理论力学11梁的位移计算

1、第十一章 梁的位移计算梁的位移计算工程实例2梁的位移计算工程实例3梁的位移计算工程实例 本章对平面弯曲下梁变形的基本概念、基本方法以及简单静不定梁进行简要介绍。4梁的位移计算挠度、转角及其相互关系挠曲线：梁变形后的轴线。 在小变形情况下，任意横截面的形心位移是指方向的线位移，截面形心垂直于轴线方向的线位移称为挠度yAqB xxvl向上为正，向下为负v = f ( x)挠曲线方程弯曲变形时，横截面绕中性轴转动的角度称为转角 = ( x)转角方程逆转为正，顺转为负5梁的位移计算qBAxvl dv tg = dx 横截面的转角与挠曲线在该截面处的斜率近似相等，即挠曲线方程的一阶导数为转角方程。6梁的

2、位移计算曲率公式挠曲线微分方程qB 1M ( x) = ( x) EI zAxvl挠曲线为一平面曲线，其上任一点的曲率1=d v 2dx dv 1 + dx 2232d v 2dx dv 2 1+ ( ) dx 322 M ( x)= EI z微小量挠曲线微分方程7梁的位移计算在小变形情况下dvM = 2dxEI z2正负号与弯矩符号规定及所取坐标系有关yM 0d v 0 2dx2yM 0d v b,则最大挠度在AC段。最大挠度处截面的转角为零。321 = 0 x0 =l b 322vmax Fbl b =1 2 9 3EI l 2219梁的位移计算叠加法求梁的位移 在小变形和材料服从胡克定律

3、的条件下导出挠曲线近似微分方程d vM ( x) = 2dxEI z2此方程为线性方程外力和弯矩之间也为线性关系挠度和转角和外力之间为线性关系 当梁上作用几种载荷时，各载荷同时作用引起变形，等于各载荷单独作用引起的变形的代数和叠加原理。叠加法求梁的变形20梁的位移计算梁在简单载荷作用下的变形21梁的位移计算22梁的位移计算23梁的位移计算24梁的位移计算25梁的位移计算思考：应用叠加法求梁的位移，必须满足的条件是什么？答：小变形，材料符合胡克定律。26梁的位移计算43已知图1B点的挠度和转角分别为 ql / 8 EI ， ql / 6 EI ，图2C截面的转角为多少？qAlBql / 8 EI

4、3qABCll27例如图所示简支梁，已知，试利用叠加法求vc解将荷载分解为两组qFAl/2lCBqAlB4l/2FAlB3 5qlvc1 = 384EI 5qlFlvc = vc1 + vc 2 = 384EI 48EI43 Flvc 2 = 48EI28例如图所示悬臂梁，已知，试利用叠加法求vB解 B为自由端，为自由端，CB段无内力，段无内力， 梁变形后CB段必保持为直线 q(l / 2)ql =vC = 8EI128EI 33 q (l / 2)qlC = = 6 EI48 EI44qAl/2 CCClBv B1vB2v B1 ql= vC = 128 EI44vB 2 llql= tan

5、 C = C = 2296 EI44294 qlql7qlvB = vB1 + vB 2 = = 128EI 96EI384EI例如图所示外伸梁，已知，试利用叠加法求vD解D为自由端，为自由端，BD段无内力，段无内力，梁变形后BD段仍保持为直线将AB段视为简支梁，查表：B Fl= 16 EI2BACFl /2BBDl /2av D = a B Fl a= 16 EI302梁的位移计算梁的刚度条件 提高粱刚度的主要措施一、梁的刚度条件vmax v max v许用挠度许用转角 一般轴滑动轴承吊车梁v = (0.0003 0.0005)l = (0.003 0.005)radv = (0.0013

6、0.0025)l31例 机床主轴的支撑和受力可简化为如图所示的外伸梁，其中 P 为由于切削而施加于卡盘上的力，P2 为齿轮间1的相互作用力。主轴为空心圆截面，外径 D = 80mm ， la内径 d = 40mm ， = 400mm， = 100mm ， P = 2kN ， 1 P2 = 1kN ，材料的弹性模量为 E = 200GPa 。规定主轴的许用转角和许用挠度为：卡盘处的挠度不超过 43两轴承间距的 1 / 10 ，轴承处的转角不超过 1 / 10 rad 。试校核主轴的刚度。P2ACP 1BDl /2l /2a32例 解Iz =D464(1 ) = 1.885 10 mm464BAC

7、P2l /2BBD P2l 4 B ( P2 ) = = 0.265 10 rad 16 EI Z2l /2aBvD ( P2 ) = B ( P2 )a = 2.65 10 mm3 P al 4 1 B ( P1 ) = 0.707 10 rad 3EI Z Pa 3 1vD ( P ) =(l + a ) = 8.84 10 mm 1 3EI Z2ACP 1Dl /2l /2avD = vD ( P ) + vD ( P2 ) = 6.19 10 mm13 B = B ( P1 ) + B ( P2 ) = 0.442 10 rad 4vD v 5= 1.548 10 l l 满足刚度要求

8、33梁的位移计算二、提高粱刚度的主要措施增大截面惯性矩 因为各类钢材的弹性模量比较接近，采用优质钢材对提高弯曲刚度意义不大，所以一般选择合理的截面形状以增加惯性矩。如：采用薄壁工字形、箱形截面，或采用空心圆轴等。尽量减少梁的跨度或长度 因为梁的挠度和转角分别与梁跨度的立方和平方成正比，所以减少梁的跨度是提高粱的刚度的主要措施。34梁的位移计算增加支撑35梁的位移计算改善受力情况改善受力情况可以减小弯矩，从而减小梁的挠度和转角。Pylx qlv= 3EI z qlv= 8 EI z364yqxl4梁的位移计算简单静不定梁 梁支座约束力的数目超出了独立的平衡方程数目，因而仅靠平衡方程不能求解静不定

9、梁。qABl37梁的位移计算变形比较法 比较基本静定系和原超静定系统在多余约束处 的变形，写出变形协调条件进行求解。将处约束去掉基本静定系 静定基相当系统AlB加上及约束力变形协调条件34qAvB = 0MA RB lqlvB =0 3EI 8 EIRBBlqAB38 3RB = ql 8梁的位移计算本章小结挠曲线、挠度、转角、挠曲线方程、转角方程v = f ( x) = ( x) dv tg = dx挠曲线微分方程d v 2dx dv 2 1+ ( ) dx 322 M ( x)= EI zd vM = 2dxEI z392梁的位移计算积分法求梁的位移边界条件和连续条件 dvM ( x) ( x) = = dx + C dxEI z M ( x) v( x) = dx dx + Cx + D EI z叠加法求梁的位移梁的刚度条件 max vmax v 40梁的位移计算提高梁的刚度的主要措