第十章解析几何（教案）

1、§10.1 坐标法及其主要公式教学目的：1.理解直线的倾斜角、斜率的概念；2掌握过两点的直线的斜率公式；3.掌握点到直线的距离公式及两平行线间的距离公式。教学重点:直线的斜率教学难点:直线的倾斜角与斜率之间的关系。教学过程：一、 知识梳理1、直线的倾斜角：直线向上的方向和x轴正方向所成的最小正角，其范围是。2、直线的斜率：不是的倾斜角的正切值，即。两点式斜率公式：若直线经过两点，则该直线的斜率为。3、直线都有倾斜角，但不一定有斜率（当直线与x轴垂直时，斜率不存在），它们的关系为，即k是在和上的增函数。4.距离（1）两点间距离：若，则特别地：轴，则、轴，则。（2）平行线间距离：若， 则

2、：。注意点：x，y对应项系数应相等。（3）点到直线的距离：，则P到l的距离为：二、典型例题例1:（1995全国，5）图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2答案：D解析：直线l1的倾斜角1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角2、3均为锐角，且23，所以k2k30，因此k2k3k1，故应选D。点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。例2:（1）（05年江西高考）设实数x，y满足，则的最大值是_。（2）（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分

3、别过点A、B作y轴的平行线与函数ylog2x的图象交于C、D两点。（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上。（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标。解析：（1）如图，实数x，y满足的区域为图中阴影部分（包括边界），而表示点（x，y）与原点连线的斜率，则直线AO的斜率最大，其中A点坐标为，此时，所以的最大值是。点评：本题还可以设，则，斜率k的最大值即为的最大值，但求解颇费周折。（2）证明：设A、B的横坐标分别为x1，x2，由题设知x11，x21，点A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）.因为A、B在过点O的直线上，所以，又点C、D的坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x

4、2）由于log2x13log8x1，log2x23log8x2，所以OC的斜率和OD的斜率分别为。由此得kOCkOD，即O、C、D在同一条直线上。由BC平行于x轴，有log2x1log8x2，解得 x2x13将其代入，得x13log8x13x1log8x1.由于x11，知log8x10，故x133x1，x1，于是点A的坐标为（，log8）.点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力。例3:（2002全国文，21）已知点P到两个定点M（1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1求直线PN的方程。解析：设点P的坐标为（

5、x，y），由题设有，即。整理得 x2+y26x+1=0 因为点N到PM的距离为1，|M|2，所以PMN30°，直线PM的斜率为±，直线PM的方程为y=±（x1） 将式代入式整理得x24x10。解得x2，x2。代入式得点P的坐标为（2，1）或（2，1）；（2，1）或（2，1）。直线PN的方程为y=x1或y=x+1。点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维的目的性、逻辑性

6、、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。§10.2 直线方程及其应用教学目的：1、掌握直线方程的几种形式，能根据条件求出直线的方程；2、掌握两条直线平行与垂直的条件；能根据直线方程判定两条直线的位置关系；会求两条相交直线的交点；3、掌握点到直线的距离公式教学重点：直线的斜率、截距;直线方程的几种形式；两条直线的位置关系的判定；教学难点：对两条直线的位置关系的理解。教学过程：一、 知识梳理1.直线方程的几种形式直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。名称方程说明适

7、用条件斜截式y=kx+bk斜率b纵截距倾斜角为90°的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0，y0)直线上已知点，k斜率倾斜角为90°的直线不能用此式两点式=(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1a直线的横截距b直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=0，分别为斜率、横截距和纵截距A、B不能同时为零直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。注意：使用直线方程时要

8、注意方程的限制条件。2直线l1与直线l2的的平行与垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2 k1=k2；l1l2 k1k2=1。（2）若若A1、A2、B1、B2都不为零，l1/l2；l1l2 A1A2+B1B2=0；l1与l2相交；l1与l2重合；注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。二、典型例题例1：已知直线的点斜式方程为，求该直线另外三种特殊形式的方程。解析：（1）将移项、展开括号后合并，即得斜截式方程。（2）因为点（2，1）、（0，）均满足方程，故它们为直线上的两点。 由两

