一元二次方程讲义绝对经典实用

1、一元二次方程基础知识1、 一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax2bxc0(a0)的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中ax2,bx,c分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数。._22_2.如：2x4x10满足一般形式axbxc0(a0),2x,4x,1分别是二次项、一次项和常数项，2,4分别是二次项和一次项系数。注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。2、 一元二次方程求根方法(1)直接开平方法形如x2m(m0)的方程都可以用开平方的方法

2、写成x布，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。(2)配方法2通过配方将原方程转化为(xn)m(m0)的方程，再用直接开平方法求解。配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。(3)公式法求根公式：方程ax2bxc0(a0)的求根公式b 一 b2 4ac2a(b24ac 0)初中数学:.第7页共34 页.:步骤:21)把方程整理为一般形式:axbxc0(a0),确定a、b、c。2)计算式子b24ac的值。223)当b4ac0时，把a、b和b4ac的值代入求根公式计算，

3、就可以求出方程的解。(4)因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到/ b 2(x )2a,2b 4ac2,24a ,显然只有当b 4ac 0时，才能直接开平方得:2ab24ac4a2也就是说，一元二次方程2ax bx c 0(a 0)只有当系数a、b、c满足条件,2b 4ac 0时才有,2实数根.这里b4ac叫做一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系2在实数

4、范围内，一元二次方程ax ， 2.,、否有实数根)由b 4ac确定.bxc 0(a 0)的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况(是2设一元二次方程为axbx c 0(a 0),其根的判别式为:.2b 4ac 贝J若a, b, c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根;b.b4ac0方程式bxc0(a0)有两个不相等的实数根922ab0方程"bxc0(a0)有两个相等的实数根x1x2石.20方程axbxc0(a0)没有实数根.若为完全平方式，同时b加24ac是2a的整数倍,则方程的根为整数根.说明：用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方

5、程有两个不相等的实数根时，0;有两个相等的实数根时，0;没有实数根时，0.2在解一兀二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式b4ac判定方程的根的情况(有两个2不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根).当b4ac0时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根.当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：运用判别式，判定方程实数根的个数；利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；(4)借助判别式，运用一元二次

6、方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.6、韦达定理bc2xix2-xx2一如果axbxc0(a0)的两根是x1,x2,则a,a,(隐含的条件：0)2特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x1,x2是方程xpxq0的两个根，则xix2pxix2q7、韦达定理的逆定理以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2(为x2)xx1x20.V VXi X2一般地，如果有两个数X1, X2满足 两个根.bc X1X2_ 2a , a ,那么X , X2必定是aX bX c 0(a °)的8、韦达定理与根的符号关系2在 b 4ac>0的条件下，我们有如下结

7、论:c 0当a 时，方程的两根必一正一负.则此方程的正根小于负根的绝对值.c 0当a 时，方程的两根同正或同负.的两根均为负根.,则此方程的正根不小于负根的绝对值;则此方程的两根均为正根；若若Xi, (Xi (Xi (XiX2 是 aXm)(X2m)%m)%特殊地：当mbXm)m)m)般c 0(a0且(为0且(为0)m, m)m)的两根(其中XiX2),且m为实数，当0时，一般地:X2(X2(X2m) 0m) 0Xim, mx2mx2 m0时，上述就转化为2 aXbX c0(a0)有两异根、两正根、两负根的条件.其他有用结论：若有理系数一元二次方程有一根a而，则必有一根a而(a,b为有理数)2

8、若ac0,则方程aXbxc0(a0)必有实数根.2若ac0,方程axbxc0(a0)不一定有实数根.2若abC0,则axbxc0(a0)必有一根X1.2若abc0,则axbxc0(a0)必有一根x1.9、韦达定理的应用已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的.一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题

9、对于一元二次方程ax2bxc0(a0)的实根情况，可以用判别式b24ac来判别，但是对于个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质.方程有整数根的条件：如果一元二次方程ax2bxc0(a0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：2b4ac为完全平方数；bJb24ac2ak或bJb24ac2ak,其中k为整数.以上两个条件必须同时满足，缺一不可.另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中a、b、c均为有理数）11、一元二次方程的应用1 .求代数式的值；2 .可化为一元二次方程的分

