空间向量在立体几何中的应用重点知识+高考真题+模拟精选

1、空间向量在立体几何中的应用 （重点知识+高考真题+模拟精 选）作者:日期:空间向量在立体几何中的应用【重要知识】一、求平面法向量的方法与步骤 ：1、选向量：求平面的法向量时 ，要选取两个相交的向量，如aB,aC2、设坐标：设平面法向量的坐标为 n (x,y,z)n AB 03、解方程：联立方程组.，并解方程组n AC 04、定结论：求出的法向量中三个坐标不是具体的数值，而是比例关系。设定某个坐标为常 数得到其他坐标二、利用向量求空间角：1、求异面直线所成的角：设a,b为异面直线，点A, C为a上任意两点，点 B,D为b上任意两点，a,b所成的角为AC BD侧 cos IIACIBD【注】由于异

2、面直线所成的角的范围是：090 ,因此cos 02、求直线与平面所成的角：设直线l的方向向量为a,平面 的法向量为n ,直线l与平面所成的角为e与门所a n成的角为 ，则sincos | ra n【注】由于直线与平面所成的角的范围是：090，因此sin 03、求二面角：III.设4,电分别为平面，的法向量，二面角 l 为 ，则 A,% 或 +h n1 “n1,n2 ，其中 cos n1,国rr 2三、利用向量求空间距离：1、求点到平面的距离一AB n设平面 的法向量为n , A , B ,则点A到平面的距离为 一一2、求两条异面直线的距离设11,12是两条异面直线，n是公垂线段 AB的方向向量

3、，C,D分别为11,12上的任意两点，.CD n|则11与12的距离为AB 11【重要题型】1、(2012广东，理)如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面ABCD，点E在线段PC上，PC 平面BDE(1)证明：BD 平面PAC(2)若PA 1, AD 2,求二面角 B PC A的正切值tapD, E分别是2、(2 o 1 3广东，理)如图，在等腰三角形 ABC中，A 90 ,BC 6,AC,AB上的点，CD BE J2,O为BC的中点。将 ADE沿DE折起，得到如图所示的四棱锥 A BCDE ,其中A O J3。(1)证明：A O平面BCDE(2)求二面角ACDB的平

4、面角的余弦值3、( 2 0 0 9广东，理)如图，已知正方体 ABCD A1B1c1D1的棱长为2,点E是正方形BCCiBi的中心，点F,G分别是棱 C1D1、AAi的中点，设Ei,Gi分别是点E,G在平面DCCiDi内的正投影。(1)求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCCiDi内的正投影为底面边界的棱锥的体积(2)证明：直线FGi 平面FEE"(3)求异面直线EiGi与EA所成角的正弦值。D,E分另ij是AB, BBi的中4、(201 3课标，理)如图，直三棱柱ABC A1B1cl中，点,AA1 AC CB AB 2证明：BC1/平面A1CD ；(2)求二面角D AC E的正弦

5、值.5、(20 1 2辽宁，理)如图，直三棱柱 ABC点M , N分别为A B和B C的中点(1)证明：MN 平面AACC ；ABC, BAC 90 , AB AC AA ,的值.(2)若二面角A MN C为直二面角，求AB AC6、(2 0 1 0辽宁，理)已知三棱锥P ABC中，PA 平面ABC ,1， ff，一PA AC AB, N 为 AB 上一点，AB 4AN , M , S 分别为 PB, BC 的中点。 2(1)证明：CM SN;(2)求SN与平面CMN所成角的大小7、(20 1 0广东，理)如图， 赢 是半径为a的半圆，AC为直径，点E为万 的中点点B和点C为线段AD的三等分点

6、，平面AEC外一点F满足FB FD J5a ,FE . 6a(1)证明：EB FD ;(2 )已知点Q,R分别为线段FE ,FB上的点，使得一22FQ FE , FR-FB，求平面BED与平面RQD所成二面33角的正弦值.ABC是正三角形,8、(201 3汕头高二统考，理)在四麴隹P ABCD中，PA 平面ABCD ,AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA且PN 靠.(1)求证：BD PC;(2)求证：MN/平面PDC;求二面角A PC B的余弦值.AB 4, CDA 120",点 N 在线段 PB 上,p矩形ABCD是正方形建立如图所示的坐标系A xyz,则A(0,0,0), P

7、(0,0,1), C(2,2,0), B(2,0,0)AP (0,0,1) , AC (2,2,0)BP ( 2,0,1), BC (0,2,0)设平面PAC的一个法向量为n1(x1, y1 ,z1)Z102X1 2y1 01,Z10,即 n； (1, 1,0)AC n1令x10，即0【参考答案】1、(1)证明： PA 平面 ABCD, BD 平面 ABCD, PA BD又 PC 平面 BDE , BD 平面 BDE , PC BDPA PC P, BD 平面 PACBD AC(2)解：BD 平面 PAC , AC 平面 PAC ,设平面PBC的一个法向量为n2 (x2,y2,z2),则 BC

8、n2 0,即 y20BP n2 02x2 z2 0令 x2 1 ,则 y20,z2 2,即 电 (1,0,2)n1n2110cos ,&t=广n1 n272 x51010.3.10设二面角B PC A的大小为，则cos , sin 1010tan 32、（1）证明：连接OD,OE由图得，OC 3,AC 3 2,AD 2.2在 OCD中，由余弦定理可得222OD1 2 OC2 CD2 2OC CDcos 455,即OD 屈由翻折的不变性可知，AD AD2、2lrAO2 OD2 AD2, AOOD同理可证，AOOE又 OD OE O, AO平面BCDE(2)解:以。点为原点，建立空间直角坐