9、点式方程得： 即（3）由知：直线在y轴上的截距 又令，得 故直线的截距式方程点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要掌握好它们之间的互化。在解具体问题时，要根据问题的条件、结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。例2：直线经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。解析：设所求直线的方程为， 直线过点P（-5，-4），即。 又由已知有，即， 解方程组，得：或 故所求直线的方程为：，或。即，或点评：要求的方程，须先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三种：（1）从点的坐标或中直接观察出来；（2）由斜截式或截距式方

10、程确定截距；（3）在其他形式的直线方程中，令得轴上的截距b；令得出x轴上的截距a。总之，在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要。解题时善于观察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。例3:（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy中，已知AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）A95 B91 C88 D75答案：B解析一：由y=10x（0x15，xN）转化为求满足不等式y10x（0x15，xN）所有整数y的值.然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3

11、时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B。图解析二：将x=0，y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图所示。对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求AOB内部和边上的整点共有=91（个）点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径。例4:（2003京春理，22）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=1相切，点C在l上。（）求动圆圆心的轨迹M的方程；（）设过点P，且斜

12、率为的直线与曲线M相交于A、B两点。（i）问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围。（）解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.图解法二：设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，所以|x+1|=。化简得：y2=4x。（）（i）由题意得，直线AB的方程为y=（x1）.由消y得3x210x+3=0，解得x1=，x2=3。所以A点坐标为（），B点坐标为（3，2），|AB|=x1+x2+2=。假设存在点C（1，y），使ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|

13、=|AB|，即由得42+（y+2）2=（）2+（y）2，解得y=。但y=不符合，所以由，组成的方程组无解。因此，直线l上不存在点C，使得ABC是正三角形。（ii）解法一：设C（1，y）使ABC成钝角三角形，由得y=2，即当点C的坐标为（1，2）时，A、B、C三点共线，故y2。又|AC|2=（1）2+（y）2=+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=。当CAB为钝角时，cosA=<0。即|BC|2 >|AC|2+|AB|2，即，即y>时，CAB为钝角。当|AC|2>|BC|2+|AB|2，即，即y<时，CBA为钝角。又|

14、AB|2>|AC|2+|BC|2，即，即。该不等式无解，所以ACB不可能为钝角。因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是。解法二：以AB为直径的圆的方程为（x）2+（y+）2=（）2。圆心（）到直线l：x=1的距离为，所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（1，）。当直线l上的C点与G重合时，ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，ACB为锐角，即ABC中，ACB不可能是钝角。因此，要使ABC为钝角三角形，只可能是CAB或CBA为钝角。过点A且与AB垂直的直线方程为。令x=1得y=。过点B且与AB垂直的直线方程为y+2（x3）。令x=1得y=。又由解得

15、y=2，所以，当点C的坐标为（1，2）时，A、B、C三点共线，不构成三角形。因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y<或y>（y2）。点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。例5:（1）（2006北京11）若三点 A（2，2），B（a，0），C（0，b）(ab0)共线，

16、则, 的值等于 。（2）（2006上海文11）已知两条直线若，则_ _。解析：（1）答案：；（2）2。点评：（1）三点共线问题借助斜率来解决，只需保证；（2）对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。例6:（1）（2006福建文，1）已知两条直线和互相垂直，则等于（ ）A2 B1 C0 D（2）（2006安徽理，7）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A B C D解析：（1）答案为D；（2）与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A。点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情

17、况。例7:（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）Axy=0 Bx+y=0 C|x|y=0 D|x|y|=0解析：设到坐标轴距离相等的点为（x，y）|x|y| |x|y|0。答案：D点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径§10.3 圆的方程及其应用教学目的：1、掌握圆的标准方程和一般方程；2、了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。教学重点: 圆的方程的两种形式。教学难点：根据条件求圆的方程。教学过程：一、 知识梳理圆心为，半径为r的圆的标准方程为：。特殊地，当时，圆心在原点的圆的方程为：。圆的

