湖州师范学院微分几何教学大纲.

1、微分几何教学大纲一、课程说明1课程学时、学分及分配课程总学时： 40 周学时： 4 学分： 2 开课学期： 7 2课程类别微分几何是数学与应用数学专业的一门专业选修课程， 是通过分析中的一些运算去研究几何有关问题，是线性代数，数学分析，微分方程等学科知识的综合运用。3课程教学目的与要求本课程的目的是使学生能从较浅显的内容去学习近代的几何处理方法， 通过分析中的一些运算去研究几何有关问题； 培养学生的几何直观和图形想象的能力、 从具体到抽象的能力。通过教学应使学生：（1）对空间的曲线和曲面，特别是特殊的曲线与曲面有明晰的空间位置、形状、曲率、挠率的概念， 向量分析方法能运用自如， 从而达到数与形

2、的统一， 统一的数量与空间的唯物辨证观念。（2）能具备空间想象能力，娴熟的分析计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。4参考教材与参考书目参考教材：微分几何与微分流形纪永强编著高等教育出版社2000 年 9 月第一版参考书目：微分几何首都师范大学梅向明黄敬之编高等教育出版社2003 年第三版微分几何讲义陈省身陈维桓北京大学出版社1983微分几何苏步表胡和生等高等教育出版社1983整体微分几何初步沈一兵杭州大学出版社1998微分几何讲义吴大任人民教育出版社19825课程教学重点与难点课程教学重点在于学习研究微分几何的一种基本方法：用向量分析法来讨论曲线和曲面的局部性质。难点是由于知识的综合运用程度较

3、高，要求学生有较好的分析能力和几何想象力。6课程教学方法与手段（ 1）备课：备课是教学活动的关键环节，任课教师必须保证充分的时间，在备课上下力气，应注意到了解先前的教学情形及学生的学习基础，从实际出发进行教学活动。认真钻研大纲、教材和参考资料，明确每个章节的基本要求、重点、难点，选择恰当的教学方法和手段，合理科学地安排教学内容，写出比较详细的教案。实行集中备课和临时备课的结合， 即于每章开始前集中备好全章的教案。 在教学进行中，每次结合此次授课情况，学生反馈意见，再次修案，以适应教学进程。（ 2）课堂教学：课堂教学是教学过程的重要环节，直接影响课程教学质量与效果。课堂教学应做好：观点正确，概念

4、清楚，论证严密，逻辑性强；注意教学方法的改革和现代教学手段的应用； 注意启发学生思维、 培养学生能力， 调动学生学习积极性；语言清晰流畅，板书清楚得当；教学中能结合教学内容与学生实际，贯彻教书育人原则。课堂讨论课、习题课应做到：讨论课要充分准备，精心组织，鼓励学生积极发言，注意弘扬具有创新精神的见解， 引导学生正确理解课堂内容， 及时小结； 习题课应有明确的教学要求；着重解决学生的运用知识解决实际问题的能力。（ 3）作业：保证一定的作业量，同时避免学生负担过重，一般在3 题左右为宜。教师批改作业要及时、认真。（ 4）课外辅导：辅导、答疑是与学生自学紧密结合的辅助环节。教师应尽可能耐心，有效地解

5、决学生学习过程中的疑虑，困难，应尽可能创造机会让学生提出问题并予以解决。期中、 期末考试前， 应安排时间进行答疑，对个别学习基础差的学生应主动关心，予以单独辅导。（ 5）课程教学纪律：教师上课应做到不迟到，不早退，不拖堂，不误课，不中途离开教室，不随意更动教学进度。教师不得随意停课，调课，增减课时或提前结束课程。因故必须调课的需经院领导同意。7课程考核方法与要求1）课堂内考察（听讲，参与和思考）与课堂外考察（课外作业），或期中考试占30%；2）期末考核占70%；8其他有关说明各章节必须安排适当的习题课与复习课。二、教学内容纲要第一章曲线论（ 12）1主要内容（1）向量代数复习（补充） ，平面曲

6、线的参数方程（2 学时）（2）空间曲线的参数方程及曲线的性质（4 学时）（3）空间曲线在一点的活动标架（2 学时）（4）空间曲线的基本公式与基本定理（4 学时）2基本要求（ 1）正确理解向量的概念，熟练掌握向量代数的运算。（ 2）正确理解向量函数、向量函数的极限、向量函数的连续性、向量函数的微商、向量函数的泰勒公式、向量函数的积分的概念，熟练掌握向量函数的运算。（ 3）正确理解曲线、光滑曲线、曲线的正常点、曲线的切线和法面、曲线的弧长、自然参数的概念，会求曲线在一点的切线和法面、曲线的弧长、自然参数的运算。（ 4）正确理解空间曲线、 空间曲线的密切平面、空间曲线的基本三棱形、空间曲线的曲率、挠

7、率的概念。 熟练掌握空间曲线的密切平面、 空间曲线的基本三棱形、 空间曲线的曲率和挠率的运算及几何特征、 熟记伏雷内公式并能灵活运用。 了解空间曲线在一点邻近的结构和空间曲线论的基本定理。 正确理解曲线的曲率半径、 曲率中心及曲率圆的概念。 了解空间曲线在正交变换下所得到曲线的一些几何性质。2教学指导（ 1）微分几何是一门综合运用的课程，用到较多的知识，要求学生有较扎实的基础。（ 2）这一章的重点是掌握空间曲线的基本三棱形、空间曲线的曲率、挠率的概念。（ 3）在教学中适当地与平面内容作对比。第二章曲面论（ 28）1主要内容（ 1）曲面的的参数方程及切平面和法线（4 学时）（ 2）曲面的第一基本

8、形式及有关性质（8 学时）（ 3）曲面的第二基本形式及有关性质（8 学时）（ 4）可展曲面及单参数平面族的包络面（4 学时）（ 5）曲面的基本公式及基本定理（2 学时）（ 6）习预课（ 2 学时）2基本要求（1）正确理解简单曲面及其参数表示、光滑曲面 、曲面的切平面和法线、 曲面上曲线族和曲线网的概念，熟练掌握曲面在一点的切平面和法线的方程。（ 2）正确理解曲面的第一基本形式、 曲面上曲线的弧长、 曲面上两方向的交角、正交曲线族和正交轨线、 曲面域的面积、 等距变换、 保角变换的概念。 熟练掌握曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长、曲面上两方向的交角、正交曲线族和正交轨线、曲面域的面积的运算。能判定等距变换和保角变换。（ 3）正确理解曲面在正交变换下的新曲面的性质，掌握正交变换下的不变量， 运动不变量。（ 4）掌握曲面在双参数变换下的不变量。（ 5）正确理解直纹面和可展曲面的概念，熟练掌握直纹面和可展曲面的判定。（ 6）会求单参数平面族的包络面的参数方法和一般方程，并会判断这些包络面是什么曲