几何证明与计算(解析版)

1、几何证明与计算考试说明要求熟练掌握三角形、四边形和圆知识点， 并会综合运用，能独立解决几何 的证明与计算。考向1以圆为背景的特殊四边形的动态探究题1. (2019年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷)如图，AB为。的直径，射线AG为。O的切线，点A为切点，点C为射线AG上任意一点，连接OC交。于点E,过点B 作 BD / OC 交。于点 D,连接 CD, DE, OD.(1)求证：OAC0ODC；(2)当/ OCA的度数为 时，四边形BOED为菱形；当/ OCA的度数为 时，四边形 OACD为正方形.【答案】(1)证明见解析；(2)/ OCA=30°,/ OCA = 45

2、6;.【解析】(1)依据 SAS可证明 AOACA ODC;(2)依据菱形的四条边都相等，可得OBD是等边三角形，则/ AOC = /OBD=60°,求出/ OCA=30°由正方形的性质得出/ ACD=90°,则/ ACO=45°.【详解】(1)证明：.OB=OD, ./ B=Z ODB,. BD II OC, . / AOC = Z B, Z DOC = / ODB,AOC = Z COD . OA=OD, OC = OC, .OACQODC (SAS)；(2)四边形 BOED是菱形，.-.OB=DB.又. OD = OB,.-.OD = OB=DB.

3、， OBD为等边三角形， ./ OBD = 60°. CO / DB, ./ AOC = 60°, 射线AG为。的切线，.-.OAXAC, ./ OAC = 90°, ./ OCA=Z OAC -Z AOC = 90°- 60 =30O,.四边形OADC是正方形， ./ ACD = 90°, . / ACO = Z DCO , .Z OCA = 45°,故答案 30°, 45°.【点睛】本题主要考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键

4、.2. （2019年许昌二模）如图， AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点（不与点A, B重合），D是弦AC上一点，过点 D作DELAB,垂足为 E,过点C作半圆。的切线，交ED的延长线于点F .9(1)求证：FC = FD.（2）当/ CAB的度数为 时，四边形OEFC是矩形;若D是弦AC的中点，OO的半径为5, AC =8,则FC的长为【答案】（1）证明见解析；（2） / CAB =45°【解析】（1）证明/ FDC = / FCD ,即可求解;(2)当/ CAB = 45°时,/COB =90°,即可求解;D是弦AC的中点，则ODLAC,AD, cos圻累

5、得fd = 1¥=|；=当即可求解.5解：（1） .FC是圆的切线,FCD+Z ACO= 90°, FEXBA,ADC + Z CAO = 90°,而/CAO=/ACO, /ADE=/FDC, ./ FDC= / FCDFC= FD;(2)当/CAB = 45°时，Z COB = 90°,则四边形OEFC是矩形，故答案是45;连接OD , D是弦AC的中点，ODXAC, AD = DC,贝U / ADE = / AOD = / FDC = %AD = CD =AC=4,2OA = 5,DO = 4,cos后则4FDC中,2_ 105FC.4&q

6、uot; CDJjogCL【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、矩形的基本性质，其中(2),垂径定理的运用，是解题的关键.3. (2019年河南省南阳市镇平县中考数学三模试)如图，已知在RtAABC中，/ ABC=90°,点。是AB边上一点，以O为圆心OB为半径的。与边AB相交于点E,与AC边相切于D点，连接OC交。于点F.(1)连接 DE,求证：OC/ DE；（2）若。O的半径为3.连接DF,若四边形OEDF为菱形，弧BD的长为.（结果保留 好若AE=2,则AD的长为【答案】（1）见解析；（2）2兀；4.【解析】（1）利用HL可证明RtAOCD RtAOCB ,可得/

7、COD = /COB,利用三角形外角 性质可得/ DOB = / ODE + /OED,即可证明/ DOC = /ODE,即可得OCDE ； （2）根 据菱形的性质可求出/ BOD,利用弧长公式即可得答案；由DE / OC,推出空=坐=1 ,CD 3设 AD=2k, CD = 3k,由 RtAOCD RtAOCB,可得 BC=CD = 3k,在 RtAABC 中，利用勾 股定理构建方程即可解决问题.【详解】（1）证明：连接OD.C.AC是切线， ODXAC, Z ODC = Z OBC=90°, . OC = OC, OD=OB,RtAOCDRtAOCB (HL),COD = Z C

