

3、题还可进一步考查函数在(1, 0)内的单调性.4 .设函数 f (x) = x sin x (xC R).(1)证明 f (x + 2 k ) f (x) = 2 kx sin x,其中为 k 为整数；(2)设xo为f (x)的一个极值点，证明f(x0)2°- .1 xo证明 (1)由函数f (x)的定义，对任意整数k ,有f (x + 2 k ) f (x) = (x + 2 k ) sin (x + 2 kx) x sin x = (x + 2 k ) sin x x sin x = 2 k sin x.(2)函数f (x)在定义域R上可导,f ' ( x)= x cos

4、 x + sinx.令若xw o.当得sin sin x =一x cos xcos x .=o ,这与 cos 2 x + sinx = 1 矛盾，所以 coscos x wo 时,由于函数y = -x(x)= o 有解，ff ' ( x)= o的图象和函数y = tanx = tan x .x的图象知,(x)的极值点xo 一定满足tan x o = - xo.当 f ' ( xo) = 0 时,f (xo)2x2 sin2 xo22xo sin x_ 22sin xo cos x2 .2xo tan xo21 tan xolini- y tx15.设二次方程：x2-px+15

5、=o , x2-5x+q=o 的解集分别为 A,B,且 AU B=2.3.5 , AA B=3.试求A B及p、q的值。解：解：: AA B=3.3是两个方程的公共跟，分别代入其方程得得p=8q=6原方程分别为 x2-8x+15=o 及 x2-5x+6=o设他们的另一根分别为a和3 ,由二次方程的根系关系得二15=53 二63 =2.A=35B=2，36 .函数f(x) =ax2-(3a -1)x + a2在1, 十m 上是增函数，求实数 a的取值范围. 解：当a=o时，f(x) =x在区间1 , +8)上是增函数。若avo时，无解.a的取值范围是owaw1.7 .利用函数单调性定义证明函数f

6、(x) =x3 + 1在(8, +8)上是减函数.证 取任意两个值 x1, x2 C ( 8, + oo )且x1 v x2 .解：定义域为(00, 0)U(0, +°°),任取定义域内两个值 x1、x2 ,且x1vx2.当 0vx1vx2w 1 或1 Wx1 vx2 <0 时，有 x1x2 K0, x1x2>0, f(x1) >f(x2)f(x)在(0, 1, 1, 0)上为减函数.当 1Wx1 vx2 或 x1vx2W1 时，有 x1x2 1>0, x1x2>0, f(x1) > f(x2) ,，f(x)在(00, - 1 , 1 ,

7、 +OO )上为增函数.根据上面讨论的单调区间的结果，又x>0时，f(x)min =f(1) = 2,当x v 0时，f(x)max=f( -1)=-2.8 .定义域为R的函数y=f(x),对任意xC R,都有f(a+x尸f(a-x),其中a为常数.又知x C(a, +8)时，该函数为减函数，判断当 xC(-oo, a)时，函数y=f(x)的单调状况，证明自 己的结论.解：当xC (- 8, a)时，函数是增函数.设 x1x2a,则 2a-x 1 >2a-x2> a.因为函数y=f(x)在(a, +8)上是减函数，所以f (2a-x 1) v f(2a-x 2)注意到对任意

8、x C R,都有f(a+x)=f(a-x),可见对于实数 a-x 1,也有fa+(a-x 1)=fa-(a-x1),即 f(2a-x 1)=f(x 1).同理 f(2a-x 2)=f(x 2).所以f(x 1) vf(x 2),所以函数y=f(x)在(-00, a)上是增函数.9 .已知函数 y=si n2x+J3 cos2x-2.(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象.(2)求这个函数的周期和单调区间.(3)求函数图象的对称轴方程.(4)说明图象是由y=si nx的图象经过怎样的变换得到的.解：y=sin2 x+ , 3 cos2x-2=2sin(2 x+ )-23列表x6127125

