全国高考文科数学试题目及答案湖南

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文史类本试题包括选择题、填空题和解答题三局部，共6页时量120分钟，总分值150分.参考公式(1)柱体体积公式 V Sh,其中S为底面面积，h为高.43(2)球的体积公式 V R，其中R为球的半径.3一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设全集 UM 卩“ 1,2,3,4,5, M pCuN 2,4,那么 N ()A 1,2,3B. 1,3,5C. 1,4,5D. 2,3,4答案：B解析：画出韦恩图，可知 N 1,3,5。2.假设a,b R,i为虚数单位，且(a i)i bi，

2、那么A. a 1,b1b. a1,b1C. a 1,b答案：C解析：因(a i)i1 ai b i，根据复数相等的条件可知1 d. a 1,b1a 1,b1 。3. X 1是| X| 1的A .充分不必要条件C.充分必要条件答案：A解析：因X 1| X|E.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件1，反之3| x| 1 X 1 或X 1，不一定有X 1。4 .设图1是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为A. 942 B. 361899C.12 d. 182 2答案：D解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V 4 (-)+3 3 2=-18。3 22正视图侧视图图1男女总

3、计爱好402060不爱好203050总计60501105.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表:附表:n (ad bc)2算得，K2110 (4 30 20 站 7.8(a b)(c d)(a c)(b d)60 50 60 50P(K2 k)0 . 0500 . 0100 . 001k3 . 8416 . 63510. 828参照附表，得到的正确结论是()A .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关“爱好该项运动与性别无关0 . 1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关0 . 1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关B. 有99%以上的把握认为C.

4、在犯错误的概率不超过D. 在犯错误的概率不超过 答案：解析:2K 7.86.635,2而 P(K 6.635)0.010 ,故由独立性检验的意义可知选A.6设双曲线2右1(a0)的渐近线方程为3x 2y0,那么a的值为()A. 4答案:C. 2 D.解析:由双曲线方程可知渐近线方程为-x，故可知a7.曲线ysin xsin x cosx1丄在点M ( ,0)处的切线的斜率为(2答案:解析:cosx(sin xC.cosx) sin x(cos xsin x)(sin xcosx)22，所以(sin x cosx)yL_41。(sincos)22&函数 f (x) ex 1,g(x)x2 4x

5、3,假设有f (a)g(b),那么b的取值范围为A. 2 迈 2.2 B . (21,3D (1,3)4 4答案：B解析：由题可知f (x)11 , g(x)x2 4x3 (x 2)211，假设有f(a) g(b),那么 g(b)(21,1，即 b 4b 31，解得二、填空题：本大题共 8小题，考生作答7小题，每题解分，共青团员 5分，把答案填在 答题卡中对应题号后的横线上.一选做题请考生在第 9，10两题中任选一题作答，如果全做，那么按前一题记分x 2cos9.在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为_为参数.在极坐标系与y v3si n直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以

6、x轴正半轴为极轴中，曲线C2的方程为(cos sin ) 10,那么Ci与C2的交点个数为答案:解析:曲线2C1:T2y-1，3曲线C2 :x y 10,联立方程消y得7x2 8y 80 ,易得10 .某试验范围为10 ,是 .答案：40或60 只填一个也正确 可以将其等分10 5 9080，故有2个交点。解析：有区间长度为 80,数法选取试点：x1x210 90 6040，可以是40或二必做题11 .假设执90，假设用分数法进行由对称性可知,60。11-16 题行如图2所示为1,X22压 4n 8,那么于 .15答案：154由框图功X2X3X4能可知，15。412f (x)为8段，利用分10

7、) 60，第二次试点的框图，输出的数出的数等g(x)f(x)9,g(2)3,那么 f(2)4次优选试验，那么第二次试点可以入等于图2答案:解析:g( 2)f( 2)93,那么 f ( 2)6，f(2) f( 2) 6。又f x为奇函数，所以13设向量a,b满足|a | 2“5,b 2,1,且2与b的方向相反，贝U a的坐标为答案：(4, 2)解析：由题 ibi.5，所以 a 2b ( 4,2).y x14.设m 1,在约束条件y mx下，目标函数 z x 5y的最大值为 4，贝V m的值x y 1为 .答案：31 m解析：画出可行域，可知 z x 5y在点(，)取最大值为4，解得m 3。1 m

8、 1 m15圆 C: x2 y212,直线 l :4x 3y 25.(1 )圆C的圆心到直线I的距离为 .(2)圆C上任意一点 A到直线l的距离小于2的概率为 .1答案：5, 1625解析：(1)由点到直线的距离公式可得d 上55 ;(2 )由(1)可知圆心到直线的距离为 5,要使圆上点到直线的距离小于2,即l1 :4x 3y 15与圆相交所得劣弧上，由半径为故所求概率为P 3 丄.2、3，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为一，32 616、给定kN*，设函数f : N* *N满足：对于任意大于k的正整数n， f (n) n k(1 )设 k 1，那么其中一个函数f在n1处的函数值为;(

9、2)设k 4，且当n 4时，2 f (n) 3，那么不同的函数 f的个数为。答案：(1) a(a为正整数)，(2) 16解析：(1)由题可知f(n) N*，而k 1时，n 1那么f(n) n 1 N*，故只须f(1) N*， 故f (1) a(a为正整数)。(2)由题可知 k 4， n 4 那么 f (n) n 4 N*，而 n 4 时，2 f (n)3 即f(n) 2,3，即n 1,2,3,4，f(n) 2,3，由乘法原理可知，不同的函数f的个数为24 16。三、解答题：本大题共 6小题，共75分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.本小题总分值12分在 ABC中，角A, B,C所

