一类混沌系统的Hopf分岔控制

1、一类混沌系统的Hopf分岔控制摘要：针对带参数的混沌系统，运用Routh-Hurwitz判据及Hopf分岔理论研究了系统存在的动力学行为，设计了状态反馈控制器对系统进行Hopf分岔控制。分析了系统参数及控制参数分别对系统稳定性与Hopf分岔类型的影响，得到了系统稳定及不发生Hopf分岔的系统参数条件。研究结果表明：控制器中的线性控制部分及非线性控制部分均能改变系统的分岔行为，使系统渐近稳定。数值仿真证明控制器设计的有效性。HopfbifurcationcontrolofachaoticsystemCAOYi-fan，WUFeng-Jiao(CollegeofWaterResourcesandA

2、rchitecturalEngineering;NorthwestA&FUniversity，Yangling，Shanxi712100，China)：UsingRouth-Hurwitzcriterionandhopfbifurcationtheory，thedynamicalbehaviorsofachaoticsystemwithparametersareinvestigatedinthispaperandalsoafeedbackcontrollerisdesignedtostabilizethesystem.Theeffectsofthesystemparameter

3、sandcontrollerparametersonthesystemstabilityandhopfbifurcationtypearediscussed，andthenthesystemparameterconditionsthatthesystemisstablewithnohopfbifurcationarefoundout.Theresultsindicatethatbothofthelinearcontrolpartandnonlinearcontrolpartinthecontrollercanchangethebifurcationbehaviorsofthesystem，wh

4、ichmakethesystemasymptoticallystable.Finallythenumericalsimulationprovestheeffectivenessofthecontroller.0引言混沌是非线性系统的一种特殊的运动状态，对初始条件敏感，又具有随机性但又不是真正的或完全的随机运动。往往混沌运动是有害的，人们尽量回避混沌行为，并设法抑制混沌的出现。混沌控制是当前混沌运动研究的一个新领域，是实现混沌应用的关键环节，目前，其控制尚无统一的理论和方法。文献1-8用自适应控制、滑模控制方法实现混沌系统有限时间稳定控制。AbdelkaderSenouci等（2014）10对一

5、混沌系统设计了T-S（Takagi-Sugeno）模糊模型及模糊控制器，进行了仿真验证。JunYoneyama（2013）11提出了一种并行分布补偿算法（PDC）的非线性控制设计，仿真验证了方法可行性。贾培艳等（2013）12 采用并行分布补偿算法，结合线性矩阵不等式给出了一类离散混沌系统稳定的充分条件。YibeiNian等（2012）13提出了基于T-S模糊模型及自适应控制的一类混沌系统控制模型，Henon图验证了方法的实效性。LiYi-Min等（2012）14提出了控制非线性系统的一新的模糊逻辑系统，正确性得到仿真验证。YangLiu等（2011）15，16提出了基于T-S模型的混沌系统脉

6、冲控制方法，并进行了数字模拟验证。如何选择系统参数或控制参数来规避混沌或抑制混沌，上述文献未作探讨，有鉴于此，本文设计状态反馈控制器对系统进行分岔控制，实现系统稳定。首先利用Routh-Hurwitz判据及Hopf分岔理论研究系统动力学行为;然后设计状态反馈控制器对系统进行Hopf分岔控制，避免系统混沌的发生。1系统及动力学特征考察带参数含两个平方项的三维混沌系统17（1）式中，a、b、c、l、h、k为实数，且bcl（h+k）>0。1.1 平衡点及稳定性1.1.1 O（0，0，0）点的稳定性定理1对于a2+4bc>0，若a>0，b<0，c

7、>0，平衡点O（0，0，0）为稳定结点;若a<0，b>0，c<0，平衡点O（0，0，0）为不稳定结点;若a>0，b<0，c<0，平衡点O（0，0，0）为不稳定鞍点。证明系统（1）在O（0，0，0）点的特征方程为（入+c）（入2+a入-ab）=0因a2+4bc>0,则该方程有3个实根入1=-c,。若a>0,b<0,c>0,有入1<0,入2<0,入3<0,故平衡点O（0,0,0）为稳定结点。2&g

8、t;0 ，若a<0,b>0,c<0,有入1>0,入3>0,故平衡点O（0,0,0）为不稳定结点。若a>0,b<0,c<0,有入1>0,入2>0,入3<0,故平衡点O（0,0,0）为不稳定鞍点。证毕。1.1.2 F1与F2点的稳定性因系统（1）关于Z轴对称，只需讨论F1点的稳定性。对于平衡点O（0，0，0）处系统（1）Jacobian矩阵的特征方程（入+c）（入2+a入-ab）=0,不论参数a,b,c如何变化,特征方程只会出现零根，始终无纯虚根