10、式方程。步骤：1）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。2）解一元二次方程。3）检验3 .列方程解应用题步骤：审、设、歹U、解、验、答板块一一元二次方程的定义夯实基础例1把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。（1）2y2y7212x2x0(3) (x5)(x5)0(4) (5y1)(2y1)y25(5) (m21)x2nmx0(x是未知数)例2已知关于x的方程（a2）x2axx21是一元二次方程，求a的取值范围.例3若一元二次方程（m2）x23（m215）xm240的常数项为零，则m的值为能力提升例4关于x的方程k(2 k 1)x1是什么方程

11、？它的各项系数分别是什么?例5已知方程2xaxbx240是关于x的一元二次方程，求a、b的值.例6若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A.rfMB.m>0C.m>0且mFMD.m为任何实数培优训练例7m为何值时，关于x的方程（mV2）xm（m3）x4m是一元二次方程.例8已知方程2xabxabab0是关于x的一元二次方程，求a、b的值.例9关于x的方程（m+3）xm2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为解：二,该方程为一元二次方程m2-7=2解得m=±3当m=-3时m+3=0,则方程的二次项系数是0,不符合题意所以m=3

12、.例10（2000?兰州）关于x的方程（m2-m-2）x2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（）A.-1B.2C.-1或m2D.-1且m2课后练习1、m为何值时，关于x的方程（m72）xm（m3）x4m是一元二次方程.222、已知关于x的万程（a2）xaxx1是一兀二次万程，求a的取值氾围.22.3、已知关于x的方程（xa）（ax2）是一兀二次方程，求a的取值范围.4、若x2ab3xab10是关于x的一元二次方程，求a、b的值.5、若一兀二次方程_2_22(m 2)x3(m15)x m 40的常数项为零，则 m的值为一元二次方程的解与解法夯实基础例1、（2012?鄂尔多斯）若a是方程2x2-

13、x-3=0的一个解，则6a2-3a的值为（）A.3B.-3C.9D.-9解：若a是方程2x2-x-3=0的一个根，则有2a2-a-3=0,变形得，2a2-a=3,故6a2-3a=3超=9.故选C.例2（2011福尔滨）若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解.则m的值是（）A.6B.5C.2D.-6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0,解得m=6.故选A例3用直接开平方法解下列方程(1)3x290(2)(x2)230(3)2(3x1)21822(3x1)08(4)522x6x9(52x)(6)J3(x1)227例4先配方，再开平方解下列方程(1)x24x40(2)2y2y1

14、02(3)2x37x(4)x21x10(5)3y2123y632(6)x2x50例5用公式法解下列方程(1)x23x202.22x12x(3)(x1)3x(x 5)(x 7) 1 x(6x 1) 4x 3 2(2x -)(6) x x 1 012初中数学:.第9页共34页.:例6用因式分解法解卜列方程2(1)2x3x3022x45x4500(3)t22匹20(4)(2而x22(731)x60.2(5)x3a24ax2a1-2(6)9(x2)216(x1)0能力提升例7（2011鸡鲁木齐）关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0,则实数a的值为（A）A.-1B.0C.1

15、D.-1或1例8关于x的一元二次方程（a-1）x2+ax+a2-1=0的一个根是0,则a值为（C）A.1B.0C.-1D.土例9方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0（a，c）有相同的根&则6=潞：解：；方程工、注+b二。与工入门+0)(ac)部目同的根山'也同时羯足方程/*一朴二。和乂4数4仁0(ac),fp.ct+acH力=口，Y,4ti-l-ctt+d=O>由-，得(arc)tri卜(1=0,即(a-c)a=-S+d>,息于j-'-a-c井0p故答案为：驻.al例10已知a、B是方程x2-2x-4=0的两个实数根，则a3+80+6的值为(D)A.-