18、一般方程，圆心为点，半径，其中。二元二次方程，表示圆的方程的充要条件是：、项项的系数相同且不为0，即；、没有xy项，即B=0；、二、典型例题例1：（1）已知ABC的三个项点坐标分别是A（4，1），B（6，3），C（3，0），求ABC外接圆的方程。分析：如果设圆的标准方程，将三个顶点坐标分别代入，即可确定出三个独立参数a，b，r，写出圆的标准方程；如果注意到ABC外接圆的圆心是ABC三边垂直平分线的交点，由此可求圆心坐标和半径，也可以写出圆的标准方程。解法一：设所求圆的方程是因为A（4，1），B（6，3），C（3，0）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是 可解得所以ABC的外接圆的方程是。解

19、法二：因为ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，所以先求AB、BC的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标。，线段AB的中点为（5，1），线段BC的中点为，图41AB的垂直平分线方程为，BC的垂直平分线方程解由联立的方程组可得 ABC外接圆的圆心为（1，3），半径。故ABC外接圆的方程是点评：解法一用的是“待定系数法”，解法二利用了圆的几何性质。（2）求过A（4，1），B（6，3），C（3，0）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：细心的同学已经发现，本题与上节例1是相同的，在那里我们用了两种方法求圆的方程现在再尝试用圆的一般方程求解（解法三），可

20、以比较一下哪种方法简捷。解析：设圆的方程为因为三点A（4，1），B（6，3），C（3，0）都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解，将它们的坐标分别代入方程，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组： ，解得。所以，圆的方程是。圆心是坐标（1，3），半径为。点评：“待定系数法”是求圆的方程的常用方法一般地，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较方便，否则选用一般方程方便些。例2：若方程。（1）当且仅当在什么范围内，该方程表示一个圆。（2）当在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程。解析：（1）由， ， 当且仅当时， 即时，给定的方程表示一个圆。（2）设圆心坐标为，则（为参数）。消

21、去参数，为所求圆心轨迹方程。点评：圆的一般方程，圆心为点，半径，其中。例3：如图2，在平面直角坐标系中，给定y轴正半轴上两点A（0，a），B（0，b）（），试在x轴正半轴上求一点C，使ACB取得最大值。解析：设C是x轴正半轴上一点，在ABC中由正弦定理，有。其中R是ABC的外接圆的半径。可见，当R取得最小值时，ACB取得最大值。在过A、B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中，当且仅当点C是圆与x轴的切点时，半径最小。故切点C即为所求。由切割线定理，得：所以 ，即点C的坐标为时，ACB取得最大值。点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助

22、圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。例4：已知O过定点A(0，p)(p>0)，圆心O在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O截x轴所得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，MAN=。（1）当O点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；（2）求+的最大值，并求取得最大值的值。解析：设O(x0，y0)，则x02=2py0 (y00)，O的半径|OA|=，O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0，并把x02=2py0代入得x22x0x+x02p2=0，解得xM=x0 p，xN=x0+p，|MN|=| xN xM|=2p为定

23、值。（2）M(x0-p，0) ，N(x0+p，0) d1=，d2=，则d12+d22=4p2+2x02，d1d2=，+=2=22=2。当且仅当x02=2p2，即x=±p，y0=p时等号成立，+的最大值为2。此时|OB|=|MB|=|NB|（B为MN中点），又OM=ON，OMN为等腰直角三角形，MON=90°，则=MON=45°。点评：数形结合既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。§10.4 直线与圆的综合问题教学目的：1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3、在平面解析几何初步的

24、学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。教学重点: 直线与圆、圆与圆的位置关系的处理方法。教学难点：解析几何与平面几何中的位置关系的衔接。教学过程：一、 知识梳理1、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种（1）若，；（2）；（3）。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心C到直线l的距离为d,则直