9、62x 302322y 2sin(2x -) 2-20-2-4-2其图象如图示(2) T =式. 2由+2kn W2x+ w +2。，知函数的单调增区间为 232 5-tz +k tz , +k n,k C Z.3由一+2knw 2x+ w n+2k n ,知函数的单倜减区间为232+kn,n+kn ,kCZ.(3)由 2x+ = 一 +k n 得 x= + it.3 212 2，函数图象的对称轴方程为x= +n，(kC Z).12 2(4)把函数yi=sin x的图象上所有点向左平移一个单位，得到函数y2=si n(x+)的图象；再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的工倍(纵坐标不变)，得到

10、y3=sin (2 x+)的23图象；再把y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y4=2sin (2 x+)的图象；最后把y4图象上所有点向下平移2个单位，得到函数 y=2sin (2 x+- )-2的图象.10 .如图，某地一天从 6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin( w x+()+ B.(1)求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式.F*温度/飞解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是30-10=20( C)(2)图中从6时到14时的图象是函数 y=Asin(x+巾)+B的半个周期的图象12一 =14-6co8又由图可得A30 10 10,

11、B. .y=10sin(x+ 6 )+20. 82将x=6, y=10代入上式得:sin( Tt +()=-1434xe 6,14.因此,13sin(2x- 6)- 12.42故所求的解析式为y=10si n( x+-n)+208411 .a为何值时，方程 sin 2x+2sin xcosx-2cos 2x=a有实数解.解：当实数a取函数y=sin 2x+2sin xcosx-2cos 2x值域中的数值时，原方程有实根 求a的范围，实质上就是求上述函数的值域.y=sin 2x+2sin xcosx-2cos 2x=1+sin2 x-3cos 2x=1+sin2 x- 3 (1+cos2 x)2

12、=sin2 x- 3 cos2x-213313cos其中sin二13 113 11” ,122即ae 、13 1 v13 1 时，原方程有实数根12.某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室.(如图所示)，ABCO一块边长为50 m的正方形地皮，扇形 CEF是运动场的一部分，其半径为 40 m,矩形AGH是拟建 的健身室，其中 G M分别在AB和AD上，H在 上.设矩形AGHM的面积为S, / HC= 0 , 请将S表示为0的函数，并指出当点H在 的何处时，该健身室的面积最大， 最大面积是 多少？分析：主要考查学生解决实际问题的能力及函数最值的求解解：延长 GHIx CDT N,则 NH=

13、40 sin 0 , CN=40 cos 0 . HMND=50-40 cos 0 , AM=50-40 sin 0 .故 S=(50-40 cos 0 )(50-40 sin 0 )=100 25-20(sin 0 +cos 0 )+16sin 0 cos 0 (0 < 0 < -).令 t =sin 0 +cos 0 = J2 si n( 0 +).则 sin ecose= J 且 te 口,2<2 .S=100 25-20 t+8(t2-1) =800( t- 5) 2+450.4又 tC1, J2【.当 t=1 时，Srna)=500.此时 <2 sin( 9

14、+ )=1sin ( e+7)=12即 8 =0 或 8 = .E或F处时，该健身室的面积最大，最大值是500 m2.答：当点H在f的端点13 .已知y=f(x+1)的定义域为1,2,求f(x) , f(x-3)的定义域。分析：f(x+1)的定义域是指x的取值范围，即1WxW2,那么x+1的取值范围为2,3,这就 是f(x)的定义域。解： y=f(x+1)的定义域为1,2, .-2<x+1<3即f(x)的定义域为2,3 又.f(x)的定义域为2,3- 2<x-3 <3,5<x<614 .试用适当的方式表示：被 3整除余1的自然数集合.解 集合可以表示为x|x