16、1B.2C,22D.30解答；解！方程/214=0露是2生尹至，即*1±如，丫点、隈方程的两个实数根，当值1十相，P=1-何时"adepts，=(1+4S)门=屿)+&J二1&+&舟A8姆$,=301第41-石，归1+用时，二喉区6，二(1-J5)讹(11-45)+5,=1鹏回9+3舟5，=30,故选一例11关于x的一元二次方程(m-2)XmA-2+2mx-1=0的根是其，-_斛答:即根据一元二次方程的定义得-4=0V所2声Q斛得.=2圈则有方程7抖"4K-仁口即(2w+l)%1工厂'='.被答案为；力二靠f一仆I例12解方

17、程：mx2(3m22)x6m0例13解方程mx2(3m22)x6m0培优训练例14（新思维）阅读下面的例题:解方程：x2|x|20.解：（1）当X0时，原方程化为x2x20,解得x12,x21（不合题意，舍去），（2）当x0时，原方程化为x2x20.解得为1,（不合题意，舍去），x22.原方程的根是x12,x22请参照x2x330,则方程的根是，一、一一2例15解万程：x2x240例16（新思维）设x1、x2是方程x2x40的两个实数根，求代数式x；5x2210的值.例17(新思维)先请阅读材料:2ccCC2c为解万程x215X2140,我们可以将X21视为一个整体，然后设X21y,则X21y

18、,原方程化为y25y40,解得W1,y24.当y1时，x211,得xJ2；当y4时，x214,得x75；故原方程的解为xJ2,x2夜，x3&,x点.在解方程的过程中，我们将x21用y替换，先解出关于y的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫做“换元法”，体现了转化的数学思想.请你根据以上的阅读，解下列方程：(1)x4x260；121(2)(x1)2(x1)10.22x1例18已知关于x的万程x2kx20的一个解与方程3的解相同.x1(1)求k的值；(2)求方程x2kx20的另一个解.例19(新思维)若x、y是实数，且mx24xy6y24x4y确定m的最小值.x2yz6222例20（

19、新思维）已知x、y、z为实数，且满足xy2x3,则xyz的最小值为课后练习一、填空：1 .一元二次方程的一般形式是。2 .一元二次方程3x25x6的一般形式是,a=,b=,c=。3 .关于x的方程（m1）x22mx30是一元二次方程，则m的取值范围是。一，2.、24 .关于x的方程（m4）x（m2）xm0是一元二次方程时，m的取值范围是,是一元一次方程时，m的取值范围是。二、下列方程中，是一元二次方程的为（）.2-_/一十仁口2.2.A.x2+3x=0B.2x+y=3C上乂D.x（x2+2）=0三、用两种方法解下列方程：c21c3221.0.5x-02.-x1503.3（1x）145初中数学:

20、.第13页共34 页.:24. x5x605. x2x7226. 3x224x7. x2 2 2x 28.03x9.3(2x1)210.(x1)25x2(11)x2|x|10;_2_22_(2)(x2x)(x2x)20;四、解关于x的方程:2(m1)x(2m1)xm30.五、解关于x的方程:2,2a(xx21)a(x1)(a21)x初中数学:.第# 页 共34 页.:44142222六、（新思维）ABC中，二边BCa,ACb,ABc,且满足abcacbc,试判2定ABC的形状2/2七、(新思维)设X、y为实数，求代数式5x4y8xy2x4的最小值.板块二一元二次方程根的判别式夯实基础例1不解方

21、程，判断下列方程是否有实根，若有，指出相等还是不等。(1)8y(2y5)252x26x1(3)(a21)x22ax(a24)0(x是未知数)例2如果关于x的一元二次方程kx2 6x 90有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是(A. k 1B. k 0C. k 1 且k 0 D. k 1例3已知a , b , c为正数，若二次方程 情况是()A.有两个不相等的正实数根C.有两个不相等的负实数根ax2bxc0有两个实数根，那么方程a2x2b2xc20的根的B.有两个异号的实数根D.不一定有实数根例4若关于x的方程kx26x90有两个不相等的实数根，求k的取值范围。例5求证：当a和c的符号相反时，

