函数微分（课堂PPT）

1、1第三节第三节 函数的微分函数的微分一、问题的提出一、问题的提出二、微分的定义二、微分的定义三、可微的条件三、可微的条件四、微分的几何意义四、微分的几何意义五、微分的求法五、微分的求法六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性七、高阶微分七、高阶微分八、微分在近似计算中的应用八、微分在近似计算中的应用九、小结、作业九、小结、作业2一、问题的提出一、问题的提出近似计算问题近似计算问题实例：实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量。正方形金属薄片受热后面积的改变量。20 xA 0 x0 x, 00 xxx 变变到到设设边边长长由由, 20 xA 正正方方形形面面积积2020)( xxxA .)(220

2、 xxx )1()2(; , 的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax . , 很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 03再如再如,. , 03yxxxy 求求函函数数的的改改变变量量时时处处的的改改变变量量为为在在点点设设函函数数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题：问题：是否所有函数的改变量都有这样的线性函数是否所有函数的改变量

3、都有这样的线性函数(改变量的线性主要部分改变量的线性主要部分)？如果有，它是什么？如？如果有，它是什么？如何求？何求？4二、微分的定义二、微分的定义56三、可微的条件三、可微的条件. ) )( A ( )( )(000 xfxxfxxf 且且可可导导在在可可微微在在定理定理证证 (1) 必要性必要性, )( 0可微可微在在 xxf, )(A xoxy , )(A xxoxy xyx0lim 则则, A. ) )( A ( )( 00 xfxxf 且且可可导导在在即即(2) 充分性充分性0 (). ,yfxxx 从而0() ,yfxx, )( 0可可导导在在 xxf, )(lim 00存存在在即

4、即xfxyx . )( 0可微可微在在 xxf证毕证毕7 )(A; 0，且且可可微微可可导导xf xxfxfxx )(| )(d00即即 d )(0，xxf |d)(dd| )(d )(000，xxxxxxfxxfxf dd ，即即xyy ”。导导数数又又叫叫做做“ 微微商商 例例1 1解解; 1 ) (3的的微微分分）（：求求用用导导数数与与微微分分的的关关系系xy xxy )(d )1(3; 32xx 02. 02202. 02|3|d )3( xxxxxxy. 24. 0 ; 223时的微分时的微分当当）（ xxy. 02. 0, 2 33时时的的微微分分当当）（ xxxyxxyxx 2

5、32|)(|d )2(xxx 22| )3(; 12 x 8四、微分的几何意义四、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x xx0 P .MN) (MP,M, 代代替替曲曲线线段段近近似似可可切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当x 如图所示如图所示9五、微分的求法五、微分的求法xxfyd)(d 由由微分微分求法（求法（1 1）: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.101. 基本函数的微分公式基本函数的微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscd dtansec)(secddcsc)

6、(cotd dsec)(tanddsin)(cosd dcos)(sindd)(d 0)(d221 xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)cotarc(d d11)(arctandd11)(arccosd d11)(arcsindd1)(lnd dln1)(logdd)(d dln)(d2222 112. 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则. ) 0)( ( )(|d)(|d)(| )(d;|d)(/d)(| )(d;|Cd| )C(d;|d|d| )(d )( )( 0200000000000000000 xvxvvxuuxvvuv

7、xuuxvvuuuvuvuxxvxuxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx若若可微，则有可微，则有在在、若若微分求法（微分求法（2 2）：）： 转化为基本函数的微分。转化为基本函数的微分。12例例2 2解解. d , )eln( 2yxyx求求设设 ,ee2122xxxxy .dee21d22xxxyxx 例例3 3解解. d , cose 31yxyx求求设设 )(cosde)e (dcosd3131xxyxx 乘法乘法. dsincosd,e3)e (3131xxxxx xxxxyxxd)sin(ed)e3(cosd3131 .d)sincos3(e31xxxx 13; d)(d ,

8、 )1(xxfyx 则则自自变变量量是是若若则则的的可可微微函函数数为为另另一一变变量量中中间间变变量量是是若若),( , )2(txtx , )( 可可微微设设函函数数xfy , d)()(dttxfy , dd)( xtt 又又. d)(d xxfy 结论：结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论 )( , xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性xxfyd)(d 六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性14微分求法（微分求法（3 3）：）： 利用微分的形式不变性。利用微分的形式不变性。例例4 4解解. d , bsine ayxyx求求

9、设设 )bsine (ddaxyx )b(dbcosebsin)a(deaaxxxxxx .d)bsinabcosb(eaxxxx 例例3 3解解.d ),12sin(yxy求求设设 )12sin(dd xy)12(d)12cos( xxxxd2)12cos( . d)12cos(2xx )12(d) )12(sin(12 xxxxxxxbsindebsindeaa )bd(bcosebsin)ad(eaaxxxxxx 15例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使使等式成立等式成立.).(d)()(sind)2(;dcos)(d)1(2xxt

10、t ,dcos)(sind)1(ttt )(sind1dcosttt .dcos)Csin1(dttt );sin1(dt xxxxxxxd21dcos2)(d)(sind)2(22 ,cos42xxx ).(d)cos4()(sind22xxxxx 16课堂回顾1、微分的定义2、可微的条件3、微分的求法.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy ).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数1）计算函数的导数）计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.2 2） 转化为基本函数的微分。转化

11、为基本函数的微分。3 3）利用微分的形式不变性。）利用微分的形式不变性。的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 17七、微分在近似计算中的应用七、微分在近似计算中的应用1.计算函数的近似值计算函数的近似值;)().1(0附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x ;0)().2(附近的近似值附近的近似值在点在点求求 xxf., 00 xxx 令令,)()()(000 xxfxfxxf .)0()0()(xffxf 18.)()(

12、)(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x . 0360cos o的近似值的近似值计算计算 例例6 6解解, cos)( xxf 记记)( , sin)( 为弧度为弧度则则xxxf , 360, 3 0 xx取取. 23)3(, 21)3( ff由由)3603cos(0360cos o 有有3603sin3cos 3602321 .4924. 0 192.常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为为弧弧度度为为弧弧度度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nx

13、nxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx ( )(0)(0).f xffx)(很小时很小时x20例例721八、小结八、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题导数的概念导数的概念函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫叫做做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可可微微可可导导 22导数与微分的区别导数与微分的区别:.,)(),()(. 10000它是无穷小它是无穷小

14、实际上实际上定义域是定义域是它的它的的线性函数的线性函数是是而微分而微分处的导数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数Rxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 000000002.,()( )(,(),()()( )(,().fxyf xxf xdyfxxxyf xxf xx从几何意义上来看是曲线在点处切线的斜率 而微分是曲线在点处的切线方程在点的纵坐标增量23近似计算的基本公式近似计算的基本公式,很很小小时时当当 x 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf 00,x 当时.)0()0()(xffxf .)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为为弧弧度度为为弧弧度度24思考题思考题 因因为为一一元元函函数数)(xfy 在在0 x的的可可微微性性与与可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“