1.2.2-充要条件

1、12.2充要条件教材分析充要条件是高中数学教材中的重要内容，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考的热点由于本节内容涉及对概念下定义和运用概念进行推理，因此需要全面的掌握概念；本节教材是在给出了充分条件，必要条件的概念的基础上，导出了充要条件的概念由于这节课概念性、理论性较强，内容相对比较抽象，学生较难理解和掌握，所以一般的教学方式容易使学生感到枯燥乏味为此，教材紧密结合了已学过的数学实例和生活实例导出概念，避免了空泛地讲数学概念、思想、方法始终以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去总结概念、“下定义”，去体会概念的本质属性，同时结合问题激发学生的学习兴趣，引起学生探究的好奇心课时划

2、分1课时教学目标知识与技能(1)理解充要条件的定义，了解充分而不必要条件，必要而不充分条件，既不充分也不必要条件的定义；(2)学会对命题进行充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断；(3)通过学习，使学生理解对条件的判定应该归结为判断命题的真假过程与方法在观察、思考、解题过程中，培养学生思维的严密性品质；在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维能力，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础情感、态度与价值观激发学生的学习热情和学生的求知欲，培养严谨的学习态度和积极进取的精神重点难点教学重点：理解充要条件的概念；学会对命题进行充要性的判断；教学难点：充分性与必要性

3、的推导顺序及充要条件的证明引入新课复习提问：1什么叫做p是q的充分条件？什么叫做q是p必要条件？请说出“pq”的含义2指出下列各组命题中，pq 及qp是否成立：(1)p：内错角相等；q：两直线平行(2)p：三角形三边相等；q：三角形三个角相等活动设计：让学生稍作思考，以提问的形式回顾相关知识学情预测：对问题1，通过上节课的学习学生能够顺利回答充分条件与必要条件的概念，但对符号“pq”的含义，学生可能回答不够严谨，教师给予补充完善活动结果：(1)一般的，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件；同时q是p的必要条件“pq”

4、的含义指由p通过推理可以得出q.(2)问题2中的两个命题都有pq及qp成立，即原命题和逆命题都是真命题设计意图：引导学生从熟悉的知识出发，发现新问题、新知识探究新知提出问题问题1：请同学们举出形如“若p，则q” 形式的命题的例子，且原命题和逆命题都是真命题活动设计：学生先口答，教师板书学情预测：学生的回答可能不全是原命题和逆命题都是真命题的例子，教师要帮助学生加以甄别问题2：对于命题“若p，则q”，具有pq及qp成立，即原命题和逆命题都是真命题那么p是q的什么条件？q是p的什么条件呢？活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论，教师适时介入全班引导活动结果：上述问题中，pq，p是q的充分条件

5、，q是p的必要条件另一方面qp，q是p的充分条件，p是q的必要条件教师(板书)：充要条件的定义：一般的，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件设计意图：充要条件的概念与原命题和逆命题真假的判断，以及具有“若p，则q”形式的命题真假的判断是分不开的，因此充要条件的概念引入结合了具体命题真假的判断，以加深理解理解新知1下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：b0，q：函数f(x)ax2bxc是偶函数；(2)p：x0，y0，q：xy0；(3)p：ab，q：ac

6、bc.思路分析：要判断p是否是q的充要条件，就要看p能否推出q，同时看q能否推出p，两者必须同时成立解：在(1)(3)中，pq，所以(1)(3)中的p是q的充要条件在(2)中，虽然有pq，但是qp，所以(2)中的p不是q的充要条件点评：充要条件的判定方法：如果“若p，则q”与“若q，则p”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是说明：(1)符号“”叫做等价符号“pq”表示“pq且qp”；也表示“p等价于q”(2)“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”“仅当”表示“必要”对任意实数a，b，c，给出下列命题：“ab”是“acbc”的充要条件；“a5是无理数”是“a

7、是无理数”的充要条件；“ab”是“a2b2”的充分条件；“a5”是“a3”的必要条件其中真命题的个数是 ()A1 B2 C3 D4答案：B提出问题：在“若p，则q”形式的命题中，有的p是q的充分条件，有的p既是q的充分条件又是必要条件，能否对存在的各种情况作分类？对存在的各种情况结合下面的思考题加以说明思考：下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：x是6的倍数，q：x是2的倍数；(2)p：x是2的倍数，q：x是6的倍数；(3)p：x是2的倍数，也是3的倍数，q：x是6的倍数；(4)p：x是4的倍数，q：x是6的倍数活动设计：学生随着教师的引导，思考问题、回答问题、合理地对数学命题进行分类学

8、情预测：学生积极思考，结合思考题进行分类，但分类标准不唯一，可能出现多种分类方法，此时教师结合思考题积极引导活动结果：分析总结得到四种情况(1)p是q的充要条件；(即pq)(2)p是q的充分但不必要条件；(即pq且qp)(3)p是q的必要但不充分条件；(即pq且qp)(4)p是q的既不充分也不必要条件(即pq且qp)设计意图：通过以上这些问题的讨论，可以进一步加深对充分条件、必要条件、充要条件的理解运用新知2已知：O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：dr是直线l与O相切的充要条件思路分析：设p：dr，q：直线l与O相切要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性(pq)和必要性(qp)