15、 =3n+1, nC N.15 .解不等式 xA2-ax+a > 0解：这个二次函数开口是向上的(1) 当4 0时，整个函数图象都在 X轴上方，所以xA2-ax+a恒大于0,成芍 即 a2-4a0解得a为(0, 4) X为R(2)当4=0。函数有一个点在 X轴上，其他都在 X轴上方，所以xA2-ax+a >0, =0, a=4 或 0 X 为 R(3) 当40, a为(负无穷，0)并(4,正无穷)函数有一部份在X轴下了，16.已知角 终边上一点解：- tancos(一P (4, 3),求2-/11cos(-y3)sin()sin(-)的值) 0,成立。函数有两个和X轴的交点了，那要

16、f (X) > 0, X只能取在这两个交点的左右区间，包括交点。cos(一)sin( )'2sin sin,119、 sin coscos(-2-)sin(y )sin(2 )八 , 17. 求证： 2cos(sin证明：: sn2)包sin sin, sin(2 ) 9,2 cos(sinsinsinsin(2 ) sinsin2cos( )sin一! 2cos( )sinsinsin18.已知 sin x cosx解：: sin x cosx-(0 x51(05两边平方得，2sin xcosx),求tan x的值x )故cosx 024252一(sin x cosx) 1而

17、sin x cosx 02sin xcosx4925sinx cosx 7 与 sin x cosx51.一联立解得534sin x-, cosx一55, sin x 3tan x -cosx 419.已知tan 、tan 是方程x2 3<3x 4 0的两根，且 、(一，一)，2 2求 的值解：: tan 、tan 是方程x2 3j3x 4 0的两根，tan tan3v,3,tantan 4,从而可知 、(一 ,0)2故 (，0)tan tan 2又 tan( ) 31 tan tan231 120.已知函数 y sin x <3 cos- x 求：2 2(1)函数y的最大值，最小

18、值及最小正周期；(2)函数y的单调递增区间-1斛： y 2sin( x ) 23一，一，一， 一一， 一，一一 2(1) .函数y的最大值为2,最小值为一2,最小正周期T 4,.1(2)由 2k - -x - 2k ，k Z,得2232 5_函数y的单调递增区间为： 4k5 4k k Z3 '3，高一第一学期函数典型例题：一、函数值域21、函数 f x v'x V4 x , x 0 , 4的值域是 答案：分析：x e 0, 4,7x o, 4m 0y 乐 J4xy2 4 2sx J4 x .又 4 & y2 < 4 + ( x + 4 x) = 8 2 y 2应.

19、22、求下列函数的值域 y=3x+2( -1<x<1)解：-1&x01,- -3<3x< 3 ,-1<3x+2<5,即-1&y05,值域是 yC -1 , 523、 y=x2-2x+3v1>0 .(4ac-b2)/4a=4 X1X3- (-2) 2/4 X1=1即函数的值域是y|y >2二、函数最值24、f(x)=x2 -6x+12 x 4,6解：因为对称轴 x=-b/2a=-(- 6)/2 X1=3二次项系数1>0所以f(x)=x2 -6x+12在xC4,6是增函数所以 f(x)min=f(4)=4f(x)max=f(6)

20、=12f(x)的值域是4,1225、f(x)=x2 -6x+12 x 0,5解：因为对称轴 x=-b/2a=-(- 6)/2 X1=3二次项系数1>0所以f(x )=x2-6x+12在xC0,3是减函数,在xC(3,5是增函数所以 f(x)min=f(3)=3而 f(0)=12 f(5)=7,所以 f(x)max=f(0)=12 f(x)的值域是3,12常见方法有配方法、观察法、图像法例1、26、求下列函数的定义域和值域1 x(1) y 21 x(2) y 21 x解：(1)令t 2u定义域为R,有1所以0。即所求定义域为xx R,且x* 164 一21+xf(x) = 2 1-xx 0

21、,1 (可以直接应用：y2t21,即函数值域为(0,有 2 x1,2)121,x2,即所求定义域为而y ,2 x1 1 ,r20,函数值域为y27、例3、1 x2 6x 17已知函数y (2)5)12(,2x0,cx d (2,1Fax ba (ad bc)-2 c-5值域为yR且ya)b)求定义域及值域；求函数的单调区间。解：令2u(x) x 6x 17,一1 .11x R, 而 u 8, ), y (-)(-)，即y (0,)为所求值域。2228(2)当x 3时u(x) x2 6x 17, x增，u增；而 y (-)u, u增，y减。 2在3,)上，x增，y减。，函数为减函数。当x 3时1

