弹簧-质量-阻尼实验指导书教材

1、质量-弹簧-阻尼系统实验教学指导书北京理工大学 机械与车辆学院2016.31实验一：单自由度系统数学建模及仿真1 实验目的（1）熟悉单自由度质量 - 弹簧- 阻尼系统并进行数学建模；（2）了解 MATLA软B件编程，学习编写系统的仿真代码；（3）进行单自由度系统的仿真动态响应分析。2 实验原理单自由度质量 -弹簧 -阻尼系统，如上图所示。由一个质量为 m的滑块、一个 刚度系数为 k的弹簧和一个阻尼系数为 c的阻尼器组成。 系统输入： 作用在滑块上 的力 f（t）。系统输出：滑块的位移 x（t）。建立力学平衡方程：mx cx kx f变化为二阶系统标准形式：2fx 2 x 2xmc2m其中： 是

2、固有频率， 是阻尼比。2 km2.1 欠阻尼 (<1)情况下，输入 f(t)和非零初始状态的响应：x(t) f ( ) 2 e (t ) sin( 1 2(t )d0 m 1 2e t x(0)2 cos( 1 2t arctan( 2) x(0) 2sin( 1 2t)1 2 1 2 1 22.2 欠阻尼 （<1）情况下，输入 f（t）=f0*cos（0*t） 和非零初始状态的的响应：x(t)m(0220cos( 0t arctan( 22 02 )022 02)2 (2 )22 3 0f 02 22 2 2 e tcos( 1 2t) k( 2 02)2 (2 )2 02x(0

3、)x(0) 20f0(202)2(2)202e t sin( 12t) 2( 2 02)2 (2 )2 02e sin( 1 t)x(0)输出振幅和输入振幅的比值：3 动力学仿真根据数学模型，使用龙格库塔方法 ODE45 求解，任意输入下响应结果仿真代码见附件4 实验4.1 固有频率和阻尼实验（1）将实验台设置为单自由度质量 -弹簧 -阻尼系统。（ 2）关闭电控箱开关。点击 setup菜单，选择 Control Algorithm ，设置选择 Continuous Time Control，Ts=0.0042，然后 OK 。（ 3）点击Command菜单，选择Trajectory，选取step

4、,进入set-up,选取Open Loop Step 设置（0）counts, dwell time=3000ms,（1）rep, 然后OK 。此步是为了使控制器得到一 段时间的数据，并不会驱动电机运动。（4）点击Data菜单，选择 Data Acquisition,设置选取 Encoder#1 ，然后OK离开； 从 Utility 菜单中选择 Zero Position使编码器归零。（ 5）从Command菜单中选择 Execute，用手将质量块 1移动到 2.5cm左右的位置（注 意不要使质量块碰触移动限位开关），点击 Run, 大约 1秒后，放开手使其自由震 荡，在数据上传后点击 OK。

5、（ 6）点击Plotting菜单，选择Setup Plot，选取Encoder #1 Position；然后点击 Plotting 菜单，选择 Plot Data，则将显示质量块 1的自由振动响应曲线。（7）在得到的自由振动响应曲线图上， 选择 n个连续的振幅明显的振动周期， 计 算出这段振动的时间 t，由n/t即可得到系统的频率，将 Hz转化为 rad/sec即为系统 的振动频率 。（ 8）在自由振动响应曲线图上，测量步骤 7选取时间段内初始振动周期的振幅 X0以及末尾振动周期的振幅 Xn。由对数衰减规律即可求得系统阻尼比。9）实验数据记录序号第1次实验第2次实验第3次实验实验测试频率实验测

6、试阻尼比滑块质量 m弹簧刚度 k阻尼系数 c频率理论值阻尼比理论值频率估计误差阻尼比估计误差10）在仿真代码基础上， 计算出实验结果对应的理论结果。 对比分析理论和实验结果的差异。完成实验报告。4.2 幅频特性实验（ 1）点击Command菜单，选择 Trajectory，选取Sinuscidal，进入set-up,选取Open LoopStep设置Amplitude（0.5V）, Frequency（2Hz）,Repetition（8） ，然后OK。（ 2）从Utility 菜单中选择 Zero Position使编码器归零。从 Command菜单中选择 Execute，点击 Run,在数据

7、上传后点击 OK 。（3）然后点击 Plotting菜单，选择Plot Data，则将显示滑块的受迫振动响应曲线。 在响应曲线图上， 测量出振动振幅， 计算出振动的频率并于输入的正弦曲线频率 比较。（4）根据实验情况，改变输入的正弦曲线频率的大小，重复上述，纪录实验数 据。输入频率滑块实验幅值滑块仿真幅值0.1Hz0.2Hz5)在仿真代码基础上， 实现正弦激励代码， 计算出实验结果对应的理论结果 对比分析理论和实验结果的差异。完成实验报告 实验二：双自由度系统数学建模及仿真1 实验目的(1) 熟悉双自由度质量 - 弹簧- 阻尼系统并进行数学建模；(2) 了解 MATLA软B件编程，学习编写系统