25、线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=r0；相交d<r>0；相离d>r<0。2、圆与圆的位置关系：两圆位置关系的判定方法，设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。； 外离 外切 相交 内切 内含判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。二、典型例题例1：（1）（2006安徽文，7）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（ ）A B C D （2）（2006江苏理，2）圆的切线方程中有一个是（ ）Axy0 Bxy0 Cx0 Dy0解析：（1）解析：由圆的圆心到直线大于，且，选A。点评：该题考察了直线与圆位置关系的判定。（2）直线ax+by=0

26、，则，由排除法，选C，本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。点评：本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径。直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件：圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件：直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。例2：（2006江西理，16）已知圆M：（xcosq）2（ysinq）21，直线l：ykx，下面四个命题：（A） 对任意实数k与q，直线l和圆M相切；（B） 对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；（C） 对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切；（D）对任意实数k，必存在

27、实数q，使得直线l与和圆M相切。其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）解析：圆心坐标为（cosq，sinq）d故选（B）（D）点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。例3：（1999全国，9）直线x+y2=0截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为（ ）A B C D图解析：如图所示：由消y得：x23x+2=0，x1=2，x2=1。A（2，0），B（1，）|AB|=2 又|OB|OA|=2，AOB是等边三角形，AOB=，故选C。点评：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性。如果注意到直线AB的倾斜角为12

28、0°，则等腰OAB的底角为60°.因此AOB=60°.更加体现出平面几何的意义。例4：（2006全国2，16）过点（1，）的直线l将圆(x2)2y24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k 。解析：过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率解析(数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线，所以。点评：本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系，难度中等。例5：（89年高考题）一束光线l自A（3，3）发出，射到x轴上，被x轴反射到C：x2y24x4y70上。() 求反

29、射线通过圆心C时，光线l的方程；() 求在x轴上，反射点M的范围解法一：已知圆的标准方程是(x2)2+(y2)2=1，它关于x轴的对称圆的方程是(x2)2+(y+2)2=1。设光线L所在的直线的方程是y3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题设知对称圆的圆心C（2，-2）到这条直线的距离等于1，即d=1。整理得 12k2+25k+12=0，解得k= 或k= 。故所求直线方程是y3=(x+3)，或y3= (x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。解法二：已知圆的标准方程是(x2)2+(y2)2=1，设交线L所在的直线的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题意知k0，于是L

30、的反射点的坐标是（，0），因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L所在直线的方程为y= k(x+)，即y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即d=1。以下同解法一。点评：圆复合直线的对称问题，解题思路兼顾到直线对称性问题，重点关注对称圆的几何要素，特别是圆心坐标和圆的半径。例6：已知函数f(x)=x21(x1)的图像为C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称。（1）求曲线C2的方程y=g(x)；（2）设函数y=g(x)的定义域为M，x1，x2M，且x1x2，求证|g(x1)g(x2)|<|x1x2|;（3）设A、B为曲线C2上任意不同两点，证明直线A

31、B与直线y=x必相交。解析：（1）曲线C1和C2关于直线y=x对称，则g(x)为f(x)的反函数。y=x21，x2=y+1，又x1，x=，则曲线C2的方程为g(x)= (x0)。（2）设x1，x2M，且x1x2，则x1x20。又x10， x20，|g(x1)g(x2)|=| |=<|x1x2|。（3）设A(x1，y1)、B（x2，y2）为曲线C2上任意不同两点，x1，x2M，且x1x2，由（2）知，|kAB|=|=<1直线AB的斜率|kAB|1，又直线y=x的斜率为1，直线AB与直线y=x必相交。点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系

32、。例7：（2005山东理，22）已知动圆过定点，且与直线相切，其中。（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标。解析：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知（1）当时，即时，所以，所以由知：所以。因此直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点。（2）当

33、时，由，得=，将式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即，所以直线恒过定点。所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点。点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目。例8：（2005江苏，19）如图，圆与圆的半径都是1，. 过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得. 试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程。解析：以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，。由已知，得。因为两圆半径均为1，所以。设，则，即(或)。点评：本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力。例9：已知实数x、y满足，求的最大值与最小值。

