第4章 弹性微可压缩液体不稳定渗流理论(新)

1、本章要点本章要点弹性不稳定渗流？弹性不稳定渗流？ 弹性驱动时，渗流的基本特征？弹性驱动时，渗流的基本特征？一、定产量生产时，地层压力传播及变化规律一、定产量生产时，地层压力传播及变化规律二、定流压生产时，地层压力及产量的变化二、定流压生产时，地层压力及产量的变化AHG0t1A2A3AB4A1CrPrwrr0漏斗边缘rPQRPwfP一、定产量生产时，地层压力传播及变化规律一、定产量生产时，地层压力传播及变化规律AHG0t1A2A3A4ABCPe21QQQ,errrP21, 0,QQQttBtt Btt 1QQ Btt 11,PCRandQ储层具有与之连通的巨大储层具有与之连通的巨大水体，能够充分

2、向地层补水体，能够充分向地层补充能量，可认为定压边界。充能量，可认为定压边界。12,QQ；1CrPrwrr0漏斗边缘rPAHG0t1A2A3A5AB0eP1QQ 0errrPBtt 1QQ 4A6Aztt consttPttz/,拟稳定状态拟稳定状态Btt 储层外围无能量补充，为一储层外围无能量补充，为一不渗透封闭边界，此时的开不渗透封闭边界，此时的开采方式称为封闭弹性驱动。采方式称为封闭弹性驱动。Btt ；1CrPrwrr0漏斗边缘rP1QQ ttBtt 不稳定渗流晚期不稳定渗流晚期ztt 压力波传播第一阶段：压力波传到边界之前的阶段。压力波传播第一阶段：压力波传到边界之前的阶段。压力波传播

3、第二阶段：压力波传到边界之后的阶段。压力波传播第二阶段：压力波传到边界之后的阶段。 压力波传播第一阶段压力波传播第一阶段(不稳定渗流早期）不稳定渗流早期） 压力波传播第二阶段压力波传播第二阶段l 相当于无穷大地层相当于无穷大地层Btt l 对定压供给边界的地层对定压供给边界的地层不稳定渗流晚期不稳定渗流晚期 tt稳定渗流稳定渗流l 对封闭边界的地层对封闭边界的地层ztt 拟稳定渗流拟稳定渗流定产量生产！AHG0tB0漏斗边缘rPRCP wfrrPPwQwfP二、定流压生产时，地层压力及产量的变化二、定流压生产时，地层压力及产量的变化AHG0twfPB0CPetBtt CQQQt21, 0,Bt

4、t RCP 1QQerrrPtttBQQQ2121QQQ2Q1QAHG0tB0ePBtt Btt PCR Q0QtBtt RCP 1QQ1QQ ttBtt 流量不断下降直至趋于流量不断下降直至趋于0；压差不断减小压差不断减小直至趋于直至趋于0。 压力波传播第一阶段压力波传播第一阶段(不稳定渗流早期）不稳定渗流早期） 压力波传播第二阶段压力波传播第二阶段l 相当于无穷大地层相当于无穷大地层Btt l 对定压供给边界的地层对定压供给边界的地层不稳定渗流晚期不稳定渗流晚期 tt稳定渗流稳定渗流l 对封闭边界的地层对封闭边界的地层 tt定压生产！tPrPrrPzPyPxP1122222222tCK物理

5、意义为：单位时间内压力传播的地层面积，表明地层压力物理意义为：单位时间内压力传播的地层面积，表明地层压力波传导的速度。单位为波传导的速度。单位为 或或 。 sm /2scm /2称为导压系数称为导压系数 即不考虑弹性时，变为刚性渗流，压力即不考虑弹性时，变为刚性渗流，压力波可瞬时传至无穷远处；波可瞬时传至无穷远处； ，时，0tC 渗透率越大，压力波传播越快。渗透率越大，压力波传播越快。 ，不变时，KCt一、数学模型一、数学模型控制方程、综合方程tprprrP1122初始条件itptrp0),(外边界条件irptrp),(内边界条件KhQrprwrr2 r00t二、数学模型的求解二、数学模型的求

6、解所要求解的所要求解的是一个是一个二阶偏微分方程二阶偏微分方程，不能直接求解。，不能直接求解。解法：解法：基本思想：偏基本思想：偏常；高常；高低低分离变量法分离变量法积分变换法积分变换法波尔兹曼变换法波尔兹曼变换法解析解解析解半解析解（试井分析）半解析解（试井分析）数值解（数值模拟）数值解（数值模拟）tprprrP1122)()(tTrRy0)()(dttPesPstdydPydydPdyPdy22PdydP令：PyPdyPdyPyydyPd11lnlnCyyPyeCPy2121CeCC为积分常数，00rrrydydPrrPrKhQrPrr2002rtKtrCdydPr02ydydPy0yKh

