平面向量知识点总结

1、平面向量知识点小结、向量的基本概念1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例1已知A(1,2),B(4,2),则把向量AB按向量言,3)平移后得到的向量是.结果：(3,0)2 .零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0,规定：零向量的方向是任意的；AB3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是上外)；|ABI4 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5 .平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，

2、记作：a/4b，规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！(因为有；三点A、B、C共线二赢、AC共线.6 .相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.：的相反向量记作-a.举例2如下列命题：(1)若团由，则a品.(2)两个何量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同(3)若ABJC,则ABCD是平行四边形.(4)若ABCD是平行四边形，则AB=DC.(5)若a,b=c,则a.(6)若a/b,b/c则a/c.其中正确白是.结果：(

3、5)二、向量的表示方法一1 .几何表不':用带箭头的有向线段表不如AB,注意起点在前，终点在后；2 .符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,c等；3 .坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，j为基底，则平面内的任一向量2可表示为3=xi+yj=(x,y)，称(xy为向量3的坐标，3=(x,y)叫做向量a的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同三、平面向量的基本定理定理设e1,e2同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对(%,凡)，使a=?冷十几&.定理核心：a二忖+盘；从左向右

4、看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.(3)向量的正交分解：当ez时，就说a闫e+总为对向量之的正交分解.举例3(1)若azz(1,1),bzz(1,-1),c1,2),则c=.结果：-a-b.22(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是B.11111111,13iA.e=(0,0),e241,22)B.6=(42),e2=(5,7)C.e=(3,5),02=(6,10)D.e=(2,7),62=2,-J(3)已知AD：BE分别是AABC的边BC,AC上的中线，且AD=a,BE=b,则BC可用向量a,b表示为.结果:2a线.33T一T一一结果：0.(4)已知ZXA

5、BC中，点D在BC边上，且CD=2DB,CD4AB4sAC,则r+s=的值是四、实数与向量的积实数人与向量.a的积是个向量，记作焉,它的长度和方向规定如下:(1)模：|煤田修|a|;(2)方向：当儿下0时，Aa的方向与a的方向相同，当九<0时，£的方向与之的方向相反，当九=0时，a=0,注意：商.五、平面向量的数量积1 .两个向量的夹角：对于非零向量a,b,作OA金，OB=b,则把NAOB=e(0EaEJi)称为向量a,b的夹角.当9=0时，a,b同向；当日=冗时，a,b反向；当日=2时，a,b垂直.2 .平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b,它们的夹角为6,我们把数量|a

6、|b|cos9叫做a与b的数量积(或内积或点积)，记作：ab,即ab=a|.|b|cose.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4(1)ZXABC中，|AB|,|AC|-4,|BC|耳，则力跟.结果：_9.(2)已知a=1,1I,b=1_1I,1步杂成，d=a_b,c与力的夹角为子，则k.结果：1.(3)已知|a|J,|b|/,ab=_3,则1a4b|=.结果：V23.(4)已知a,b是两个非零向量，且团主bda_b|,则a与a点的夹角为.结果：30.3 .向量b在向量a上的投影：|b|cose,它是一个实数，但不一定大于0.举例5已知|*=3,向=5

7、,且ab二2,则向量a在向量b上的投影为.结果：12.TTT54 .ab的几何意义：数量积ab等于a的模|a|与b在a上的投影的积.5 .向量数量积的性质：设两个非零向量a,b,其夹角为6,则：/、TJ(1) a_Lbuab=0;(2)当a、b同向时，ab=|a|b|,特别地，a2=?a斗a|2二|a|=Ja2；444444ab4a|b|是a、b同向的充要分条件；当a、b.反向时，ab=-|a|b|,0=-|1|他|是3、b反向的充要分条件；当日为锐角时，abA0,且a、b不同向，ab>0是H为锐角的必要不充分条件；当8为钝角时，ab<0,且a、b不反向；ab<0是8为钝角的

8、必要不充分条件.(3)非零向量a,b夹角9的计算公式：cos6=ab；3b5:|b|.|a|b|举例6(1)已知a=(冷丸，bM3超)，如果a与b的夹角为锐角，则，的取值范围是.结果：,<_4或人>0且3(2)已知zOFQ的面积为S,且营盘与，若1 <S <3，则OF , FQ夹角6的取值范围是 .(3)已知 a =(cosx,sin x) , b =(cosy,sin y),且满足 | ka 4b | =43 | a _kb | (其中 k >0 ).用k表示a b ;求a b的最小值，并求此时1a与b的夹角日的大小.60 -60 .六、向量的运算1.几何运算(

9、1)向量加法果结k2 14k(k>0)；结果：h工I；4 3.1最小值为-,2运算法则：平行四边形法则；三角形法则,-IT运算形式：若AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和，即a+b=AB+BC=AC;作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.(2)向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB=a,AC=b,则a4=ABAC=CA,即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同._举例7(1)化简："AB4BC-4CD；"ABJaDJdC；(制_CD)_JAC_BD).结果：定；CB；0；(2)若正方形ABCD的边长为1