9、即可证明：如图所示，作OPl于点P，则OPd.(1)充分性(pq)：若dr，则点P在O上在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在RtOPQ中，OQ>OPr.所以，除点P外直线l上的点都在O的外部，即直线l与O仅有一个公共点P.所以直线l与O相切(2)必要性(qp)：若直线l与O相切，不妨设切点为P，则OPl.因此dOPr.点评：(1)证明充要条件时，既要证明原命题成立，又要证明逆命题成立(2)证明原命题成立，即证明命题条件的充分性；证明原命题的逆命题成立，即证明命题条件的必要性(3)证明充要条件时，首先要明确命题的条件和结论分别是什么，即命题的要求是什么3判断下列各组命题中，p是q

10、的什么条件：(1)p：x>5；q：x>1；(2)p：x>1；q：x>5；(3)p：(x2)(x3)0；q：x20；(4)p：x ±1；q：x210.思路分析：根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，逐一进行判断解：(1)p是q的充分但不必要条件；(2)p是q的必要但不充分条件；(3)p是q的必要但不充分条件；(4)p是q的充要条件点评：四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：(1)确定条件是什么，结论是什么；(2)尝试从条件推出结论，从结论推出条件(方法有：直接证法或间接证法)；(3)确定条件是结论的什么条件；(4)充要性包含

11、：充分性pq，必要性qp，这两个方面缺一不可提出问题：思考下列问题：(1)将例3的第(3)题 p：(x2)(x3)0；q：x20中的所有“换成“”，会有怎样的结果？(2)同上，如若换成“”会有怎样的结果？活动设计：引导学生适当改变题目的条件和结论，进行一题多变，学生自己设计题目进行研究，将所有发现的结果一一列举，熟练充要条件的判断方法活动结果：(1)p是q的既不充分也不必要条件(2)p是q的充分但不必要条件1若集合A1，m2，B2,4，则“m2”是“AB4”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2下列各小题中，p是q的充要条件的是()p：m2或m6；q：yx

12、2mxm3有两个不同的零点p：1；q：yf(x)是偶函数p：coscos；q：tantan.p：ABA；q：UB UA.A B C D 3有限集合S中元素的个数记做card(S)，设A，B都为有限集合，给出下列命题：AB的充要条件是card(AB)card(A)card(B)；AB的必要不充分条件是card(A)card(B)；AB的充分不必要条件是card(A)card(B)；AB的充要条件是card(A)card(B)其中真命题的序号是()A B C D答案：1.A2.D3.B课堂小结1知识收获：(1)充要条件的定义：若pq 且qp，则p是q的充要条件(2)判断p是q 的什么条件，不仅要考

13、查pq是否成立 ，还要考查qp是否成立2方法收获：(1)判断pq是否成立，方法1：判断若p则q形式命题的真假方法2：若p则q形式命题真假难判断时，判断其逆否命题的真假方法3：集合的观点(2)证明充要条件，需证明充分性(pq)和必要性(qp)3思维收获：体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，养成严谨缜密的思维习惯布置作业课本习题1.2A组3(2)(4)，4补充练习基础练习1设M，N是两个集合，则“MN”是“MN”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件2设p，q是两个命题，p：log(|x|3)9，q：x2x0，则p是q的()A充分而不必要条件 B必要

14、而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，则“l”是“lm且ln”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4设集合Mx|0x3，Nx|0x2，那么“aM”是“aN”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案：1.B2.A3.A4.B拓展练习5设p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，问(1)s是r的什么条件？(2)p是q的什么条件？答案：(1)s是r的充要条件；(2)p是q的必要条件设计思想由于这节课概念性、理论性较强，因此要多借助学生熟悉的

15、实例去帮助学生理解概念；另外本节用符号语言表述数学命题也增加了学习的难度，要在用的过程中，逐步提高学生对数学语言、符号语言的转换能力设计意图用类比的方法，将有些概念进行类比，以便更好地理解和运用；同时还要用联系的观点去认识相关知识，用集合的观点去理解相关概念，以此提高学生分析问题和解决问题的能力设计特点引导学生从前面学习的“充分条件”和“必要条件” 出发，对新知有所认识结合学生熟知的原命题与逆命题真假的判断归纳出新知识的特点，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，感受对立统一思想，培养良好的思维品质备选例题1已知抛物线C：yx2mx1和点A(3

16、,0)，B(0,3)求证：抛物线C与线段AB有两个不同的交点的充要条件是3m.思路分析：要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性(pq)和必要性(qp)即可解：(1)必要性：由已知得，线段AB的方程为yx3(0x3)由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，所以方程组(*)有两个不同的实数解消元得x2(m1)x40(0x3)设f(x)x2(m1)x4，则有解得3m.(2)充分性：当3m时，x10，所以x10.x23，所以x23.所以方程x2(m1)x40有两个不等的实根x1，x2，且0x1x23，方程组(*)有两组不同的实数解因此，抛物线yx2mx1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3m.点评：证明充要条件时，要分清充分性是证明怎样一个式子成立，即当3m时，证明抛物线C与线段AB有两个不同的交点；必要性是证明怎样一个式子成立，即当抛物线C与线段AB有两个不同的交点时，证明：m的取值范围是3m.2已知p：|1|2，q：x22x1m20(m0)，且p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围思路分析：p是q的必要而不充分条件，即p是q的充分而不必要条件，从集合的角度可知集合P是集合Q的真子集解： (法一)：p是q的必要而不充分条件，q是p的必要而不充分条件p是q的充分而不必要