8、OB, .OD = OE, ./ ODE = Z OED, . / DOB = Z ODE + /OED, ./ DOC = Z ODE,/.DE / OC.(2)四边形DEOF是菱形,.-.df = od = of, .ODF是等边三角形， ./ DOF = 60°, ./ BOD = 2 / DOC = 120° ,小/ 1205T . 的长=2 兀.180故答案为2兀. DE/ OC,AD AE 2瓦=就于设 AD=2k, CD = 3k,-.RtAOCDRtAOCB,-.BC = CD = 3k,在 RtAABC 中，则有 25k2=9k2+82,*=2或-2 (舍

9、弃)，AD = 4.故答案为4.4.(河南省信阳市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题)如图，已知。的半径为1,AC是。的直径，过点 C作。的切线BC, E是BC的中点，AB交。于D点.(1)直接写出ED和EC的数量关系： ;(2)DE是。的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；填空：当BC=时，四边形AOED是平行四边形，同时以点 O、D、E、C为顶点的 四边形是.【答案】(1). ED=EC (2).DE是。的切线；证明见解析 (3).2 正方形【解析】(1)连结CD,如图，由圆周角定理得到/ADC=90°,然后根据直角三角形斜边上的中线直线得至ij DE = CE

10、=BE;(2)连结OD,如图，利用切线性质得/ 2+7 4=90°,再利用等腰三角形的性质得/ 1 = 72, / 3=7 4,所以/ 1 + Z 3=7 2+7 4=90 °,于是根据切线的判定定理可判断 DE是。O的切线；(3) 要判断四边形 AOED是平行四边形，则 DE=OA=1,所以BC=2,当BC=2时，AACB为等腰直角三角形，则/ B=45。，又可判断4BCD为等腰直角三角形，于是得到DE±BC,DE = - BC=1 ,2所以四边形AOED是平行四边形；然后利用 OD=OC=CE=DE=1, / OCE=90。，可判断四边 形OCED为正方形.【

11、详解】（1）连结CD,如图,.AC是。O的直径， ./ ADC=90°, .E是BC的中点， .DE = CE=BE；(2) DE是。的切线.理由如下：连结OD,如图，. BC为切线，.-.OCXBC, ./OCB=90°,即/ 2+/4=90°,. OC = OD, ED=EC,./ 1 = /2, / 3=74,.1+/3=/2+/4=90°,即/ ODB=90° ,.-.OD±DE, .DE是。O的切线；(3)当 BC=2 时, .CA=CB=2,. ACB为等腰直角三角形,/ B=45° . BCD为等腰直角三角形,

12、DEXBC, DE= BC=1 .OA=DE=1, AO/DE, 四边形AOED是平行四边形； , OD=OC=CE=DE=1 , / OCE=90° , 四边形OCED为正方形.故答案为ED=EC； 2,正方形.【点睛】此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.5.（河南省外国语中学 2019届九年级中招适应性测试卷数学试题）如图， AB是e O的直 径，AB 4,点P是AB上方圆上的一个动点，连接AP,作 PAB的平分线AC,交eO 于点C ,过点C作CD AP交AP的延长线于点 D.求证：CD是e

13、 O的切线；（2）当AP 时，四边形APCO是平行四边形.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】(1)连接OC,根据等腰三角形的性质得到/ CAO=/ACO,由角平分线的定义得到/ DAC 二ZOAC,等量代换得到/ DAC=/ACO,根据平行线的判定定理得到 AD/OC,由平行线的 性质即可得到结论；(2)根据 '组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以得到结论；【详解】连接OC.AC 平分 PAB ， PAC BAC . OA OC,BAC OCA,PAC OCA,AD P OC ,. CD AD ,OC CD ,CD是e O的切线.(2) AP / OC,当AP=OC时，

14、四边形 APCO是平行四边形.OC=2，AP=2.【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.6. (2020年1月河南省郑州市一模数学试题)如图， 那BC内接于。O,且AB = AC,延长BC至点D,使CD = CA,连接AD交。与点E,连接BE, CE.(1)求证：AABEACDE;(2)填空：当/ABC的度数为 时，四边形AOCE是菱形;若AE= J3 , AB= 2近,则DE的长为.【答案】(1)见解析；(2)60。；5®3【解析】(1)由AB = AC, CD=CA得出AB=CD,再根据圆内接四边形的性质和圆周角的性质可知BAE ECD