22、一元二次方程ax2bxc0一定有两个不等实根。例6已知a、b、c是ABC的三边的长，且方程x22(bc)x(ab)(ca)0有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状.能力提高例7关于x的方程a6x28x60有实数根，则整数a的最大值是例8m为给定的有理数，k为何值时，方程x241mx3m22m4k0的根为有理数?初中数学:.第21 页 共34 页.:例9k为何值时，方程(k1)x2(2k3)x(k3)0有实数根.2例10已知关于x的万程(m 2)x2( m 1)x m 10在下列情况下，分别求m的非负整数值。(1)方程只有一个实数根(2)方程有两个相等的实数根(3)方程有两个不相等的实数根例

23、11(新思维)已知一元二次方程x2(4k2)x4k20有两个不相等的实数根.则k的最大整数值为.例12(新思维)如果一直角三角形的三边长分别为a、b、c,/B=90°,那么，关于x的方程2_2一a(x1)2cxb(x1)0的根的情况是().A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定培优训练例13(新思维)已知关于x的方程x2(k2)x2k0(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边长a=1,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长.2一例14（新思维）已知函数y和ykx1（k0）x（1）若这两个函数的图象都

24、经过点（1,a）,求a和k的值;（2）当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点？例15（新思维）若X0是.次方程ax2bx c0（a 0）的根，则判别式b2 4ac与平方式A. ax。b）2的大小关系是（B.C.D.不能确定x°入2ax°+b2ax°+b2=4aax2+bx+c=0)ax02+bx0ax02+bx0=-c2=4a2x02+4abx0+b2)+b2=-4cM=A故选B例16 （新思维）关于x的方程|2xxiia仅有两个不同的实根，则实数 a的取值范围是（A. a 0B. a 4 C.D. 0 a课后练习1、一元.、一 2_二次方程x 2x 10的根的

25、情况为（A.有两个相等的实数根C.只有一个实数根B .有两个不相等的实数根D.没有实数根2、若关于z的二次方程x2.2x m 0没有实数根，则实数m的取值范围是（A . m<l B . m>-1C.m>lD. m<-1一一、一 23、关于x的万程x px0的两根同为负数，则（A . p>0且q>0B. p>0且q<0C. p<0 且 q>0D. p<0且q<04、不解方程，判断下列各方程根的情况(1) . x2 1 0,2.4x 4x 1 02(3) . 2x 7x 3 05、k为何值时，方程(k1)x22(k7)x2k2

26、0的两个根相等?226、k为何值时，万程x2(2k5)xk20有两个不相等的实根?27、已知a0,bac,判断关于x的方程axbxc0的根的情况，并给出必要的说明.2228、已知关于x的万程x2(m1)xm50有两个不相等的实数根，化简：|1m|vm4m4229、已知关于x的方程(mm)x2mx10有两个不相等的实数根.求m的取值范围；2若m为整数，且m3,a是上述方程的一个根，求代数式2a23a”一13的值.410、在等腰ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a3,b和c是关于x的方程21xmx2m0的两个实数根，求ABC的周长.211、如果关于x的方程xaxbxbxcxcxa0(

27、其中a,b,c均为正数)有两个相等的实数根.证明：以a,b,c为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征.2212、k为何值时，万程2x2k(4k1)x没有实根?板块二一元二次方程的应用夯实基础x+2_+10例1解方程箕-2x2-415个，一共用了 64台，结果提前5例2一个车间加工300个零件，加工完80个以后，改进了操作方法，每天能多加工天完成了任务，求改进操作方法后每天加工的零件的个数。例3某商场运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出天完成销售任务，原计划每天销售多少台？6天可以完成，如果单独工作，甲队比乙队少用5天,例4甲、乙两队学生绿化校园，如果两队合

28、作,问两队单独工作各需多少天完成？例5如图，在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长.例6某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同.(1)该公司2006年盈利多少万元？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？例7某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2 ： 1.在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少米时，蔬菜种

