第十二章数系的扩充与复数的引入（教案）

1、§12.1 复数的概念与简单运算 教学目的：1了解引进复数的必要性，了解人类历史上对数系得认识的发展过程；2了解数学内部解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；3理解复数的有关概念以及符号表示；4掌握复数的代数表示形式及其有关概念；5.理解并掌握复数四则运算法则和它们的几何意义教学重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念复数四则运算法则。教学难点：复数概念的理解复数运算律的理解教学过程：一、知识梳理1提出复数的概念 根据虚数单位的第（2）条性质，可以与实数b相乘，再与实数a相加由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成这样

2、，数的范围又扩充了，出现了形如 的数，我们把它们叫做复数全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有：N*NZQRC 2复数的运算 复数的四则运算表明，复数集仍然满足加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律就是说，运算律这种优良的“通性”，在复数集中仍能保持；复数四则运算按多项式来进行的这种“通法”，现在也仍能继承所以说，复数的四则运算维持了“通性通法” 复数的加法、减法运算还可以通过向量加法、减法的平行四边形成三角形法则来进行，这不仅又一次看到了向量这一工具的功能，也把复数、复数的坐标表示及其加（减）运算，与向量、向量的坐标表示及其加（减）运算完美地统一

3、了起来3.关于共轭复数的概念设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数（不能认为与或是共轭复数）教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和5也是互为共轭复数当时，与互为共轭虚数可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行二、典型例题例1：计算解：，原式例2：根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式解：设复平面内的任意两点Z1，Z2分别表示复数z1，z2，那么Z1Z2即复数z2-z1的模如果用d表示点Z1，Z2之间的距离，那么d=|z2-z1|例3 ：在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么（1）|z-1-i|=|z+2+i|；方程左式可以看成

4、|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模几何意义是是动点Z与定点（1，1）间的距离方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线（2）|z+i|+|z-i|=4；方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹满足方程的动点轨迹是椭圆（3）|z+2|-|z-2|=1这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到

5、两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线是双曲线右支由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程使有些曲线方程形式变得更为简捷且反映曲线的本质特征例4 ：设动点Z与复数z=+i对应，定点P与复数p=+i对应求（1）复平面内圆的方程；解：设定点P为圆心，r为半径，如图由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r（2）复平面内满足不等式|z-p|r（rR+）的点Z的集合是什么图形？解：复平面内满足不等式|z-p|r（rR+）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某