第4讲(克莱姆法则和习题课)

1、课前复习课前复习 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式在在n n阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第列划去后，留下来的列划去后，留下来的n-1n-1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余余子式子式， 记作记作.ijMijaijija 1ijijijMA ，叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija即即 ijijDa A 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式与它的代数余子式ijaija结论：结论：的乘积，的乘积，ijAni一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除二、行列式按行（列

2、）展开法则二、行列式按行（列）展开法则行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行( (列列) )的各元素与其对的各元素与其对定理定理1.51.5应的代数余子式乘积之和应的代数余子式乘积之和. 行列式任一行行列式任一行( (列列) )的元素与另一行的元素与另一行( (列列) )的对的对推论推论1.41.4应元素的代数余子式乘积之和等于零应元素的代数余子式乘积之和等于零.第第4节节 克莱姆克莱姆法则法则 11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb 设线性方程组设线性方程组若常数项若常数项 不全为零，则称此方程组不全为零，则称此方

3、程组12,nb bb若常数项若常数项 全为零，则称此方程组全为零，则称此方程组为为12,nb bb一、非齐次与齐次线性方程组的概念一、非齐次与齐次线性方程组的概念为为非齐次线性方程组非齐次线性方程组. .齐次线性方程组齐次线性方程组；11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 右端的常数项代替后所得到的右端的常数项代替后所得到的 阶行列式阶行列式. .n其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组组jDjD111111112

4、121211212111jjnjjnjnjnjnnaabaaaabaaDaabaa 如果线性方程组如果线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 二、二、CramerCramer法则法则定理定理1.61.6那么线性方程组有唯一解：那么线性方程组有唯一解：312123,nnDDDDxxxxDDDD右端的常数项代替后所得到的右端的常数项代替后所得到的 阶行列式阶行列式. .n其中其中 是把系数行列式是把

5、系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组组jDjD 这个定理的条件是系数行列式D0 ，结论实际有三条： 1 1方程组有解（存在性）；方程组有解（存在性）；2 2解是唯一的（唯一性）；解是唯一的（唯一性）；3 3解由公式解由公式 给出给出. .)., 2 , 1(njDDxjj注意：注意： 应用这个定理进行判别的前提应用这个定理进行判别的前提 方程的个数未知数的个数方程的个数未知数的个数例例1 1 用用CramerCramer法则解线性方程组法则解线性方程组121121121121222(1)22nnnnnnnnxxxxxxxxxnxxxnxxxx 解解系数行列式系数行列式11111

6、1211111111Dnn 0 111111211111111Dnn ()in 0 iiDxD 故方程组有故方程组有唯一唯一解解2D nnDxD ()in 2 0 2222 1111 111111211111111Dnn 2222 nDiD练习：用练习：用CramerCramer法则解线性方程组法则解线性方程组134123423412342374242222231xxxxxxxxxxxxxx 解解: :系数行列式系数行列式2031412102212231D 200134123423412342374242222231xxxxxxxxxxxxxx 2031412102212231D 7421 1

7、20D 240D 360D 440D 1D2D3D4D7421 7421 7421 12341,2,3,2xxxx即故方程组有故方程组有唯一唯一解解: :,iiDxD 0000三、由三、由CramerCramer法则得到的结论法则得到的结论( (定理定理1.6)1.6)定理定理方程组一定有解方程组一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的. .0D 如果线性方程组的系数行列式如果线性方程组的系数行列式，则线性，则线性如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式，则，则齐次线性方程组没有非零解，即只有零解齐次线性方程组没有非零解，即只有零解. .推论推论1.51.50 D 0320)2(020?. 2432142142141kxxxxxxxkxxxxkxk零零解解，时时下下列列齐齐次次方方程程组组有有非非当当例例解解: :系数行列式系数行列式00112012101213kDkk 5k 141241241234020(2)0230kxxxxxkxxxxxxkx013121211kk 3(5)k .0200:只只有有零零解解程程组组取取何何值值时时，齐齐