第5章插值法1

1、第第5 5章章 插 值 法1基础教学部数学教研室基础教学部数学教研室 彭彭 晓晓 华华立体化教学资源系列立体化教学资源系列数值分析数值分析 xfy niyxii, 1 , 0,1n 在工程地质测量、机械设计及其制造、信号分析等在工程地质测量、机械设计及其制造、信号分析等实践中，经常会遇到曲线的描绘或函数的确定问题，平实践中，经常会遇到曲线的描绘或函数的确定问题，平面上的曲线方程可写成如下的形式面上的曲线方程可写成如下的形式 (1)一般，人们通过测量可以得到曲线上一般，人们通过测量可以得到曲线上 个点，个点，（2）在科学研究和计算中，往往会遇到复杂函数的分）在科学研究和计算中，往往会遇到复杂函数

2、的分析与计算，有时用简单的函数来代替，可能会去掉不必要的析与计算，有时用简单的函数来代替，可能会去掉不必要的麻烦而使问题比较容易地得到解决。麻烦而使问题比较容易地得到解决。（）（）（）（）人们希望充分利用这些数据确定一条人们希望充分利用这些数据确定一条“简单的简单的”且与未知且与未知曲线曲线“最接近最接近”的曲线；由此可以确定曲线上其他点的函的曲线；由此可以确定曲线上其他点的函数值；数值；、问题的提出、问题的提出已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M） 466 741 950 1422 1634水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13根据这些数据，希望合理地估计出

3、其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温举例这就是本章要讨论的“插值问题”。函数插值也就是对函数的离散数据建立简单的数学模型。定义：当精确函数 y = f (x) 非常复杂或未知时, 在区间a , b上一系列互异节点 x0, x1, ,x n 处测得函数值 y0 = f (x0), , yn = f ( xn), 由此构造一个简单易算的近似函数 g(x) f (x), 满足条件 g ( xi) = f ( xi) (i = 0, n) (*)这个问题称为“插值问题插值问题”插值问题的定义这里的这里的 g(x) 称为称为f (x) 的的插值函数插值函数。节点节点 x0 xn称为插值节

4、点称为插值节点, f (x) 称为被称为被插函数，插函数，条件条件(*)称为称为插值条件插值条件, 区间区间a , b称为称为插值区间插值区间图图5-3 5-3 插值函数几何示意图插值函数几何示意图用多项式作插值函数的插值称为多项式用多项式作插值函数的插值称为多项式插值插值本章主要讨论的内容本章主要讨论的内容)(xp当函数当函数( )g x为多项式为多项式（PolynomialPolynomial）时）时称为称为插值多项式插值多项式，记为，记为函数多项式插值要研究的基本问题有：函数多项式插值要研究的基本问题有： (1) (1)插值多项式的存在性和唯一性；插值多项式的存在性和唯一性；（2 2）插

5、值多项式的构造方法；）插值多项式的构造方法；（3 3）截断误差、收敛性、数值计算的稳）截断误差、收敛性、数值计算的稳定性等定性等. .1n), 1 , 0()(niyxpiinnnnxcxcxccxp2210)(个互异节点条件个互异节点条件的多项式的多项式插值基本定理插值基本定理【定理定理1 1】 满足满足是存在且唯一的是存在且唯一的. . （5.25.2）niyxpiin, 1 , 0,)(njcj, 1 , 0,nnnnnnnnyyycccxxxxxxxxx1010212110200111nccc,101n0)(jinjixxDjixx 0,D nccc,10证明证明 设所求多项式（设所求

6、多项式（5.25.2）使得）使得由（由（5.35.3）式确定待定系数）式确定待定系数将将(5.2)(5.2)式代入式代入(5.3)(5.3)式，并将其写成矩阵形式式，并将其写成矩阵形式. .这是关于这是关于的的行列式是范德蒙（行列式是范德蒙（VandermondeVandermonde）行列式，其值为）行列式，其值为. .当当（节点互异）时，（节点互异）时，这说明方程组（这说明方程组（5.45.4）存在唯一解）存在唯一解 （5.35.3）（5.45.4）阶线性代数方程组，阶线性代数方程组，系数系数证毕证毕 注：注：通过解上述方程组通过解上述方程组(3)求得插值多项式求得插值多项式 Pn ( x