22、u(x) x 6x 17, x增，u减；而 y (-) , u减，W曾。2在(，3上，x增，y增。函数为增函数。比较复杂但常见的求最值和值域的立体2 一228、已知 x, y 0,2x y 6,求 Z 4x 3xy y 6x 3y 的取值。解：.；y 6 2x 0,及x 0, 0 x 323 227Z 2x2 6x 18 2(x )2 (0 x 3),22最大值18;27最小值272x2 3，一29、.如何求函数 y (x1)的最值？x 12-2_(x 1)解：y=(x D 2(x D 4x 1x 1当且仅当4x 1 (x1)时取等号；x 1即x 1时，y的最小值是2。没有最大值。一， x 1

23、1、，另外y方法同上，即x 1时,x2 3 x2 3x 1y的最大值是1。没有最小值。2说明：本题不能用判别式法。因为 x Ro若用判别式法得求得x 3,不合。1“y 2y30、已知函数 f(x)2,2x bx cx2 1(b 0)的值域为1,3,求实数b、c的值。c 2,2x bx c角系：由y=zx2 1得(2 y) x2+bx+c y=0,当 y2W0,由 xC R 2，有 A=b4(2y) - (c-y) >0即 4y2 4(2+ c) y+8c-b2< 0,由已知得2+c=1+3且8c b =1X34b=±2, c=2又 b<0,b= - 2, c=2,而

24、 y 2=0, b= 2, c=2 代入式得 x=0b= 2, c=2 为所求31、(值域和最值结合在一起的典型例题),1 21解:f(x) (x ) , 对称轴为 x22,、1.1 473 x 02，."的值域为f,f，即 *小(2)f(x)min11°-,对称轴x一a,a1,221a -21a 121区间a,a 1的中点为x° a 1,2-111当a,即1 a时，22254.1f (x) max f (a 1),16,-216a48a 27 0 a一11 一3当a 11,即3 a222(a 1)234(a1(a 1)-49 人一不合)；41161 时，f(x)

25、max f(a)16，211 2cLe5 ,1一人aa,16a16a 5 0a-(a不合)；41644综上,x 1 a -32、 已知函数：f(x) (a R且x a)a x(1)证明：f (x) 2 f(2a x) 0对定义域内的所有 x都成立.1(2)当f(x)的定义域为a -,a 1时，求证：f(x)的值域为3, 2； 22 一(3)设函数g(x) x | (x a) f (x) |,求g(x)的最小值.x 1 a 小 2a x 1 a(1)证明：f (x) 2 f (2a x) 2 a xa 2a xx 1 a 2a 2x a x 10 a xx 1 a a x 12 a xx a，结

26、论成立(a x) 1.1(2)证明： f (x) 1 a xa x2, 21一，1当 a x a 1时 a 1 x a 22131 2 即f(x)值域为3, 2a x解：g(x) x2 | x 1 a | (xa)21 23当 x a 1 且x a时 g(x) x2 x 1 a (x )- a24,一11如果a1即a时，则函数在a 1,a)和(a,)上单调递增222g(x)min g(a 1) (a 1),如果 a 12即当 a ：时,g(x)min g( 1) 3 a1 .1而当a -时，g(x)在x a 一处无te义，故 g(x)取小值不存在2 221 25当 x a 1 时g(x) x

27、x 1 a (x ) a -24,113一15如果 a 1 即a 一时g(x)min g() a 22241 一3 一如果a 1 一即a 时g(x)在(，a 1)上为减函数g(x)min g(a 1) (a 1) 22当 a 3时(a 1)2 (a -) (a -)2 0 当a 1 时(a 1)2 (- a) (a -)2 02 42242综合得:13当a一时g (x)最小值是一a241 3o当一 a 一时g (x)取小值是(a 1)2 2三、函数的奇偶性33、试讨论函数f(x)解：f (x)f( x)12x2x2x1 2x5(x)最小值为a 一4(x)最小值不存1 ，的奇偶性.21 12x1