34、解析：表示过点A（0，1）和圆上的动点（x，y）的直线的斜率。如下图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值。设切线方程为，即，则，解得。因此，点评：直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用。例10：设双曲线的两支分别为，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。若在上，Q、R在上，求顶点Q、R的坐标。分析：正三角形PQR中，有，则以为圆心，为半径的圆与双曲线交于R、Q两点。根据两曲线方程可求出交点Q、R坐标。解析：设以P为圆心，为半径的圆的方程为：，由得：。（其中，可令进行换元解之）

35、设Q、R两点的坐标分别为，则。即，同理可得：，且因为PQR是正三角形，则，即，得。代入方程，即。由方程组，得：或，所以，所求Q、R的坐标分别为点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。归纳小结：1关于直线对称问题：（1）关于l ：Ax By C 0对称问题：不论点，直线与曲线关于l 对称问题总可以转化为点关于l 对称问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成，如求P（x0 ，y0）关于l ：Ax By C 0对称点Q（x1 ，y1）有（1）与A·B·

36、C 0。（2）解出x1 与y1 ；若求C1 ：曲线f（x ，y）0（包括直线）关于l ：Ax By C1 0对称的曲线C2 ，由上面的（1）、（2）中求出x0 g1（x1 ，y1）与y0 g2（x1 ，y1），然后代入C1 ：f g1（x1 ，y1），g2（x2 ，y2）0，就得到关于l 对称的曲线C2 方程：f g1（x ，y），g2（x ，y）0。（3）若l ：Ax By C 0中的x ，y 项系数|A|1，|B |1就可以用直接代入解之，尤其是选择填空题。如曲线C1 ：y2 4 x 2关于l ：x y 40对称的曲线l2 的方程为：(x 4) 2 4（y 4）2即y 用x 4代，x 用y

37、 4代，这样就比较简单了。（4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决。点与圆位置关系：P（x0 ，y0）和圆C ：(x a) 2 (y b) 2 r2。点P 在圆C 外有(x0 a) 2 (y0 b) 2 r2；点P 在圆上：(x0 a) 2 (y0 b) 2 r2；点P 在圆内：(x0 a) 2 (y0 b) 2 r2 。3直线与圆的位置关系：l ：f1（x ，y）0圆C ：f2（x ，y）0消y 得F（x2）0。（1）直线与圆相交：F（x ，y）0中D 0；或圆心到直线距离d r 。直线与圆相交的相关问题：弦长|AB|·|x1 x2|·，或|AB|2；弦中

38、点坐标（，）；弦中点轨迹方程。（2）直线与圆相切：F（x）0中D 0，或d r 其相关问题是切线方程如P（x0 ，y0）是圆x2 y2 r2 上的点，过P 的切线方程为x0x y0y r2 ，其二是圆外点P（x0 ，y0）向圆到两条切线的切线长为或；其三是P（x0 ，y0）为圆x2 y2 r2 外一点引两条切线，有两个切点A ，B ，过A ，B 的直线方程为x0x y0y r2 。（3）直线与圆相离：F（x）0中D 0；或d r ；主要是圆上的点到直线距离d 的最大值与最小值，设Q 为圆C ：(x a) 2 (y b) 2 r2 上任一点，|PQ|max |PC|r ；|PQ|min |PQ|

39、r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值4圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距|O1O2|与两半径r1 ，r2 的和差关系判定（1）设O1 圆心O1 ，半径r1 ，O2 圆心O2 ，半径r2 则：当r1 r2 |O1O2|时O1 与O2 外切；当|r1 r2|O1O2|时，两圆相切；当|r1 r2|O1O2|r1 r2 时两圆相交；当|r1 r2|O1O2|时两圆内含；当r1 r2 |O1O2|时两圆外离。（2）设O1 ：x2 y2 D1x E1y F1 0，O2 ：x2 y2 D2x E2y F2 0。两圆相交A 、B 两点，其公共弦所在直线方程为（D1 D2）x （E1 E2