10、对的边分别为a,b,c且满足csin A acosC.I求角C的大小；II 求 J3sin A cosB 的最大值，并求取得最大值时角代B的大小.解析：I由正弦定理得sinCsin A sin AcosC.因为 0 A ,所以 sin A 0从而 sinC cosC.又 cosC 0,所以 tanC 1,那么C 43II 由I知BA.于是4.3 si nA cosB . 3si nA cos A4.3si nA cos A 2si n A.6u311N A才匸A 右,从而当A - -,即A 3时,466126232sin(A )取最大值2.综上所述，.3 si nA cosB J的最大值为2,

11、此时A -护512.18.此题总分值12分某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y单位:万千瓦时与该河上游在六月份的降雨量X 单位：毫米有关.据统计，当X=7C时，Y=460;X每增加10, Y增加5;近 20年X的值为：140, 110, 160, 70,200,160,140,160,220,200, 110,160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.(I)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率142202020II 假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并

12、将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时的概率.解：I在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率丄3_7_22202020202020P发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时II =PY530=PX210 =1323=20 20 20故今年六月份该水力发电站的发电量低于 为A.1019.此题总分值12分490 万千瓦时或超过530 万千瓦时的概率如图3，在圆锥PO中，POO的直径 AB 2,点C在 AB上,且 CAB

13、=30,D为 AC中占I 八、I证明：AC 平面POD;II求直线和平面 PAC所成角的正弦值. 解析：I因为OA OC, D是AC的中点，所以AC OD.PO 底面Qo, AC 底面0O,所以ACOD.PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC 平面POD;II 由I知，AC 平面POD,又AC平面PAC,所以平面POD 平面PAC,在平面POD中，过O作OH PD于H,那么OH平面PAC,连结CH，那么CH是OC在平面PPAC上的射影，所以OCH是直线OC和平面PAC所成的角.在RtOHC中在 RtPOD中,OH二3,sin OCHOHOC20.(此题总分值13分)某企业在第1年初购置一台

14、价值为 120万元的设备M , M的价值在使用过程中逐年减少， 从第2年到第6年，每年初 M的价值比上年初减少 10万元；从第7年开始，每年初 M的 价值为上年初的75% .(I)求第n年初M的价值an的表达式；(II )设An a1 a2川an ,假设An大于80万元，那么M继续使用，否那么须在第n年初对 nM更新，证明：须在第 9年初对M更新.解析：(I)当n 6时，数列an是首项为120,公差为 10的等差数列.an 120 10( n 1)130 10n;6时，数列an是以a6为首项，公比为34为等比数列，又a670，所以an120 10( n 1) 130 10n,n6因此，第n年初

15、，M的价值an的表达式为an3 n 6an 70 (-)n6,n 74(II)设Sn表示数列an的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1n 6时，Sn 120n 5n(n1),An120 5(n 1)125 5n；当n7时，qSj (a7 a8| an)57070 -44 1 (4)n6780 210(|)n6780 210(3)n6An4因为an是递减数列，所以An是递减数列，又780 210(4)8682 47 80, A64780 210吧80,所以须在第9年初对M更新.21.平面内一动点 P到点F (1 , 0)的距离与点P到y轴的距离的等等于1.(I)求动点P的轨迹C的方程;(I

16、I)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线-J，设h与轨迹C相交于点A,B , I2与轨迹C相交于点D,E，求AD ?EB的最小值.解析：(I)设动点P的坐标为(x,y)，由题意为.(x 1)2 y2 |x| 1.化简得y22x 2|x|,当 x 0时,y2 4x;当 x 0时,y=0.、2所以动点P的轨迹C的方程为，y 4x(x 0)和y=0( x 0).(II )由题意知，直线1,的斜率存在且不为 0，设为k,那么h的方程为y k(x 1).由 y 2k(x 1),得 k2x2 (2 k2 4)x k20.y 4x设A(xyj, Bgy),那么是上述方程的两个实根，于是4X1X222,X21

17、.k1因为|1|2，所以|2的斜率为-2设 D(X3, y3), B(x4, y4),那么同理可得 X3 X42 4k ,X3X4ad?E1 (AF一AF(ef af|fb fd|Ef fdfb|AF|FB| |fD(|E?|故(X11)(X21)41 (2 &) 11)(X4 1)188 4( k216当且仅当k222.(本小题设函数f(x)2即k213 分)1x -x1时，D ? wB取最小值16.a In x(a R).k(I)讨论f (x)的单调性;(II) 假设 f (X)有两个极值点X1和X2，记过点A(X1, f(xj), B(X2, f(X2)的直线的斜率为k ,问：是否存在a

18、，使得k 2 a?假设存在，求出a的值，假设不存在，请说明理由.解析：(I) f (x)的定义域为(0,).f(x) 1 丄-x x2 .x ax 12x令g(x) x2 ax 1,其判别式4.(1)当|a| 2时电0, f (x) 0,故f(x )在(0,)上单调递增. 当a 2时屯0,g(x)=0 的两根都小于0,在(0,)上，f (x)0，故f (x)在(0,)上单调递增.a a24a42,X22x2时，f(x)0 ; 当当Xx2时，f(x) 0 ,)上单调递增，在(X1,X2)上单调递减.当a 2时0,g(x)=0的两根为人 当 0 x x1 时，f (x) 0 ;当 x, x故 f (x)分别在(0, x1),( x