7、 ) 的方法并的方法并不可取不可取. 这是因为当这是因为当n 较大时解方程组的计算量较大较大时解方程组的计算量较大, 而且而且方程组系数矩阵的条件数一般较大方程组系数矩阵的条件数一般较大(可能可能是病态方程组是病态方程组), 当当阶数阶数n 越越高时高时, 病态越重病态越重 .为此我们必须从其它途为此我们必须从其它途径来求径来求Pn( x )：不通过求解方程组而获不通过求解方程组而获得插值多项式得插值多项式不同的基函数的选取导致不同的不同的基函数的选取导致不同的插值方法插值方法Lagrange插值插值Newton插值插值基本思想基本思想: :在在n 次多项式空间次多项式空间Pn中找一组合适的基

8、函数中找一组合适的基函数 0(x), 1(x), n( x ),使使Pn( x )=a0 0(x) +a1 1(x) +an n(x)n = 1可见可见 L1(x) 是过是过 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 两点的直线两点的直线.求求 n 次多项式次多项式 使得使得01( )nnnL xaa xa x( ),0,1,niiL xy in已知已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求求101( )Lxaa x100111(),()LxyL xy使使得得l0(x)l1(x)10100101100100110( )()( )iiiyyL xyxxxxxxxxyyl x yxx

9、xx5.2 5.2 拉格朗日插值拉格朗日插值这种插值称为线性插值这种插值称为线性插值, 其中其中 l0( x ), l1( x )称为线性插值的基称为线性插值的基函数函数, 它们是由插值节点它们是由插值节点 x0, x1唯一确定的唯一确定的, 且满足且满足:1,()0,ijijl xijn = 2 L2(x) 是过是过 ( x0 , y0 ) , ( x1, y1 ) 和和( x2, y2 ) 三点的次数不超三点的次数不超过过 2 次的多项式次的多项式, 几何上看即为抛物线几何上看即为抛物线.构造构造 L2(x) 如下如下, 令令: 2120102( )()()()()()()LxA xxxx

10、B xxxxC xxxx代入代入200(),Lxy可得可得00102()()yAxxxx0201122012010210122021()()()()()()( )()()()()()()xxxxxxxxxxxxL xyyyxxxxxxxxxxxxl2(x)l0(x)l1(x)同理可得同理可得 2120211012,()()()()yyBCxxxxxxxx于是有于是有 这种插值称为二次插值这种插值称为二次插值, 或抛物插值或抛物插值. 可以验证可以验证 L2(x)满足插满足插值条件值条件: L2(xi) = yi (i=0,1,2). 其中其中 l0( x ), l1( x )和和l2( x )

11、称为二称为二次插值的基函数次插值的基函数, 它们是由插值节点它们是由插值节点 x0, x1, x2唯一确定的唯一确定的, 且且满足满足1,()0,ijijl xij2001122( )( )( )( )Lxlx yl x ylx y二次插值函数：二次插值函数： 推广到一般情形推广到一般情形, ,则有一般的则有一般的LagrangeLagrange插值公式插值公式. .一、插值基函数一、插值基函数 De f : 若若n 次多项式次多项式 在在 n +1个插值节点个插值节点 上满足插值条件上满足插值条件( ) (0,1, )klxkn01nxxx1(), ( ,0,1, )0kiikiklxi k