29、植区域的面积是288m2?能力提高例8（新思维）如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2,求道路的宽（部分参考数据：322=1024,522=2704,482=2304）.第三题1例9（新思维）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解曹！斛设区不克水果酬元，（1分）依题意潺方程：C500-20«）（10十公

30、-50009g分）整理，得耳左15x50=0，（5分）熊这个方程，得.二10.伊封）要使顾客得到实惠，应取共5,曾分）管：每千克水果应筹价§元.（8y）例10（新思维）如图，某农户打算建造一个花圃，种植两种不同的花卉供应城镇市场，这时需要用长为24米的篱笆，靠着一面墙（墙的最大可用长度a是10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2.（1）求x与S的函数关系式；（2）若要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）花圃的面积能达到48m2吗？如果能，请求出此时AB的长；如果不能，请说明理由.初中数学:.第21页共34 页.:O：解：(1)诚期的

31、长是沫.(24-3k)x=45,解得力，按、当疥刘力长方形花圃的长为24-3炉151只墙的最大可用长度遑L口”故舍去i当妒明斯夫方形花圃的长为M7配与，符合题意；二NB的长为5%(2)花圃的面以为(M-3i)z=-3(i-4)2f40*二当他长为45宽为1时，有最大面粗，为48平方米.故在固的面很熊达到43黯，此时，好的长为4%例11某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入.因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数.在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一

32、次函数关系.在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价值应是多少元？（第12 ）初中数学:.第33 页 共34 页.:l0k+b=700015k+b=4500解褊k=-500b=12000解答：解；设每周会源人数与票价之同的一次函数关系式为产服+人把门5TOOO）"5,4500）代入广ks-l中得Ay=-500K+12000根据确保用周4万元的门票收入-得«y=4CC00即其(-500x+12000)=40000it二利工+削二口解得班登|巴打=2口，叼=4分期代入产-5口加+1左I0C中得了2口0。，7.=10COC因为控制然观人麴

33、斫以取炉窗，户0第1答：每周应限定参观人数皇2口。人，门票价格位是2。元/人.培优训练二、列方程解应用题1 .从一块长为80cm,宽为60cm的铁片中间截去一个长方形，使剩下的长方形四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？2 .某车间一月份生产零件7000个，三月份生产零件8470个，该车间这两个月生产零件平均每月增长的百分率是多少？板块二一元二次方程根与系数的关系夯实基础例1若方程x24xC0的一个根为273,则方程的另一根为例2已知方程x23x50的两根为xi、X2,则x12x22.一一bc、例3如果xX2是一兀二次方程axbxc0(a0)的两根，那么，x1+X

34、2=,X1X2=一.这aa就是著名的韦达定理.现在我们利用韦达定理解决问题：2,已知m与n是方程2x-6x+3=0的两根。(1)填空：m+n=,mn=-11,计算+的值.mn例4(2011?厦门)已知关于x的方程x例5 (2011?孝感)已知关于 x的方程x22x2n0有两个不相等的实数根(1)求n的取值范围；(2)若nv5,且方程的两个实数根都是整数，求n的值.22(k1)xk0有两个实数根x1，x2(1)求k的取值范围；若x1x2x、21,求k的值.例6(2011?十堰)请阅读下列材料：2问题：已知万程xx10,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.解：设所求方程的根为V,则

35、y=2x所以x2.把xV代入已知方程，得(y)例7 (2011?南充)关于的一兀一次万程x 2x k 1 0的实数解是x1和x2.(1)求k的取值范围；(2)如果x1 x2 x1x2< 1且k为整数，求k的值.110222化简，得y22y40故所求方程为y22y40.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”请用阅读村料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)：(1)已知方程x2x20,求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为：。(2)己知关于x的一元二次方程ax2bxc0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知

