第二讲三角形全等之倍长中线

1、三角形全等之倍长中线（讲义）一、知识点睛1辅助线的定义：为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线辅助线通常画成虚线2辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况3辅助线的作用：把分散的条件转为集中；把复杂的图形转为基本图形4添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试5“三角形全等”辅助线：见中线要_，_之后_6倍长中线的作法：（1） 延长AD到E，使DE=AD, 连接BE 延长MD到E，使DE=MD，连接CE（3） 延长FE交BC的延长线于点G二、精讲精练1. 如图，AD为ABC的中线求证：AB+AC >2

2、AD2. 如图，在ABC中，AD平分BAC，且BD=CD求证：AB=AC3. 如图，CB是AEC的中线，CD是ABC的中线，且AC=AB求证：CE=2CD；CB平分DCE 4. 如图，在ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F求证：AEF=EAF5. 如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF求证：AD为ABC的角平分线6. 如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，GEEF求证：GF=AG+BF7. 如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E，FEB

3、为等腰直角三角形，FEB=90°，连接FD，取FD的中点G，连接EG，CG求证：EG=CG且EGCG三、回顾与思考_【参考答案】【知识点睛】见中线要倍长，倍长之后证全等【精讲精练】1证明略（提示：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，证明BEDCAD）2证明略（提示：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，证明BEDCAD）3证明略（提示：延长CD到点F，使DF=CD，连接BF，证明BDFADC，CBECBF）4证明略（提示：延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，证明ADCMDB） 5证明略（提示：延长EF到点M，使EM=EF，连接BM，证明CFEBME）6证明略（提示：延长GE

4、交CB延长线于点M，证明AEGBEM）7证明略（提示：延长EG交CD延长线于点M，证明FGEDGM，再证明三角形EGC是等腰直角三角形）三角形全等之倍长中线每日一题（4.15-4.19）1. 已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD+BC，E是CD的中点求证：AEBE2. 已知：如图，在ABC中，D为BC边中点，BDA=BAD，E为BD中点，连接AE求证：C=BAE3. 已知：如图，ABC与BDE均为等腰直角三角形，BAAC，EDBD，垂足分别为点A，点D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由4. 已知：如图，D为线段AB的中点，在A

5、B上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰RtACE与等腰RtBCF，AEC=CFB=90°，连接DE，DF，EF求证：DEF为等腰直角三角形5. 已知：如图，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAE=EAF，AF与DC的延长线相交于点F试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由【参考答案】1. 证明：延长AE交BC的延长线于点F.ADBCD=DCF，DAE=FE是CD的中点DE=CE在ADE和FCE中ADEFCE（AAS）AD=FC，AE=FEAB=AD+BCAB=CF+BC=BF在ABE和FBE中ABEFBE（SSS）A

6、BE=FBE=90°即AEBE2. 证明：延长AE到F，使得EF=AE，连接DF.E为BD中点BE=ED在ABE和FDE中ABEFDE（SAS）AB=FD，BAF=F，B=FDEBDA=BADBD=ABD为BC边中点CD=BD=AB=FDBDA=BADADF=BDA+FDE，ADC=B+BAD即ADF=ADC在FAD和CAD中FADCAD（SAS）F=CC=BAE3. 解：AFDF，AF=DF，理由如下：延长DF交AC于点P.BAAC，EDBDBAC=EDA=90°DEACDEC=ECAF为EC中点EF=FC在EDF和CPF中EDFCPF（AAS）DE=CP，DF=PFAB

7、C与BDE均为等腰直角三角形AB=AC，DE=BDAB-BD=AB-DE=AC -CP即AD=AP在DAF和PAF中DAFPAF（SSS）DFA=PFA=90°，DAF=PAF=45°AFDF，AF=DF4. 证明：延长ED到点G，使得DG=DE，连接BG，FGD为线段AB的中点AD=BD在EDA和GDB中EDAGDB（SAS）EA=GB，A=GBDACE与BCF是等腰直角三角形AE=CE=BG，CF=FB，A=ECA=FCB=FBC=45°ECF=90°，FBG=FBD+GBD=90°在ECF和GBF中ECFGBF（SAS）EF=GF，EFC

8、=GFBCFB=CFG+GFB=90°EFG=EFC+CFG=90°在EFD和GFD中，EFDGFD（SSS）EDF=GDF=90°，EFD=GFD=45°ED=DFDEF为等腰直角三角形5. 解：AB=AF+CF，理由如下：延长AE交DF的延长线于点G.E为BC边的中点BE=CEABDCB=BCG，BAG=G在ABE和GCE中ABEGCE（AAS）AB=GCBAE=EAFG=EAFAF=GFGC= GF+FCAB=AF+CF三角形全等之倍长中线（随堂测试）1. 在ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是_2. 已知：如图，在ABC中，AB

9、AC，D，E在BC上，且DE=EC，过D作DFBA交AE于点F，DF=AC求证：AE平分BAC【参考答案】13<AB<132证明略（提示：延长AE到点M，使EM=AE，连接DM，证明DMECAE）三角形全等之倍长中线（作业）3. 已知：如图，在ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_4. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AFAB，若AD=2.7，BE=AE=5，求CE的长5. 已知：如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形求证：EF=2AD6. 如图，在ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G求证：BF=CG7. 如图，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EFAB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG，CG求证：EG=CG且EGCG8. 已知：如图，ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，连接CD，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F求证：BCFCAE【参考答案】