12、nik则称这则称这 n +1 个个 n 次多项式次多项式 为插值节点为插值节点上的上的n 次插值基函数次插值基函数. 01( ), ( ),( )nlx l xlx下建立其具体表达式：下建立其具体表达式： 由由ik 时时, 知知 为为 的零的零点点, 故设故设 ()0kilx0111,kknx xxxx( )klx0111( )()()()()()kkkknlxA xxxxxxxxxx0111(0,1, )()()()()kkkkkkknAknxxxxxxxx由由 得得 ()1kklx011011()()()()( )(0,1, )()()()()kknkkkkkkknxxxxxxxxlxkn

13、xxxxxxxx因此因此 与与 节点节点有关，而与有关，而与f 无关无关基函数的性质基函数的性质 Prop1: 基函数基函数 为由插值节点为由插值节点 唯一确定的唯一确定的n 次函数次函数. ( ) (0,1, )klxkn01,nx xxProp2: 基函数的个数与插值节点个数相同基函数的个数与插值节点个数相同. 可以证明函数组可以证明函数组 l0(x)，l1(x)，, ln(x) 在插值区间在插值区间a , b上上线性无关线性无关, 所以这所以这 n+1个函数可作为个函数可作为Pn 的一组基函数的一组基函数, 称为称为Lagrange插值基函数。插值基函数。00110( )( )( )(

14、)( )nnnnkkkLxlx yl x ylx ylx y令：令：二、二、Lagrange 插值多项式插值多项式 则则 Ln(x)是次数不超过是次数不超过 n 的多项式的多项式, 满足插值条件满足插值条件Ln(xi) = yi , 称其为称其为Lagrange插值多项式插值多项式, 或或Lagrange插值公式。插值公式。注注: (1) 若被插函数若被插函数 , 则得插值基函数的一个重要性质则得插值基函数的一个重要性质(2) Lagrang插值只要求节点互异插值只要求节点互异, 而与大小次序无关。而与大小次序无关。 1f x 0( )1nkklx方便记法方便记法：记：记：1010( )()(

15、)()()nnniixxxxxxxxx则则10110()()()()()()nnkkkkkkknkiii kxxxxxxxxxxx因此因此 可写成如下形式可写成如下形式( )nLx101( )( )()()nnnkkknkxLxyxxx例例1：已知已知 分别用线性插值和二次分别用线性插值和二次插值求插值求 的近似值。的近似值。10010, 12111, 1441211511121100( )1011100 121121 100115 121115 100115(115)1011 10.71429100 121121 100 xxL xL(2) 二次插值二次插值22(121)(144)(100)

16、(144)( )1011(100 121)(100 144)(121 100)(121 144)(100)(121)12(144 100)(144 121)115(115)10.7228xxxxLxxxL注：注：这里线性插值只选取两个相近点。这里线性插值只选取两个相近点。解解: (1) 线性插值线性插值xysin,233sin,224sin,216sin210yyy245sin2454660 x41x例例2 2 已知已知的函数值的函数值见表见表5-25-2，求，求解解 1 1） 用线性插值计算，因为用线性插值计算，因为在在之间，故取两点之间，故取两点，则有线性插值，则有线性插值的近似值的近似值

17、. .11264( ),226446xxL x0.603553)245(245sin1L23)43)(63()4)(6(22)34)(64()3)(6(21)36)(46()3)(4()(2xxxxxxxL255sin()0.6095772424L)245sin(0.0052)245(245sin1L255sin()0.000822424L2 2） 用过三点的抛物插值计算，有用过三点的抛物插值计算，有所以所以【注注】 因为因为的近似值为的近似值为0.60876140.6087614，所以抛物插值比线性插值精确所以抛物插值比线性插值精确. .,ba)(xLn)(xf)()()(xLxfxRnn5

18、.2.3 5.2.3 插值余项与误差估计插值余项与误差估计上用上用近似近似，则其截断误差为，则其截断误差为，也称为，也称为插值多项式的余项。插值多项式的余项。若在若在关于插值余项估计有下面定理关于插值余项估计有下面定理. .)(xfy ,ban)()(xfn)()1(xfn),(ba)(xLn)(xfnxxx,10n,baxx,bax)()!1()()()()()1(xwnfxLxfxRxnnnnjjxxxw0)()(在在上的上的阶导数阶导数连续，连续，在在内存在内存在, ,是是在在处的处的LagrangeLagrange插值多项式，则对插值多项式，则对中每一个点中每一个点，存在，存在的点的点

