全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

1、2021年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、选择题18小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.1 当 x > 0时，f x 二x-sinax与 g x=x2ln 1-bx 等价无穷小，那么11Aa=1,b.Bia=1,b6611Ca = -1,b.iDa = -1,bh66(2)如图，正方形(x,y j|x| <1, y <0被其对角线划分为四个区域 Dk k =1,2,3,4 , lk 二 ycosxdxdy，Dk那么 maxm .；二()A I1.B I2.C I3.3设函数y = f x在区间-1,

2、3 上的图形为:f(x)I/7-2-123x那么函数F x = p f t dt的图形为 f(x)f(x)1(4)(5)(6)设有两个数列：an ?,、bn ，假设lim an = 0，0O0A当a bn收敛时，7 anbn收敛.n吕n仝C 当无| bn收敛时，送a：b2收敛.设冷，2,3是3维向量空间R3的一组基,>1 *2,2那么B当& bn发散时,n吕D当bn发散时,那么由基n =4& anbn发散.n -4二a2bn发散.n =411:4,2,3到基23广101、12 02 20(B)02 3e 33丿03?* 11r 111、246222111111(D)246

3、444111111< 246666B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A, B的伴随矩阵，假设*3, >3 *1的过渡矩阵为)CA = 2, B = 3，那么分块A设A,的伴随矩阵为O 3BO 2B(A)*(B)k3A*O<2AO 丿f _* 、f _* 、O 3AO 2A(C )*(D)*<2BO 丿<3BO 丿矩阵'O<B，其中G x为标准正r x _ i (7)设随机变量 X的分布函数为 F (x )=0.3(x )+0.7态分布函数，那么EX二()A 0.B 0.3.C 0.7.D 1.(8) 设随机变量 X与Y相互独立，且 X服从标准正态分布N

4、 0,1 , Y的概率分布为1pfY =0.；=PfY =1，记Fz z为随机变量Z二XY的分布函数，贝y函数Fz z的间断点个数为()A 0.B 1.C 2.D 3.二、填空题(9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.)(9) 设函数f u,v具有二阶连续偏导数，z = f x,xy，那么.一二。£cy(10) 假设二阶常系数线性齐次微分方程y ： ay ' by =0的通解为y二C1 C2x ex，那么非齐次方程y ： ayby二x满足条件y 0 = 2, y 0二0的解为y =。(11) 曲线 L:y =x2 0 乞，那么Xds 二。(12) 设

5、;.；-x, y, z x2 y2 z2 _仁，那么 ii iz2dxdydz =。Q(13) 假设3维列向量:-/满足=2，其中：T为的转置，那么矩阵1 的非零特征值为。(14) 设XX2,1H, Xm为来自二项分布总体 B n, p的简单随机样本，X和S2分别为样本均值和样本方差。假设 X kS2为np2的无偏估计量，那么 k =。三、解答题(15- 23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (此题总分值9分)求二元函数 f(x, y)=x2 2 y2y lny的极值。(16) (此题总分值9分)设an为曲线y =xn与y二xn

6、 1 n=1,2,.所围成区域的面积，记QOQOan, S2 a2n_4，求 S 与 S2 的值。n證n 32 2(17) (此题总分值11分)椭球面S1是椭圆x y1绕x轴旋转而成，圆锥面 S,是过点434,0且与椭圆相切的直线绕x轴旋转而成。(I)求S)及S,的方程(n)求S与§之间的立体体积。(18)(此题总分值11分)(I)证明拉格朗日中值定理：假设函数 f x在la,b上连续，在(a,b)可导，那么存在-i：a,b，使得 f b - f a 二 f b-a(n)证明：假设函数f x在x=0处连续，在0门0内可导，且匕mfx)= a 那么 f；(0)存在,(19)(此题总分值

7、10分)计算曲面积分I-1'xdydz ydzdx zdxdy，其中是曲面3x2y2z2 2(20)2x2 2y2 z2 = 4的外侧。(此题总分值11 分)-1-1-1一2丿(I)求满足A2 3 = 1的所有向量(n)对中的任意向量八；证明无关。(21)(此题总分值11分)设二次型 f x1,x?,x3 =a# ax；亠a-1 迂 2%-2x2x3(I)求二次型 f的矩阵的所有特征值;(n)假设二次型 f的标准形为y1 y2，求a的值。(此题总分值11分)袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次， 每次取一球,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。(I)求 px =1 Z =0；(n)求二维随机变量 X