28、 2x11 11x1 22x12f(x)所以 f(x)12x 11 - - 一偶函数.2四、函数单调性 以选择题为常见形式34、若 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导,且 xC (a,b)时,f' (x)>0,又 f(a)<0,则A.f(x)在a,b上单调递增，且 f(b)>0B.f(x)在a,b上单调递增，且 f(b)<0C.f(x)在a,b上单调递减，且 f(b)<0D.f(x)在a,b上单调递增，但f(b)的符号无法判断答案：D35、2.函数y=3xx3的单调增区间是A.(0,+ 8)B.( 00 , 一 1)C.( 1,1)D.(1,+ 8

29、)答案：C36、3.三次函数 y=f(x)=ax3+x 在 x (8,+ OO）内是增函数，则A. a>0B.a<0C.a=11D. a=3答案：A237、f(x)=x+ - x（x>0）的单调减区间是A.(2,+ 8)B.(0,2)C.( V2,+ 8)D.(0, 、2 )答案：D38、.函数y=sinxcos2x在（0,）上的减区间为A.(0,arctan) B.(arctan ,一)C.(0, 一)22 221 D.(arctan ,)2 2答案：B39、函数y=xlnx在区间（0, 1）上是A.单调增函数C.单调减函数B.在（0, 1）上是减函数，在 eD.在（0,

30、1）上是增函数，在（ e,1（一,1）上是增函数 e1，口，一一，1）上是减函数e答案：B 典型大题 40、求下列函数的增区间与减区间 (1)y =|x2 +2x3|解(1) 令 f(x) =x2+2x-3=(x + 1)2 -4.先作出f(x)的图像，保留其在 x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到 x轴就得到y= |x2 +2x3的图像，如图 2. 3 1所示.由图像易得：递增区间是3, 1 , 1 , +00 )递减区间是(8, 3 , -1 , 1(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间.解 当x 1 >0且x 1 w 1时，得x>1且xw 2,则函

31、数y = x.当x1<0且x1w 1时，得x< 1且xw0时，则函数 y = x 2.，增区间是(8, 0)和(0 ,1)减区间是1 , 2)和(2 , +oo )解：由一x2 2x+3>0,得一3WxW 1 .令 u= g(x) =- x2-2x + 3=- (x + 1)2 +4.在 x -3, 1上是 在 x - 1, 1上是函数y的增区间是3, 1,减区间是1,1.41、.已知函数 f(x)=kx3 3(k+1)x2 k2+1(k>0).若 f(x)的单调递减区间是(0, 4),(1)求k的值；1(2)当k<x时，求证：2yx >3. x解：(1)

32、f' (x)=3kx26(k+1)x2k 2由 f (x)<0 得 0<x<k.f(x)的递减区间是(0, 4)2k 2=4, 1- k=1.k1(2)设 g(x)=27x x11g (x)=x x当 x>1 时，1< xx <x211k F，g' (x)>0.一 x xg(x)在xC 1,+8)上单调递增1x>1 时，g(x)>g(1)即 2 x >3 x2 /x >3 x42、 .三次函数f(x)=x3 3bx+3b在1,2内恒为正值，求 b的取值范围.,. x 1,2时，f(x)>0.f(1)>

33、0,f(2)>0 .f(1)=1>0,f(2)=8 3b>0b< 83又 f' (x)=3(x2 b)(1)若 bW1,则(x)>0f(x)在1,2上单调递增f(x)>f(1)>0升 8(2)若 1<b<- 3由 f' (x)=0,得 x= Jb当 1 WxW 芯时，(x)W0f(x)在1, Jb 上单调递减，f(x) >f( Jb)f( Vb )为最小值当 Jb<xW2 时,f' (x)>0f(x)在(Tb ,2上单调递增f(x)>f(、b)9 一，只要 f(Jb)>0,即 1<