7、Q4yeCPy22C),(), 0(PtPi),4(),(2PtryPi即：dyyeKhQdPyyPPi4dyyeKhQPtrPyyi4),(dyyeKhQPPtryitr424),()4(242trEdyyeiytr)4(42),(trEKhQPPiitr222222)4(2145772. 04ln)4(trtrrttrEi即求井底压力时，可直接采用上述近似计算公式。即求井底压力时，可直接采用上述近似计算公式。2225. 2ln)4(rttrEi时当01.042tr2),(25. 2ln4rtKhQPPitr01. 042tr当当r=rr=rw w时，时，r rw w很小，很小， 很大，故当

8、很大，故当t大于几秒后就满足大于几秒后就满足当当r r一定时，一定时，tt，x x减小，减小，-E-Ei i(-x) (-x) ，。 即生产时间越长，地层中即生产时间越长，地层中r r点处的压降越大点处的压降越大）（ xEi 1t4rx2 023452 . 04 . 06 . 08 . 00 . 12 . 14 . 15 . 1 一、封闭边界定产条件下不稳定晚期压力分布一、封闭边界定产条件下不稳定晚期压力分布二、定压边界定产条件下不稳定晚期压力分布二、定压边界定产条件下不稳定晚期压力分布三、定产条件下拟稳定期的压力分布三、定产条件下拟稳定期的压力分布一、封闭边界定产条件下不稳定晚期压力分布一、

9、封闭边界定产条件下不稳定晚期压力分布tPrPrrP1122KhQrPrwrr2|0|eRrrPirPP)0,( 将公式无因次化。将公式无因次化。 作拉普拉斯变换，将方程化为常微分方程。作拉普拉斯变换，将方程化为常微分方程。 解常微分方程得解。解常微分方程得解。 将解反演即得数学模型的解，详细过程参见葛家理将解反演即得数学模型的解，详细过程参见葛家理老师教材附录。老师教材附录。)(43ln22)(2)(22wrtnawennweeitwferRarRRtKhQPP其中：其中：0)(2wnrtae)()()()(2121221nrRnnrRnwennaJaJaaJrRawewe的根0)()()()

10、(1111nnnnaJaRYaYaRJ)43ln2(22)(weeitwfrRRtKhQPP当当 t t 非常大时：非常大时：J J1 1,Y,Y1 1分别为第一类和第二类一阶分别为第一类和第二类一阶BesselBessel函数。函数。a an n为为BesselBessel方程方程拟稳态拟稳态二、定压边界定产条件下不稳定晚期压力分布二、定压边界定产条件下不稳定晚期压力分布tPrPrrP1122KhQrPrwrr2|itRPPe),(irPP)0 ,(rRKhQPPeitrln2),(121200210120)()()()()()()(22nnneDnnDnnDnneDJRJrYJrJYRJe

11、wRtnweDrRR 式中：式中：第一类、第二类零阶和一阶第一类、第二类零阶和一阶Bessel函数函数rRKhQPPeitrln2),(三、定产条件下拟稳定期的压力分布（封闭边界）三、定产条件下拟稳定期的压力分布（封闭边界）设设: :油藏的原始地层压力为油藏的原始地层压力为 PiPi 目前地层平均压力为目前地层平均压力为 P P则依靠液体和岩石弹性能所排出的液体体积为：则依靠液体和岩石弹性能所排出的液体体积为：)(PPVCVift)(22PPrRhCViwethrRVwef)(22 因为在拟稳定期地层中任意点的压力下降速度相等，因为在拟稳定期地层中任意点的压力下降速度相等，故通过半径为故通过半

12、径为r r的任一截面的流量。的任一截面的流量。dtdVQ 又dtdPrRhCQwet)(22dtdPrRhCqetr)(222222weerrRrRQq22werR 222eweRrRQRrqer)1 (22QRrrhrhqverr)1 (21222drdPKRrrRhRQeee)(2又因为在又因为在r r处的渗流速度处的渗流速度分析讨论：分析讨论： 当当 r = rr = rw w 时，时，drRrrRKhRQdPetetrRreePPe)(2)(),(2ln222)(),(eeeeetetrRrRrRRKhRQPP)1(21ln222)(),(eetetrRrrRKhQPP)21(ln2)