15、 , / CED = Z AEB 从而可证 ZABEA CDE(2)根据菱形的性质可知 VAOE,VOCE为等边三角形，进而可推出ABC 60由ZBEA CDE可得 ABEBDA进而可可 ABE s匕ADB ,再利用相似三角形AB AE的性质可知一 二二，从而DE AD AE可求. AD AB【详解】(1)证明：AB = AC, CD = CAABC = /ACB, AB=CD.四边形ABCE是圆内接四边形ABC AEC 180 , BAEBCE 180 ,Q CED AEC 180 , ECDBCE 180 ,ABC CED, BAE ECDACB CEDACB AEB ./ CED = /

16、 AEB.BAE ECD在AABE和CDE中AEB CEDAB CD.ABEA CDE(2)当 ABC 60时，四边形AOCE是菱形理由如下：连接 AO,CO,OE,如下图四边形AOCE是菱形#:.OC CE AE OA又Q OA OE OCOA AE OE EC. VAOE ,VOCE为等边三角形AOC 120ABC 60由 ZBEA CDE可得 ABE BDAQ ABE BDA, BAE DAB AABEAADBAB AEAD AB即AD型（2二2）2盛AE、. 338.3- 5.3DE AD AE . 3 33【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，圆

17、周角定理及推论，能够对所学知识灵活应用是解题的关键考向2以圆为背景的证明与计算1.（河南省漂河市临颍县 2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知。 。的直 径AB=10,弦AC=6, / BAC的平分线交。O于点D,过点D作DEL AC交AC的延长线于 点E.（1）求证：DE是。的切线.（2）求DE的长.【答案】（1）详见解析；（2） 4.【解析】试题分析：（1）连结 OD,由AD平分/ BAC,OA = OD,可证得/ ODA = /DAE,由平行线的 性质可得 OD/AE,再由DELAC即可得OELDE,即DE是。O的切线；（2）过点O作 OFLAC于点F,由垂径定理可得

18、 AF=CF=3,再由勾股定理求得 OF=4,再判定四边形 OFED 是矩形，即可得 DE=OF=4.试题解析：(1)连结OD. AD 平分/ BAC, ./ DAE = Z DAB.OA=OD ./ ODA=Z DAO, ./ ODA=Z DAE, . .OD / AE,. DE，AC .OELDE.DE是。O的切线；(2)过点。作OF，AC于点F, .AF =CF=3, , OF= .二一 ，一 _ . / OFE = Z DEF = Z ODE=90° , 四边形OFED是矩形， .DE = OF=4.考点：切线的判定；垂径定理；勾股定理；矩形的判定及性质2.（河南省南阳市淅川

19、县 2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图， AB是e O的 直径，点C在eO上，AD平分 CAB, BD是eO的切线，AD与BC相交于点E,与eO 相交于点F ,连接EF .(1)求证：BD BE;（2）若DE 4, BD 2而，求AE的长.【答案】（1）见解析；（2） AE 615(1)利用圆周角定理得到/ ACB=90° ,再根据切线的性质得/ ABD=90°,则/ BAD+/D=90°,然后利用等量代换证明/ BED=/D,从而判断BD=BE;(2)利用圆周角定理得到/ AFB=90°,则根据等腰三角形的性质 DF=EF =2,再证

20、明 BDFsADB ,列比例式求出 AD的长，然后计算 AD-DE即可.【详解】(1)证明：.AB是e O的直径， ACB 90 ,CAECEA 90 .BED CEA,CAEBED 90 . BD是e O的切线，ABD 90 ,BAD BDA 90 .又 AO平分 CAB, CAE BAD , BED BDA,BD BE;(2)解：.AB是e O的直径， AFB 90 ,又BE BD,1DF EF -DE 2 .2在RtABDF中，根据勾股定理得，BF 4.BFDABD 90ABDFAADB ,.BD DF口u 5 2-=,即-AD BD AD 5解得AD 10, AE AD DE 6 .【

21、点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质、切线的TIe质 熟练掌握切线的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.3.(河南省濮阳市县区 2019-2020学年九年级上学期期末数学试题)如图，在 ABC中，AB AC ,以AB为直径作e O交BC于点D .过点D作EF AC ,垂足为E ,且交AB 的延长线于点F .(1)求证：EF是e O的切线;(2)若 AB 10, A 60°,求 BD 长.【答案】(1)见解析；(2) BD长为5.(1)连接OD, AD,根据等腰三角形三线合一得BD=CD,根据三角形的中位线可得 OD /AC,所以得ODL