34、b< 时，f(x)>49综上(1)、(2), b的取值范围为b<-.43、已知二次函数y = f(x)(x C R)的图像是一条开口向下且对称轴为x= 3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与 f(4)解(1) .y=f(x)的图像开口向下, 且对称轴是x = 3,.xR3时，f(x)为减函数，又 6>4>3,.f(6) vf(4) 时为减函数.解 ：任取两个值 x1、x2 C ( 1, 1),且x1 v x2 .当a>0时，f(x)在(一1, 1)上是减函数.当a<0时，f(x)在(一1, 1)上是增函数.证明题：44、利用函数单调性定义证明函数f(

35、x) =-x3+1在(8, +oo )上是减函数.证：取任意两个值 x1 , x2C(8, +oo )且*1<*2.又 x1 x2<0,f(x2) vf(x1)故f(x)在(8, +OO )上是减函数.得f(x)在(8, +OO )上是减函数.函数单调性与反函数的典型例题(总)选择题45 .下列函数中，在(0, 2)上为增函数的是(B )(A)y=-3x+1 (B)y=|x+2| (C)y=- (D)y=x 2-4x+3x46 .函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-00, 4)上是减函数，那么实数 a的取 值范围是(B )(A)3, +8 ) (B)(- oo,-3

36、(C)-3(D)(-? 547 . 已知函数 f(x)=2x 2-mx+3,当 xC (-2 , +)时是增函数，当 xC (-8, -2) 时是减函数，则f(1)等于(B )(A)-3(B)13(C)7(D)由m而决定的常数.48 .函数f(x)在(-2 , 3)上是增函数，则f(x-5)的递增区间是(A ) (A)(3, 8) (B)(-7, -2) (C)(-2, 3)(D)(0, 5).49 .函数yK'5 4x x2的递增区间是(B )(A)(-8,-2)(B)-5, -2(C)-2,1.(D)1, +-).50. 如果函数f(x)=x 2+bx+c对任意t都有f(2+t尸f

37、(2-t)，那么(A )(A)f(2)<*1)<f(4)(B)f(1)<f(2)<f(4)(C)f(2)<*4)<f(1)(D)f(4)<*2)<f(1)51 .函数y=f(x)的图象与直线y二x有一个交点，则y=f-1(x)与y=x的交点个 数为(B )(A)O 个 (B)1 个 (C)2 个 (D) 不确定52 .奇函数y=f(x)(x C R)的反函数为y=f-1(x),则必在y=f -1 (x)的图象上的点 是(B )(A)(-f(a), a) (B)(-f(a)，-a) (C)(-a，-f(a) (D)(a, f-1(a)53 .若函数

38、y=f(x)存在反函数，则方程f(x)=2c(c为常数)(C )(A)有且只有一个实根(B)至少有一个实根(C)至多有一个实根(D)没有实根54 .函数f(x)= 1x+b与g(x)=ax-5互为反函数，则a, b的值分别为(A )2(A)a=2, b=5(B)a= , b=2 (C)a= 1 , b=-5 (D)a=-5, b=222255.已知函数y=- v4 x2的反函数f-1(x)= 44 x2 ,则f(x)的定义域为(D)(A)(-2 , 0) (B)-2, 2(C)-2, 0(D)0,256.如果函数y=f(x)的图象过点(0,1),则y=f-1(x)+2的图象必过点(A )(A)

39、 (1,2)(B)(2,1)(C) (0,1)(D)(2,0)填空题 57、函数y= Jx2 2x的单调递增区间是 提示：由x2-2x>O,得函数的定义域为(-8, 0 U 2 , +oo).又抛物线开口向上， 对称轴方程为x=1,故递增区间为2 , +8.58、已知函数f(x)=x 2-2ax+a2+b, (1)若f(x)在(-巴 1)上是减函数,则a的取值范围是; (2)若对于任意xC R恒有f(x) >0,则b的取值范围是提示：由已知条件知a<1. vf(x)=(x-a)2+b0包成立，. b>0,故填a01,填b>0.59、函数y=3m(x-1)的反函数图