9、标系O xyz如图所示则 A (0,0, ,3),C(0, 3,0), D(1, 2,0)所以 CA (0,3,. 3), DA ( 1,2, J3)CA n 0设平面A CD的一个法向量为n (x,y,z),则 .DA n 03y .3z即x 2y令x 1,则y1,z V3,即 n (1, 1,J3)由(1)知，OA(0,0, J3)为平面CDB的一个法向量cos n,OAn OA 3.15OA3 -55即求二面角ACD B的平面角的余弦值为,1553、(1)解:依题意得,EEi平面DCCiDi ,且四边形FGAE在平面DCCiDi内的正投影为四边形FG1DE1点E是正方形BCC1B1的中心

10、，EEi 1SFG1 DE1SDCC1D1SFD1G1E1C1FS DCE1222故所求的四棱锥的体积为VEFC1DE13 SFEiDGiEE1(2)证明:由知,E1C1F 与GiDiF都是等腰直角三角形G1FE190 ,即 FG1FEi又EEi平面DCCiDi,FGi 平面 DCCiDi, EEiFGiEEiFEi Ei , FGi平面FEEi(3)解：以D为原点，DD1，DC,DA分别为z轴，y轴，x轴的正向,婀为i个单位长度，建立空间直角坐标系，则 E(1,2,1), F(0,1,2),Gi(Q0,1), Ei(0,2,1) ,A(2,0,0)EA(1, 2, 1),EiGi (0, 2

11、,0)cosEA, E1G1EA E1GlEA E1G14_66 23sinEA, EiGi4、(1)证明：连接ACi交AC于点F ,则F为ACi中点又D是AB中点，连接DF ,则 BC1/ DFDF 平面 AiCD , BCiBCi/平面CD(2)由 AC CB 三 AB 得，AC2BC以C为坐标原点，CA的方向为示的空间直角坐标系D(1,1,0),E(021)Ai(2,0,2),CD (1,1,0) , CE(0,2,1),CAi(2,0,2)设n1 (x1, y1, z1)是平面A1CD的法向量，则n1 CD 0xi，即ni CA 02xiy10，可取必(1, 1, 1)2Z10x轴正方

12、向，建立如图所同理，设n2(X2, y2 22)是平面A1CE的法向量，则n2CEn2CA2y22x2Z22Z20,可取n2 (2,1, 2)从而cosn2nin23，故 sinn1,n23即二面角DA1CE的正弦值为Y635、(1)证明：连接AB , AC三棱柱ABC ABC为直三棱柱，M为A B的中点M为AB的中点又 N为BC的中点MN /ACMN 平面A ACCMN 平面 A ACC(2)以A为坐标原点，分别以直线坐标系A xyz,如图所示：设 AA 1 ,则 AB AC是 A(0,0,0), B( ,0,0), C(0,0)A(0,0,1),B( ,0,1),C(0, ,1)因此,1、

13、M(2,0,2),N(2,i,1)AB,AC,AA为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角(x1, y1, zj是平面A MN的法向量，AMMN0得,02x11y12Z1司(1, 1,)同理，设n2(x2,y2,Z2)是平面MNC的法向量，工& NC由n2 MN0得,2x22 y2z21 Z2022( 3, 1,)A MNC为直二面角n1 n20,即 3 120,解得后6、(1)证明：设PA 1,以A为原点，AB, AC, AP分别为x, y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：- _11-则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,2),N(5,0,0)C

14、 1S(1,-,0)2111CM (1, 1,2),SN ( 2, 2,0)一 一11 一一 _由 CM SN- - 0 0可知，CM2 21 , NC (,1,0)2设n (x, y, z)为平面CMN的一个法向量工n NC由.n CM1八x y 0 02得，可取n0 x y -z 02设SN与平面CMN所成角为，则sincosn,SNSN(2,1, 2)2457、(1)证明：EBE为R的中点，AB BC, AC为直径AD直角坐标系B xyz,连接FC由此得，B(Q0,0),C(Q a,0),D(0,2a,0),E(a,Q0)FDFB, BC CDFCFCFQBD2a22-FE,FR -FB

15、33i 2R(0，a，a) 3 3一2 2RQ2 be(2 a,0.0)3352、RD (0, a, a)33设平面RQD的法向量为ni（Xi，yi，zi）*- *ni RDni RQ0得,05 ayi32 axi32一aZi3可取ni(025)同理，设平面cossin平面BED的法向量为ni,n2ni,n2n2(X2, y2,Z2)，可取 出 (0,0,i)ni n2nin25295 29292一2929BED与平面RQD所成二面角的正弦值为2 一 29298、证明：（1） 因为 ABC是正三角形， M是AC所以BMAC ,即 BD AC又因为PA平面 ABCD, BD 平面 ABCD , PABD又PA。AC A,所以BD 平面PAC4分又PC 平面PAC ,所以BD PC在 ACD中，因为 M为AC中点，DM AC ,所以AD CDCDA 120，所以 DM 述，所以 BM : MD 3:1 6分3在等腰直角三角形PAB中，PA AB 4, PB 4 J2，所以 BN : NP 3:1, BN : NP BM : MD ,所以 MN /PD8分又MN 平面PDC , PD 平面PDC ,所以MN /平面PDC 9分因为 BAD BAC CAD 90；,所以AB AD,分别以AB,AD, AP为x轴，y轴，z轴建立如