22、EF,从而得结论；1(2)根据等腰三角形三线合一的性质证得/BAD = - Z BAC=30 ,由30的直角三角形的性217质即可求得BD.【详解】(1)证明：连接 OD, AD, AB是。的直径， ./ ADB =90° ,.-.ADXBC,.AB=AC,.'.BD = CD,.OA=OB, OD是ABAC的中位线， .OD / AC, . EF ±AC,.-.ODXEF,'.EF是。的切线；(2)解：AB = AC, AD± BC,1 ./ BAD= - Z BAC = 30211 .BD= -AB= - X 1与5, 22即BD长为5.【点睛

23、】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、等腰三角形的性质，圆的切线的判定，30。的直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键.4.(河南省新乡市辉县市 2019-2020学年九年级上学期期末数学试题)如图，AB是。O的弦,过点。作OCOA, OC交于AB于P,且CP=CB.(1)求证：BC是。的切线；(2)已知/ BAO=25°,点Q是弧AmB上的一点.求/ AQB的度数；若OA=18,求弧AmB的长.【答案】(1)见解析；(2)/ AQB=65。，l弧AmB=23兀.【解析】(1)连接OB,根据等腰三角形的性质得到/OAB = /OBA, /CPB=

24、/CBP,再根据/ PAO +/APO=90°,继而得出/ OBC=90°,问题得证；(2)根据等腰三角形的性质可得/ ABO=25 °,再根据三角形内角和定理可求得/AOB的度数，继而根据圆周角定理即可求得答案；根据弧长公式进行计算即可得.【详解】连接OB,.CP=CB, ./ CPB = Z CBP,0.OAXOCAOC=90°, .OA=OB, ./ OAB = Z OBA, . / PAO + ZAPO=90° , ./ ABO+Z CBP=90° , ./ OBC=90°,.BC是。O的切线；(2). / BAO=

25、25° , OA=OB, ./ OBA=Z BAO=25° ,/ AOB=180°-Z BAO-/ OBA=130° ,，一 1 ， _。AQB=- / AOB=65 ;2/ AOB=130° , OB=18,.(360 130)18 . l 弧 AmB=一乙=23兀.180【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运 用相关知识是解题的关键.5.(河南省许昌市襄城县 2019-2020学年九年级上学期期末数学试题)如图， AB是。O的 直径，弦CD AB ,垂足为H ,连接AC .过？D上一点E作EG/AC

26、交CD的延长线 于点G ,连接AE交CD于点F ,且EG FG .(1)求证：EG是。的切线;2J2，求OM的长(2)延长AB交GE的延长线于点M ,若AH 2 , CH【答案】(1)见解析(2) 0M3.6227(1)连接 0E,由 GE GF ,推 GEF AFH ,证 OEA OAF ,得 GEO 90,OE OM,即一rCH 2.33尸,可求OM . 2,2根据切线判定定理可得；(2)连接0C ,设。0的半径为r ,则OC r, OH r 2 , 在 Rt OCH 中，求得 r 3,在 Rt ACH 中，求得 AC J(2V2)2 222/3，由OMAC/GE ,证 RtAOEMc/3

27、RtACHA,得 AC【详解】（1）证明：连接OE ,如图,. GE GF ,GEF GFE,而 GFEAFH , GEFAFH ,. AB CDOAF AFH 90GEA OAF 90 ,. OA OE,OEAGEA OEA 90 ,即 GEOOE GE ,. EG是。O的切线;(2)解：连接OC ,如图,设。O的半径为r ,则 OC r, OHr 2,在Rt OCH中,(r 2)2 (2、,2)2t23,在Rt ACH中,AC(2,.2)2222/3, AC/GE,.-.RtAOEMc/DRtACHA,OM OEAC CHOM 即2133,6 OM -2.理解切线判定和相似三角形判【点睛】

28、考核知识点：切线判定，相似三角形判定和性质定是关键.6.(新乡市名校联考 2019-2020学年九年级上学期期末数学试题)如图，已知点 P是e O外 一点，直线PA与e O相切于点B ,直线PO分别交e O于点C、D , PAO PDB , OA交BD于点E .(1)求证：OA/BC；(2)当e O的半径为10, BC 8时，求AE的长.【答案】(1)证明见解析；(2)21.【解析】(1)连接 OB,由切线的性质可得OBLRA,然后根据直径所对的圆周角为直角得到/CBD=90。，再根据等角的余角相等推出/ BCD = /BOA,由等量代换得到/ CBO=/BOA,即 可证平行；(2)先由勾股定理求出 BD,然后由垂径定理得到 DE,求出OE,再利用那BEsDOE 的对应边成比例，即可求出 AE.【详解】(1)如图，连接OB,.直线pa与e O相切于点B,.-.OBXPA, ./ PAO + ZBOA=90° cd是e O的直径 ./CBD=9