40、象必过定点提示：y=3m(x-1),x=1时,y=1.一/"?的图像必过(1,1)点.其反函数图像必过(1,1) 百八、.60、函数y=-(x-1) 2(x&O)的反函数为提示：y< -1,-y=(x-1) 2. . x=1 ± v y , . x& 0, "=1-J y .其反函数为y=1- x.解答题61、求函数f(x)=x+ 1在(0, +°°)上的单调性. x证明：设 Xi , X2 (O, +OO),且 Xl<X2,贝U f(x i)-f(xxx20<<1,xx22)=x i+ -x 2- -

41、=(x 1-x 2)+ x_x1 =(x 1-x 2)(1-xix2x1 X2.当 10XiVx2 时，xi-x 2<0, xix2>l ,1-L>0, . .(x 1-x 2)(1)V0, f(x i)<f(x 2)xx2xx2f(x)在1 , +8上是增函数.当 0VxiVx2W 1 时，xi-x 2<0, 0Vxix2Vi , l- - <0,x1x2(x 1-x2)(1 -)>0, .-.f(xi)>f(x 2),.-.f(x)在(O, 1)上是减函数.x1x2即f(x)=x+ 1在(0, 1)上是减函数，在1 , +OO)上是增函数.

42、x62、.设函数f(x)在(0, +OO)上是减函数，且有 f(2a 2+a+1)Vf(3a 2-2a+1),求实 数a的取值范围.解：2a2+a+1=2(a2+ a + )+ 7 =2(a+- )2+7 >0,2 168483a 2-2a+1=3(a 2- 2a+1)+ - =3(a- 1)2+->0.3 9333又,f(x)在(0 , +00)上是减函数，.原不等式可变形为2a2+a+l>3a2-2a+1 .整理，得a2-3av0.解得0vav3.63、已知函数 f(x)=x+ V1 2x ,(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 求证：f(x)在其定义域内是增函数；(3

43、) 求f(x)的值域.解：(1)要使函数有意义，须l+2x>O,解得定义域为x>-1 .2(2)任取 xi,x 2C - 1 , +00),且 xix2,贝U f(x i)-f(x 2)=x i+Ji 2x1 -x 2- Ji 2x2 2=(x i-x 2)+ , 1 2x1 - 1 2x2 = (x i-x 2)+2(xi x2).1 2x11 2x2=(x 1-x 2)(1+2 ).1 2x1,1 2x21-Wxi<x2, . xi-x 2<0,又.1 + 21 2x11 2x>02f(x 1)<f(x 2) , f(x)在-,+oo上是增函数.2(3)

44、由(2)知 f(x) min=f(-工)=-1, y=f(x)的值域为-64、已知 f(x)=f -1(x)=22x 1x a(xw-a),求实数a.解：由2x 1 y=得 xy+ya=2x+1, x(y-2)=l-ay,1 ay x=-y 2交换x, y,即 f-1 (x)=1 ax户。-ax.又. f(x)=f -1(x),x a x 2 a=-2 .x 21 axx 2-ax,对x*2的任意实数x包成立.65、求函数y=-2x-, xC(-1 , +00)的图象与其反函数y=f-1(x)图象的交点坐标. x 1解：由 y=-2-;得 xy+y=2x, x(y-2)=-y , x=y.x

45、12 y交换x, y得y=-2x-的反函数为 y=x.代入x 12 x2x y=”2x=0,x/212x 4 x 1 6x( )=0, x =0x 1 x 2(x 1)(x 2)3x 3x -(x 1)(x=0,.x1=0,x2=1, 0,12)e (-1,+ °°)分别代入y=2x，得 y1=0,y2=1 x 1:函数y=?x-, xC(-1, +oo)与其反函数的交点为(0, 0)和(1, 1)x 166、已知函数f(x)= -1 ,函数g(x)=f -1( 1).试判断g(x)在(1 , +00)上的单调 x 1x性，并加以证明.解：由 y=f(x) -1,得 yx-