36、方程根的倒数.例8(2010?淄博)已知关于x的方程x22(k3)xk24k10.(1)若这个方程有实数根，求k的取值范围；(2)若这个方程有一个根为1,求k的值；22m(3)右以万程x2(k3)xk4k10的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数yx的图象上，求满足条件的m的最小值.能力提升例1已知：关于x的一元二次方程kx2+(2k3)x+k3=0有两个不相等实数根(k<0).(I)用含k的式子表示方程的两实数根;b(II)设方程的两头数根分力1J是x1,x2(其中x1x2)，右一次函数y=(3k1)x+b与反比例函数y=x的图像都经过点(x1,kx2),求一次函数与反比例函数的解

37、析式.例2(昌平)已知：关于x的一元二次方程kx22x2k0.(1)若原方程有实数根，求k的取值范围；(2)设原方程的两个实数根分别为x1,x2.当k取哪些整数时,利用图象，估算关于X , x2均为整数;k的方程x1x2 k例3(顺义)已知：关于x的一元二次方程x2(2m1)xm2m20.(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根x1,x2满足x1x21m2,求m的值.m1kx=x+2的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc必有两个不相等的实数根例4海淀09模).已知：关于x的一元一次方程(CW0)的图象与x轴一个交点的横坐标为1.(1)若方程的根为正整

38、数，求整数k的值；22.(2)求代数式(-c)一b一ab的值；akc(3)求证：关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0例5知关于x的一元二次方程x22axb20,a0,b0.(1)若方程有实数根，试确定a,b之间的大小关系；(2)若a：b=2：J3,且2x1x22,求a,b的值；解：(1)关于x的一元二次方程x22axb20有实数根，A=(2a)24b20,有a2-b2>0,(a+b)(a-b)词.a0,b0,a+b>0,a-b冷.ab.2分(2)a：b=2：33,设a2k,b73k.、22_解关于x的一元二次方程x4kx3k0,得xk或-3k.当xik,X2=-3k时，由2xi

39、X22得k2.一.一一一2当xi3k,x2=-k时，由2xix22得k一(不合题息，舍去).5a4,b2技5分培优训练2一一_2一2一一.2例1设关于x的一次万程(k6k8)x(2k6k4)xk4的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值。例2、已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根,求a的值.例3、设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx-(m1)x+1=0有有理根，求m的值例4、关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.例5、已知关于x的方程x2+(a-6)x+a=0的两根都是

40、整数，求a的值.例6、求所有有理数r,使得方程rx2+(r+1)x+(r-1)=0的所有根是整数.例7、已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根;(2)当m为何整数时，原方程的根也是整数.解：证明：A=(m3)24(m1)2=m6m94m42=m2m52=(m1)4.,、2(m1)>0,2(m1)4>0.无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根.2分(2)解关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0,m3,(m1)242要使原方程的根是整数，必须使得(m1)24是完全平方数22设(m1)4a,则(a

41、m1)(am1)4.a+m1和am1的奇偶性相同,可得2,2.m12am1或m12.am1解得a2,或a2,.5分m1.m1.心八、m3(m1)4,口将m=1代入x,得2X12,X20符合题意.6分当m=1时，原方程的根是整数.7分例8知关于x的方程(k1)x22kxk30.(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；(2)当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程y2(a4k)ya10的整数根(a为正整数)解：(1)A=4k24(k1)(k3)=4k24k28k12=8k121分.方程有两个不相等的实数根，.k10k10,.区IJ0.8k120.3k的取值范围是k且k1.3分2(2)当

42、方程有两个相等的实数根时，=8k12=0.一3八一k-.4分2，关于y的方程为y2(a6)ya10.222'(a6)4(a1)a12a364a4a16a322(a8)232.由a为正整数，当(a8)232是完全平方数时，方程才有可能有整数根.22设(a8)32m(其中m为整数)，32pgq(p、q均为整数)，_22_ (a8)m32,即(a8m)(a8m)32.不妨a殳a8mp,两式相加，得apq16a8mq.2 (a8m)与(a8m)的奇偶性相同， .32可分解为216,48,(2)(16),(4)(8),pq18或12或18或12. .a17或14或1(不合题意，舍去)或2.当a 17时，方程的两根为11 7y当a 14时，方程的两根为 y当a 2时，方程的两根