10、,Ab_a,BC_b,AC旦，则|W4b-4|-.结果：2m;(3)若O是4ABC所在平面内一点，且满足OB_OCi-JOB-iOC/OA,则ABC的形状为.结果：直角三角形；(4)若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P,满足PA痂4CP5，设LAPJ=，则九的值为.|PD|结果：2;(5)若点O是zABC的外b,且oA-Obco=0,则ZXABC的内角C为.结果：120.2.坐标运算：设a=(x1,yj,b=(x2，y2),则(1)向重的加减法运算：a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2).举例8(1)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10

11、),若AP=AB+JAC(，京R)，则当时'点P在第一、三象限的角平分线上.结果：1；2(2)已知A(2,3),B(1,4)，且1AB=(sinx,cosy),x,y(_I,Z)，则x+y=.结果：工或;22262(3)已知作用在点A(1,1)的三个力F；=(3,4),F2=(2一),F3=(3,1)，则合力F金花电的终点坐标是_结果：(9,1).(2)实数与向量的积：短="*111)=(，必，耳).(3)若A(x,yJ,B(x2,y2),则AB=(x2-xhy?f),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标_一一一1、一11举例9设A(2,3),B(

12、,5),且AC=AB,AD=3AB,则C,D的坐标分别是.结果：(1,),(-7,9).33(4)平面向量数量积：ab=x1x2+y1y2.-J举例10已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(J,0).(1)若x=3,求向量a、c的夹角；3(2)若x/三二,函数f(x)=jab的最大值为1,求7的值.结果：(1)150;(2)-或/2.8422(5)向量的模：a2.a|2=x2+y2u|a|=Jx2+y2.举例11已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60：,那么|a书h=结果：713.(6)两点间的距离：若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB尸卮二x产正行

13、7.举例12如图，在平面斜坐标系xOy中，1Oy=60、平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若op屋力±2,其中ee分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y).(1)若点P的斜坐标为(2,_2),求P到O的距离|PO|;(2)求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.结果：(1)2;(2)x2+y2+xy-4=0.七、向量的运算律1 .交换律：2 .结合律：3 .分配律：举例13给出下列命题：+，a)=(力a, =(a +b)十c , a -b -c =1 a：!，-a , 1 (a b)= a (b -c)b a C ； aa b =b,(b

14、) c一Ca)b = <a b) c = a cA424i2 -2冏心|力42；若冒6且，则号或1；若ab_cb则a/；a才；ab_b：®(ab)2_a2b2；c_b)2=a2_2ab+b2aa其中正确的是_结果：.说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a(bC)4(ab)c,为什么？八、向量工行(竽)的举条件,ta/b：=a'b=(ab)2二(|a|b

15、|)2：=义2-ViX=0.举例i4(i)若向量ax,i),14凶，当*=时，a与b共线且方向相同.结果：2.(2)已知a=(1,1),b=(4,x),U_a42b,V二aW,且U/V,则X-.结果：4.(3)设PA_(k,12),PB=(4,5),PC二(10*),则卜=时，A,B,C共线.结果：_2或11.九、向量垂直白a _b =¥条件tI4b=0二|ab|用a-b匕xX2yy2=0.特另地-ABT -AC _国|AB| |AC|AB|举例 15 (1)已知 OA w,2) , OB W3,m),若 KA JOB，则 m =：I AC"结果:3 m =-2(1.3)或

16、(3, 1);(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,B=90可则点B的坐标是.结果:已知nzz(a,b)向量n_m,且|3|喜|,则m二:的坐标是结果：(b,_a)或(_b,a).十、线段的定比分点_一1 .定义：设点P是直线PP2上产于P、P2的任意一点，若存在一个三数九，使PP=7uPP2,则实数人叫做点P分有向线段P1P2所成的比人，P点叫做有向线段PF2的以定比为K的定比分2 .九的符号与分点勺位置之间的关系(1) P内分线段PP2,即点P在线段PP2上u九0;(2) P外分线段P1P2时，点P在线段PP2的延长线上U九1,点P在线段PP2的反向延长线上1：一：

17、二0.注：若点p分有向线段诏所成的比为儿则点p分有向线段赢所成的比为1.儿举例16若点P分漏所成的比为3,则A分BP所成的比为.结果：J.433.线段的定比分点坐标公式：设P(x,V1),P2(X2,V2),点P(x,y)分有向线段PP2所成的比为九，则定比分点坐标公式为('二T).特别地，当 九=1时，就得到线段PP2的中点坐标公式X22V22说明：(1)在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y),(x,%)、(X2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标(2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比九.举例17(1)右M(32),N

18、(6,二)，且MP=-1MN,则点P的坐标为结果：(-6,_7);33(2)已知A(a,0),B(3,2切，直线yax与线段AB交于M，且RM=2MB，则a=.结果：2或42卜一、平移公式如果点P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x：y),则f计,;曲线f(xy)=0按向量a=(h,k)y=yk-.平移得曲线f(xh,yk)=0.说明：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18(1)按向量a把(2,_3)平移到(1,_2),则按向量a把点(_7,2)平移到点.结果：(温3);(2)函数y至in2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是yos2x中,则a=.结果：(工,1).4十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质:|a|-|b|a+b|a|+|b|.(1)右边等号成立条件：a、b同向或a、b中有o仁a+