46、y=x+1,x(y-1)=y+1,x=-1,交换 x,y 得f-1(x)= -1 (xx 1y 1x 1*)1 1-1/1、x 1 x x 1 x 1 2.2g(x)=f ()=-=-1x 1. 1 x x 1 x 1 x 1-1 xg(x)= -1 在(1 , +oo)上是增函数. x 1证明： 设 1<x1<x2,贝U g(x 1)-g(x 2)=-1- 2 +1+2=222x1 2 2x2 2(x2 1)(x1 1)x1 1x2 1 x2 1 x1 11<x1<x2, >.x1-x 2<0,x 1-1>0,x 2-1>0.2(1-x2- &

47、lt;0,g(x 1)-g(x 2)<0 即 g(x 1)<g(x 2).(x11)(x2 1)由函数单调性的定义知：g(x)= -1在区间(1 , +oo)上是增函数.x 167、试讨论函数f(x)=在区间1, 1上的单调性.解： 设 x1、x2 1 , 1 且 x1 V x2 ,即一1 寂1 V x2< 1f(x1) f(x2)x2 x1 >0, 当 x1>0, x2>0 时，x + x2>0,那么 f(x)>f(x2).当 x1<0, x2<0 时，x1 +x2< 0,那么 f(x1)Vf(x2).故f(x)=在区间1,0

48、上是增函数， f(x)=在区间0, 1上是减函数.68、(1)已知 f(x) = 4x2#1 ,求1(0)的值.(2)设函数 y= f(x)满足 f(x- 1) = x22x+ 3 (x W0),求 f 1(x+ 1).，原函数过(a, 0).解：(1)设f 1(0)=a,即反函数过(0, a),代入得：0=4a - 2a1 , 2a(2a 2)=0,得 a=1(2 )先求f(x)的反函数169、设 f(x) ,g(x)1 x1 x2,求ff(x),gg(x) , fg(x),gf(x), gf(1), fg(2), fff(1).ff(x)gg(x)(122 x )2x2fg(x)11 1

49、x2gf(x)2x(1 x)gf(1)22 2 1 122(1 1)fg(2)12 2212x 3f ff(x)-71 口x 270、设 f (x)是 x 的二次函数，且 f (0) 1, f (x 1) f (x) 2x ,求函数 f(x).解设f(x) ax2 bx c,则由已知条件，可得c 1a(x 1)2 b(x 1) c (ax2bx c) 2x解得 a 1,b1,c 1.因此，函数 f(x) x2 x 1。121,9.设 f(x -) x2 -,求函数 f (x). x x 2 1-1o解法一设xt,则x -t2xx即 x2 2 工 t2,x2 N t2 2 xx于是得 f(t)

50、t2 2将t换成x,得f(x) x2 2。高一第二学期三角部分典型例题：三角函数公式1 .同角三角函数基本关系式sin2 a + COS2 a =1sin a=tan a COS atan a cot a =12 .诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限(一)sin( % a )=COS(兀 - a ) = tan(兀 一 a ) = sin(2 Tt a ) = COS(2 Tt a )= tan(2 Tt a )=/ - - */兀、(-.)sim* - a )=兀COsl-2 a ) =兀tanQ - a ) = sin(3 -5 ) =COs( 2 a )= tan(3 - a ) = sin( a )= sin a cos( a 公式的配套练习)sin(兀 + a )= COs(兀 + a ) =tan(兀 + a ) =sin(2 兀 + a )=COs(2 兀 + a ) =tan(2 兀 + a )=兀sin(-2 + a )=兀COs(2- + a ) =兀tan(-2- + a ) =sin(3 + a )=COs( 2 + a ) =tan( + a ) =)=cos atan( a )= tan asin(7