40、）y F1 F2 0；经过两圆的交点的圆系方程为x2 y2 D1x E1y F1 l（x2 y2 D2x E2y F2）0（不包括O2 方程）。§10.5 椭 圆教学目的：1、掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形和简单几何性质；2、了解运用曲线的方程研究曲线几何性质的思想方法；3、能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题。教学重点: 椭圆的标准方程和几何性质。教学难点：运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题。教学过程：一、 知识梳理1、椭圆的概念：平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

41、若为椭圆上任意一点，则有。2、椭圆的标准方程：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。注：以上方程中的大小，其中；在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。3、椭圆的几何性质：范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫

42、椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，且，即；离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。二、典型例题例1：求

43、适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于；（2）两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点；（3）焦点在轴上，；（4）焦点在轴上，且过点；（5）焦距为，；（6）椭圆经过两点，。解析：（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），所以，椭圆的标准方程为。（2）椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），由椭圆的定义知，又，所以，椭圆的标准方程为。（3），又由代入得，又焦点在轴上，所以，椭圆的标准方程为。（4）设椭圆方程为， ， 又，所以，椭圆的标准方程为（5）焦距为， ，又，所以，椭圆的标准方程为或（6）设椭圆方程为（）， 由得，所以，椭圆方程为点

44、评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。例2：（1）（06山东）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 。（2）（06天津理，8）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（） 解析：（1）已知为所求；（2）椭圆的中心为点它的一个焦点为 半焦距，相应于焦点F的准线方程为 ，则这个椭圆的方程是，选D。点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。例3：（1）（06山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

45、（ ）(A) (B) (C) (D)（2）（1999全国，15）设椭圆=1（ab0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 。解析：（1）不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e，选B。（2）；解析：由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为，即e=。点评：本题重点考查了椭圆的基本性质。例4：（1）（2000京皖春，9）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（ ）A. B. C. D.（2）（1998全国理，2）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|P

46、F2|的（ ）A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍解析：（1）D；由题意知a=2，b=1，c=，准线方程为x=±，椭圆中心到准线距离为（2）A；不妨设F1（3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|，故选A。点评：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向。例5：设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点到直线的距离为（）证明；（）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则（）证法一：由题设及，不妨设点，其中，由于点在椭圆上，有，解得，从而得到，直线的方程为，整理

47、得由题设，原点到直线的距离为，即，将代入原式并化简得，即证法二：同证法一，得到点的坐标为，过点作，垂足为，易知，故由椭圆定义得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一：圆上的任意点处的切线方程为当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组的解当时，由式得代入式，得，即，于是，若，则所以，由，得在区间内此方程的解为当时，必有，同理求得在区间内的解为另一方面，当时，可推出，从而综上所述，使得所述命题成立归纳小结：1定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹3图形如图2-15、2-164焦点：F1(-c，0)

48、，F2(c，0)F1(0，-c)，F2(0，c)§10.6 双曲线 教学目的：1、了解双曲线的定义、标准方程、几何图形和简单几何性质；2、会用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题。教学重点: 双曲线的标准方程及其几何性质。教学难点：运用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题。教学过程：一、 知识梳理1、双曲线的定义：平面上与两点,距离的差的绝对值为非零常数（）的动点轨迹是双曲线（）。注意：（*）式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）；当时，表示两条射线；当时，不表示任何图形；两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。2、

49、双曲线的标准方程及其与椭圆的标准方程的比较：椭 圆双 曲 线定义方程焦点注意：如何由方程确定焦点的位置！3、双曲线的性质：范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的

50、顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交

51、点在轴，当时焦点在轴上。注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。二、典型例题例1：（1）已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程；（2）求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程；（3）已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程。解析：（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，。所以所求双曲线的方程为；（2）椭圆的焦点为，可以设双曲线的方程为，则。又过点，。综上得，所以。点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量之间的关系。（3）因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为；点在双曲线上，点的坐标适合方程。将分别代入方程中，得方程组：将和看着整体，解得，即双曲线的标准方程为。点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。例2：(06上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是_.解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是；点评：本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷。例3：（1）（06福建卷）已知双曲线(