13、()(wetetwrRKhQPP022ewRr井底流压：井底流压：若采用若采用 R Re er r 区间积分，分离变量积分得：区间积分，分离变量积分得： drRrrRKhRQdPrreetrPtPwew)(2),()()(21ln2222)(),(wewtwtrrrRrrKhQPP)(21ln22222)(),(ewewtwtrRrRrrrKhQPP)21(ln222)(),(ewtwtrRrrrKhQPP0Rr2e2w 若采用若采用 r rw wr r 区间积分，则有：区间积分，则有：边界压力：边界压力： )21(ln2)(wetwterRKhQPP当当 r = Rr = Re e 时，时，

14、 )(2)(ln22212)(22weRrRrrrKhQtwRrrRrhdrPAPdAtPewewew )(lnt432)(werRKhQtwPP供油区内的平均地层压力供油区内的平均地层压力经整理得：经整理得：)21(ln222)(),(ewtwtrRrrrKhQPP KhQtePP8)(t作用作用 )(lnt432)(werRKhQtwPP KhQtePP8)(t)(22PPrRhCVQtiwet作用作用 hrRCQtPtPweti)(22已知产量求任意时刻已知产量求任意时刻t t的的地层平均压力地层平均压力井底流压井底流压边界压力边界压力一、弹性不稳定渗流的多井干扰理论一、弹性不稳定渗流的

15、多井干扰理论二、井以变产量生产的问题二、井以变产量生产的问题一、弹性不稳定渗流的多井干扰理论一、弹性不稳定渗流的多井干扰理论njjMPP11M23jn1r1Q2r3rjrnr2Q3QjQnQ)4(4),(2jjjjjijtrEiKhQtrPPPnjjjjMtrEiKhQP12)4(4以无限大地层，定产量生产的弹性不稳定渗流的解为基础一、弹性不稳定渗流的多井干扰理论一、弹性不稳定渗流的多井干扰理论 汇点反映法和汇源反映法仍然适用实例实例1 1：如图所示，直线断层附近一口井以定产量生产，试分如图所示，直线断层附近一口井以定产量生产，试分析其井底压力的降落规律。析其井底压力的降落规律。Aa解：解：

16、由汇点反映法变成无限由汇点反映法变成无限大地层两口井生产的问题。大地层两口井生产的问题。BaMAMrBMr)4()4(422trEitrEiKhQPBMAMM一、弹性不稳定渗流的多井干扰理论一、弹性不稳定渗流的多井干扰理论)(),(2tPtrParrrwfBMwAM，在生产井井底：在生产井井底：)44(25. 2ln422,taEirtKhQPPwtriwl 当生产时间较短时当生产时间较短时： 0)44(54422taEita，2,25. 2ln4wtrirtKhQPPw）（ xEi 1t4rx2 0234 52.04.06.08.00.12.14.15.1一、弹性不稳定渗流的多井干扰理论一、

17、弹性不稳定渗流的多井干扰理论l 当生产时间较长时当生产时间较长时： 222425. 2ln)44(01. 044attaEita，)425. 2ln25. 2(ln422,atrtKhQPPwtriw)225. 2ln2(4,wtriartKhQPPw实例实例2 2：如图所示，直线定压边界附近一口井以如图所示，直线定压边界附近一口井以定产量生产，试分析其井底压力的降落规律。定产量生产，试分析其井底压力的降落规律。Aa二、油井的变产量生产问题二、油井的变产量生产问题Q1Q2Q3QnQt01t2t3t4t5t对于变产量井可以认为是多口井同时生产的情况：对于变产量井可以认为是多口井同时生产的情况：第

18、第1 1口井：产量为口井：产量为Q Q1 1，生产时间从，生产时间从t t1 1开始到开始到t t5 5第第2 2口井：产量为口井：产量为Q Q2 2-Q-Q1 1，生产时间从，生产时间从 t t2 2 开始到开始到t t5 5第第3 3口井：产量为口井：产量为Q Q3 3-Q-Q2 2，生产时间从，生产时间从 t t3 3 开始到开始到t t5 5第第n n口井：产量为口井：产量为Q Qn n-Q-Qn-1n-1，生产时间从，生产时间从 t tn n开始到开始到t t5 5nPPPP21)(4(4)()(4(42212121ttrEKhQQttrEKhQii)(4(4)(.21ninnttr

