高三数学解斜三角形

1、 1.掌握正弦定理、余弦定理，并掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角度量问题能解决一些简单的三角度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算有等知识和方法解决一些与几何计算有关的实际问题关的实际问题.1.在在ABC中，已知中，已知BC=12，A=60，B=45，则，则AC=( )DA.3 B.3 C.4 D.43663 由正弦定理得由正弦定理得 = ,所以所以AC= = =4 .sinBCAsinACBsinsinBCBA62122322.在在ABC中，若中，若a、b、c成等比数列，且成等比数列，且c=2a，则，则cosB=( )

2、DA. B. C. D.24231434 因为因为a、b、c成等比数列，所以成等比数列，所以b2=ac.又又c=2a,所以所以b2=2a2,所以所以cosB= = = .2222acbac222242aaaa343.在在ABC中中,sinA:sinB:sinC=2: :( +1),则则三角形的最小内角是三角形的最小内角是( )63A.60 B.45 C.30 D.以上答案都错以上答案都错 由正弦定理由正弦定理 = = =2R，得得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC,所以所以a:b:c=sinA:sinB:sinC=2 ( +1).因为因为a为最小值，所以为最小值，所以A为最小

3、内角为最小内角.因为因为cosA= = ,且且A(0,60)，所以，所以A=45，故选，故选B.sinaAsinbBsincC63B222( 6)( 31)226( 31)224.某人向正东方向走了某人向正东方向走了x km，他向右转，他向右转150,然后朝新方向走了然后朝新方向走了 km，结果他离出发点，结果他离出发点恰好为恰好为 千米，那么千米，那么x的值是（的值是（ ）C3A. B.2C.2 或或 D.33333 先根据已知条件画出草图，再用先根据已知条件画出草图，再用余弦定理或正弦定理列方程，解方程即余弦定理或正弦定理列方程，解方程即可，选可，选C.5.已知已知ABC的三个内角的三个内

4、角A、B、C成等差数成等差数列，且列，且AB=1,BC=4，则边，则边BC上的中线上的中线AD的长为的长为 ，SACD= .332 由已知，由已知，B=60，AB=1，BD=2.由余弦定理知由余弦定理知AD= .222cos60ABBDAB BD22122 1 2cos60 3又又cosADB= = = ,又又0ADB180，所以所以ADB=30，所以，所以ADC=150，所以所以SACD= ADDCsinADC= .2222ADBDABAD BD222( 3)212 23 3212321.正弦定理及变式正弦定理及变式(1) = = =2R;(2)a=2RsinA,b= ,c=2RsinC;(

5、3)sinA= ,sinB= ,sinC= ;(4)sinA sinB sinC =a b c.(5)在下列条件下，应用正弦定理求解在下列条件下，应用正弦定理求解:()已知两角和一边，求其他边和角；已知两角和一边，求其他边和角；()已知两边和其中一边的对角，求另一边已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他边和角的对角及其他边和角.sinaAsinbBsincC2RsinB2aR2bR2cR2.余弦定理及变式余弦定理及变式(1)a2=b2+c2-2bccosA;b2= ;c2=a2+b2-2abcosC.(2)cosA= ; cosB= ; cosC= .a2+c2-2accosB2222

6、bcabc2222acbac2222abcab(3)在下列条件下，应运用余弦定理求解在下列条件下，应运用余弦定理求解:()已知三边，求三个角；已知三边，求三个角；()已知两边和它们的夹角，求第三边和已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；其他两个角；()已知两边和其中一边的对角，求第三已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角边和其他两个角.(此类问题需要讨论此类问题需要讨论)3.三角形的面积公式三角形的面积公式S= absinC= = bcsinA.12acsinB12124.应用解三角形知识解决实际问题的步骤应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)根据题意画出示意图；根据题意画出示

7、意图；(2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知条件和未知条件；清该三角形的已知条件和未知条件；(3)选用正、余弦定理进行求解，并注意选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性；运算的正确性；(4)给出答案给出答案.例例1 在在ABC中，已知中，已知a= ,b= ,B=45,求角求角A、C及边及边c. 由正弦定理，得由正弦定理，得sinA= = = ,因为因为ba,所以所以BA,所以所以A=60或或120.sinaBb3sin4523232 已知两边和其中一边的对角解三角已知两边和其中一边的对角解三角形问题形问题,用正弦定理解用正弦定理解,求得求得

8、sinA= 时，要时，要注意角注意角A是锐角还是钝角，若不能确定，是锐角还是钝角，若不能确定，则需分类讨论则需分类讨论.(1)当当A=60时，时，C=75，所以所以c= = .(2)当当A=120时，时，C=15，所以所以c= = .2sin75sin456222sin15sin4532622例例2 钝角钝角ABC的三内角的三内角A、B、C所对的边分别为所对的边分别为a、b、c，sinC= , (c-b)sin2A+bsin2B=csin2C，求角，求角A、B、C.22 由由(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C,得得(c-b)a2+b3=c3,所以所以(c-b)a2+(b-c)(b

9、2+bc+c2)=0,即即(c-b)(b2+bc+c2-a2)=0,所以所以b=c或或b2+bc+c2-a2=0,当当b=c时，有时，有B=C，所以，所以C为锐角，为锐角，又又sinC= ,所以所以B=C=45,所以所以A=90，这与，这与ABC为钝角三角形矛盾为钝角三角形矛盾.22当当b2+bc+c2-a2=0时，时，b2+c2-a2=-bc,所以所以cosA= =- ,所以所以A=120，又又sinC= 且且C为锐角，所以为锐角，所以C=45，所以所以B=180-A-C=15，综上可知综上可知,A=120,B=15,C=45.2222bcabc1222 若将边化角若将边化角,常用三角函数公

10、式来化简常用三角函数公式来化简;若将角化边若将角化边,则常通过因式分解来得到则常通过因式分解来得到.例例3 已知圆内接四边形的边长为已知圆内接四边形的边长为AB=2,BC=6,CD=DA=4，求四边，求四边形形ABCD的面积的面积. 如图，连接如图，连接BD，设四边形设四边形ABCD的面积为的面积为S，则则S=SABD+SBCD = ABADsinA+ BCCDsinC,因为四边形因为四边形ABCD为圆内接四边形，为圆内接四边形，所以所以A+C=180，所以所以sinA=sinC,cosA=-cosC,所以所以S= (ABAD+BCCD)sinA=16sinA,121212在在ABD中，由余弦

11、定理得，中，由余弦定理得，BD2=AB2+AD2-2ABADcosA =22+42-224cosA=20-16cosA.在在BCD中，由余弦定理同样可得，中，由余弦定理同样可得，BD2=BC2+CD2-2BCCDcosC=52+48cosA.由由BD2=BD2，得，得20-16cosA=52+48cosA，即即cosA=- ,又又A(0,)，所以，所以A=120,所以所以S=16sin120=8 .123 将四边形转化为三角形问题，创将四边形转化为三角形问题，创造应用解三角形的情景，进而运用有关造应用解三角形的情景，进而运用有关的知识去解决问题的知识去解决问题.正、余弦定理体现了三角形中角与边存正、余弦定理体现了三角形中角与边存在一种内在联系，其主要作用是将已知边、在一种内在联系，其主要作用是将已知边、角互化或统一角互化或统一.一般的，利用公式一般的，利用公式a=2RsinA等（等（R为外接圆半径），可将边转化角的三为