19、使使其中其中【定理定理2 2】 设函数设函数次次， （5.85.8）依赖于依赖于x, 1 , 0,nixxiixnixRin, 1 , 0, 0)()()()()()()(10 xwxkxxxxxxxkxRnn)(xkx)(xk)()()()()(twxktLtftnxxxxtn,10)(t2n1 , nCa b证明证明 若若是节点，公式（是节点，公式（5.85.8）两边均等于零，结论成立）两边均等于零，结论成立. .由于在由于在处处于是有于是有其中其中为与为与有关的待定函数有关的待定函数. .，作辅助函数，作辅助函数显然显然都是都是的零点（共的零点（共个），且个），且.设设 为了确定为了确定

20、)(t2n)(t)(t n),(ba)()1(tn),(bax0)!1()()()()1()1(nxkfxnxn)()!1()()()()()()()1(xwnfxwxkxLxfxRxnnn由由RolleRolle定理，定理，在这在这有一个零点有一个零点. .再对再对应用应用RolleRolle定理，则定理，则至少有至少有个零点且都在个零点且都在内内. .依此类推，依此类推，在在内至少有一个零点内至少有一个零点，使，使即有即有个点的每两点间至少个点的每两点间至少n1( )( )(1)!nnMR xw xn(1)1( , )max( )nnxa bMfxnx、1nMn( )f xn(1)( )0

21、nfx( )f xn( )( )nL xf x( )1f x 0( )1nkklx由插值余项（由插值余项（5.85.8），我们有下面结论），我们有下面结论. .次插值的误差估计为：次插值的误差估计为：其中其中（2 2） 次插值的误差除与次插值的误差除与有关外，还与节点有关外，还与节点有关；有关；是次数不超过是次数不超过的多项式时，由于的多项式时，由于，因此，因此，的的次插值多项式就是它次插值多项式就是它（4 4） 当当时，有时，有（1 1）；，的位置、的位置、个数个数（3 3） 当当自身，即自身，即；)245(1L)245(2Lxxfsin)()sin()(xxf )cos()(xxf )(!

22、 2)(1021xxxxMxR)(max),(210 xfMxxx 4,6x0.0061)4245)(6245(! 24sin)245(1R例例2 2 估计例估计例1 1中中与与的误差的误差. .，有，有，1 1） 线性插值的误差估计线性插值的误差估计. .因为因为其中，其中，所以所以.解解 由由，)()(! 3)(21032xxxxxxMxR)(max),(320 xfMxxx 3,6x25cos6555()()()()243!2462442430.00097R2 2） 抛物插值误差估计抛物插值误差估计. .因为因为其中，其中，, ,所以所以. .，3 , 2 , 1 , 0 x( )5,

23、6, 1,16f x )(xf)5 . 1 (f(1.5)4.6250f 时，时，求求的的Lagrange插值多项式，并求插值多项式，并求插值函数图形见图插值函数图形见图5-4.5-4.例例3 3 已知当已知当，的近似值的近似值. .)6(2)3)(2()5(6)3)(2)(1()(xxxxxxxL)16(6)2)(1() 1(2)3)(1(xxxxxx-0.500.511.522.533.5-10-50510152025图图5-4 插值函数图形插值函数图形小结：小结：一、满足插值条件一、满足插值条件 Pn(xi)=f(xi), ( i=0,1,2,n) n次插值多项式次插值多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn 存在存在而且惟一而且惟一。二、二、Lagrange插值多项式：插值多项式：0( )( )nnk kkL xy lx011011()()()()( )()()()()kknkkkkkkknxxxxxxx