19、EKhQQ)(4()(4211iiniiittrEQQKhP一、不稳定试井概述一、不稳定试井概述二、压力降落试井法二、压力降落试井法三、压力恢复试井法三、压力恢复试井法四、探边测试四、探边测试一、不稳定试井概述一、不稳定试井概述不稳定试井不稳定试井单井不稳定试井单井不稳定试井多井不稳定试井多井不稳定试井压力降落试井（压力降落试井（）压力恢复试井（压力恢复试井（）干扰试井干扰试井脉冲试井脉冲试井常规试井解释方法：常规试井解释方法：针对不同的油藏模型、内外边界条件建立相针对不同的油藏模型、内外边界条件建立相应的地层模型，进而建立相应的数学模型。求解其数学模型，获应的地层模型，进而建立相应的数学模型

20、。求解其数学模型，获得能反映该地质模型的解析解。然后，设法在某一种坐标系上表得能反映该地质模型的解析解。然后，设法在某一种坐标系上表现出一直线规律，求取其斜率与截距，进而反求地层参数等。现出一直线规律，求取其斜率与截距，进而反求地层参数等。现代试井解释方法：现代试井解释方法：是随着科学技术的进步，尤其是计算机和高是随着科学技术的进步，尤其是计算机和高精度电子测试仪器的而建立起来的，也称典型曲线拟合法，就是精度电子测试仪器的而建立起来的，也称典型曲线拟合法，就是将实测数据绘制在与理论典型曲线坐标比例大小一致的双对数图将实测数据绘制在与理论典型曲线坐标比例大小一致的双对数图中与典型曲线拟合，求得参

21、数。整个分析过程是一个边解释边检中与典型曲线拟合，求得参数。整个分析过程是一个边解释边检验的过程。验的过程。压力恢复和压力降落试井资料的常规试井解释方法二、压力降落试井法二、压力降落试井法)4(42)(trEKhQPPwiitwf时当01. 042trw2)(25. 2lg4witwfrtKhQPPtKhQrKhQPPwitwflg183. 025. 2lg183. 02)(tmAPtwflg)(二、压力降落试井法二、压力降落试井法tmAPtwflg)(225.2lg183.0AwirKhQPKhQm183.0) t (wfPtlgA 0tanm P Pwf(t)wf(t)-lgt-lgt呈线

22、性关系呈线性关系 由由 m m 可求可求kh/kh/ 由由A A可求可求C Ct t，从而确定，从而确定其弹性储量其弹性储量二、压力降落试井法二、压力降落试井法43ln222)(weeitwfrRRtKhQPPtKhRQrRKhQPPeweitwf2)()43(ln2mtAPtwf)(二、压力降落试井法二、压力降落试井法) t (wfPtA 0tanm)43(ln2AweirRKhQP2eKhRQmmtAPtwf)(三、压力恢复试井法三、压力恢复试井法qq q q 0TTTTttt t wfPiP 若某井以定产量若某井以定产量q q稳定生产稳定生产T T时间后，瞬时关井，则时间后，瞬时关井，则

23、可以设想：关井后该井仍以原来的产量继续生产，但从可以设想：关井后该井仍以原来的产量继续生产，但从关井时刻起，在原井位上假想一口与原来井产量相等的关井时刻起，在原井位上假想一口与原来井产量相等的注入井投注，实际井产量为零，符合关井情况。这样关注入井投注，实际井产量为零，符合关井情况。这样关井后的地层压力变化规律就可以用假想的一口生产井和井后的地层压力变化规律就可以用假想的一口生产井和一口注水井同时工作在地层中所引起压力变化的叠加来一口注水井同时工作在地层中所引起压力变化的叠加来描述。描述。)4(42,trEiKhqPPtri2),(25. 2ln4wtrirtKhqPPw21)(25. 2ln4

24、wrtTKhqP2225. 2ln4wrtKhqP 对于对于q井，关井后任一时刻的井底压差为：井，关井后任一时刻的井底压差为： 对于对于+ q井，关井后任一时刻的井底压差为：井，关井后任一时刻的井底压差为：压力恢复试井可以视为：油井以压力恢复试井可以视为：油井以+q生产生产T(关井关井)时间后继续生产时间后继续生产，此时在该井点又有一，此时在该井点又有一q (注水井注水井)为产量的油井开始生产。为产量的油井开始生产。对井底，幂积分函数都可简化为对数近似式，则有：对井底，幂积分函数都可简化为对数近似式，则有：根据叠加原理，由根据叠加原理，由+q和和-q井共同生产时，关井井共同生产时，关井t后井底压力变化：后井底压力变化：2225. 2ln4)(25. 2ln4wwrtKhqrtTKhqPttTKhqPln4tTtKhqPttTKhqPPiitwfln4ln