9、，因而平衡点O（0，0，0）处不会发生Hopf分岔，下面讨论其他平衡点的分岔问题。因F1与F2关于Z轴对称，同时系统（1）又是关于Z轴对称的，下面只考虑F1点的Hopf分岔。为方便讨论，作坐标平移变换，使F1点为新坐标系的原点。证明因h=Q0,系统（4）在O1（0,0,0）点的特征方程为入3+（a+c）入2+（ac+bc）入+2abc=0（ 4）设式（5）有一对纯虚根±iB,（3>0,代入（4）式得2abc-（a+c）（32±i（32-ac-bc）3=0（ 5）从（5）式得到B2=ac+bc>06）（a+c）B2-2abc=0（7），满足横切条件

10、。系统（3）在O1（0，0，0）点Hopf分岔。证毕。取a=2，b=6，c=1，h=1，k=1，l=1，满足Hopf分岔条件，系统（1）在平衡点处时间历程呈现增幅振荡，其为亚临界Hopf分岔。取a=1.995，b=2，c=0.0025，h=1，k=1，l=1，同样满足Hopf分岔条件，系统（1）在平衡点F1（0.05，0.05，2）处时间历程呈等幅振荡，为超临界Hopf分岔。2Hopf分岔控制与分析对于系统参数无法远离分岔面式（7）的情形，系统（1）将产生Hopf分岔，下面就a=2、b=6、c=1、h=1、k=1、l=1及a=1.995、b=2、c=0.0025、h=1、k=1、l=1两种情形

11、进行Hopf分岔控制与分析。设计包含线性与非线性两个部分的控制器分别为对受控系统（10）、（11）进行计算机仿真，图1、2分别为系统参数取a=2，b=6，c=1，h=1，k=1，l=1及a=1.995，b=2，c=0.0025，h=1，k=1，l=1时系统的相轨线与时间历程，前者为亚临界Hopf分岔，后者为超临界Hopf分岔。（a）相轨线（k1=-1,k2=0,k3=0）（b）z-t历程（k1=-1，k2=0，k3=0）(c)相轨线(k1=0，k2=-1，k3=0)(d)z-t历程(k1=0，k2=-1，k3=0)(e)相轨线(k1=0,k2=0,k3=-1)(f)z-t历程(k1=0，k2=

12、0，k3=-1)(g)相轨线(k1=1,k2=1,k3=-1)(h)z-t历程(k1=1，k2=1，k3=-1)图1a=2，b=6，c=1，h=1，k=1，l=1的相轨线与时间历程Fig.1Trackofx-zandwaveformfort-zof(11)witha=2，b=6，c=1，h=1，k=1，l=1当k3=0，k1与k2一个不为0，即施加单一线性控制时，如图1(a)、1(b)和1(c)、1(d)所示，系统渐近稳定；当k3<0，即施加非线性控制时，无论有无线性控制，只要k1+k3与k2+k3足够小，如图1(e)、1(f)和1(g)、1(h)所示，系统同样渐近稳定。表明选取

13、线性或非线性控制增益对系统施加控制(8)后，亚临界Hopf分岔行为消失，系统趋于稳定。(a)相轨线(k1=-1,k2=0,k3=0)( b)z-t历程(k1=-1，k2=0，k3=0)(c)相轨线(k1=0，k2=-1，k3=0)( d)z-t历程(k1=0，k2=-1，k3=0)(e)相轨线(k1=0,k2=0,k3=-1)(f)z-t历程(k1=0，k2=0，k3=-1)(g)相轨线(k1=0.5,k2=0.5,k3=-1)h）z-t历程（k1=0.5，k2=0.5，k3=-1）（i）相轨线（k1=255/128，k2=-8，k3=-1）（j）z-t历程（k1=255/128，k2=-8，

14、k3=-1）图2a=1.995，b=2，c=0.0025，h=1，k=1，l=1的相轨线与时间历程Fig.2Trackofx-zandwaveformplotfort-zof（12）witha=1.995，b=2，c=0.0025，h=1，k=1，l=1考察超临界Hopf分岔情形，从图2（a）2（d）可以看出，对于k3=0,系统仅加线性控制，与图1相似，超临界Hopf分岔行为消失，系统渐近稳定，此时k1+k3=-1或k2+k3=-1，k1+k3或k2+k3较小;当k1=0，k2=0，k3=-1时，系统仅加非线性控制，如图2（e）、2（f）所示，同样超临界Hopf分岔行为消失，系统渐近稳定，此时

15、k1+k3=-1，k2+k3=-1，k1+k3均k2+k3较小;当k1=0.5,k2=0.5,k3=-1时，受控系统（11）特征值入=0.8348,-2.3475，0.0077，平衡点为不稳定鞍结点，Hopf分岔未得到控制，如图所示2（g）、2（h），此时k1+k3=-0.5，k2+k3=-0.5，k1+k3与k2+k3都较大;保持k3=-1不变，调整k1和k2，使k1=255/128,k2=-8,止匕时，受控系统（11）特征值入=-0.0116,-0.0006+3.4714i，-0.0006-3.4714i，平衡点渐近稳定，超临界Hopf分岔行为消失，如图2（i）、2（j）所示，此时k2+k3=-9，k2+k3较小。表明施加单一线性、非线性控制增益