8、的仿真代码；(3) 进行双自由度系统的仿真动态响应分析。2 实验原理2.1 数学建模双自由度质量 -弹簧 -阻尼系统，如上图所示。由两个质量为 m1和m2的滑块、 两个刚度系数为 k1和k2的弹簧和两个阻尼系数为 c1和 c2的阻尼器组成。系统输入： 作用在滑块上的力 f(t)。系统输出：滑块的位移 x1(t)和x2(t)。 建立力学平衡方程：m1 x1 c1 x1 c1 x2 k1x1 k1x2 f (t)m2 x2 c2 x2 c1 x2 c1 x1 k1x2 k2x2 k1x1 02.2 固有频率 将动力学方程写成矩阵形式：m10(k k1k ) x11 f(t)(k1 k2) x20得

9、到系统的质量矩阵 M 和刚度矩阵 K解行列式可得固有频率方程： |K 2M | 0可计算出固有频率方程： 两个振动模态，两个固有频率：高模和低模。0.5 k1 k1 k2 ( m1m2m1k1k2 )2 4k1 m2m1m22.3 解耦通过数学变换将微分方程变化为以下形式：2y1 2 1 1 y1 1 y1 1 f（t）2y2 2 2 2 y2 22y2 2f（t）注意： y1 和 y2 不是 滑块的位移。滑块的位移 x1（t）和 x2（t）是 y1 和 y2 的函数。3 动力学仿真根据数学模型，使用龙格库塔方法 ODE45 求解，任意输入下响应结果。 仿真代码见附件4 实验4.1 固有频率分

10、析（1）将实验台设置为双自由度质量 -弹簧 -阻尼系统，第一个滑块没有阻尼器可 以不接，认为第一个阻尼为零。（ 2）闭合控制器开关，点击 setup菜单，选择 Control Algorithm ，设置选择 Continuous Time Control，Ts=0.0042,然后OK 。点击 Command菜单，选择 Trajectory，选取step,进入set-up,选取Open Loop Step设置（0）counts, dwell time=3000ms, （1）rep, 然后 OK 。此步是为了使控制器得到一段时间的数据，并不 会驱动电机运动。（2）点击Data菜单，选择 Data

11、Acquisition,设置分别选取 Encoder#1， Encoder#2， 然后OK离开；从Utility 菜单中选择 Zero Position使编码器归零。（ 4）从Command菜单中选择 Execute，用手将质量块 1移动到 2.5cm左右的位置（注 意不要使质量块碰触移动限位开关），点击 Run, 大约 1秒后，放开手使其自由振 荡，在数据上传后点击 OK。（ 5）点击Plotting菜单，选择Setup Plot，分别选取 Encoder #1 Position，Encoder #2 Position；然后点击 Plotting菜单，选择 Plot Data，则将显示质量块

12、 1， 2的自由振 动响应曲线。（6）实验数据纪录：实验条件：滑块质量 m1和m2，弹簧刚度 k1和k2，阻尼系数 c1和c2。 实验数据：时间 -滑块 1位移数据；时间 -滑块2位移数据。问题1：两个滑块位移的频率测量值是高模和低模频率么？ 问题2：实际的机械系统是多自由度的，如何通过实验法测试系统固有频率？ （7）实验报告。关键点是理论和实验结果对比分析。4.2幅频特性实验（1）点击Command菜单，选择 Trajectory，选取Sinuscidal,进入set-up,选取Open Loop Step设置 （200counts）Amplitude, Frequency（2Hz）,Rep

13、etition（ 8），然后 OK。 （ 2）从Utility 菜单中选择 Zero Position使编码器归零。从 Command菜单中选择 Execute，点击 Run,在数据上传后点击 OK 。（3）然后点击 Plotting菜单，选择 Plot Data，则将显示质量块 1，2的受迫振动响 应曲线。在响应曲线图上，即可测量出振动振幅。问题1：单自由度和双自由度系统的幅频特性有何差异？问题 2：高模贡献分析。实验三： PID控制1 实验目的（1）学习 PID闭环控制结构和系统闭环传递函数计算；（2）PID控制器参数设计；（3）控制性能分析。2 实验原理上图给出闭环控制系统原理框图。单自

14、由度质量 - 弹簧-阻尼系统结构下，断 开弹簧和阻尼，仅仅保留滑块质量 m。mx f电控箱可以看做比例增益 khwkhwu其中：u 是控制器输出。 PID 控制：kpe ki edt kd e u其中：e 是比较器输出，参考输入与实际输出的偏差值。erx根据全部上式，可得闭环结构微分方程：m x khwkd x khwkp x khwki x khwkd r khwkp r khwkir对应的传递函数：x(s)(khwkd )s (khwkp )s (khwki )32r(s) ms (khwkd)s (khwkp)s (khwki )3 PID 设计PID 控制器中设置积分因子 ki为零，则

15、为 PD控制。传递函数变为：x(s)r(s)khwkd s khwkp mm s2 khwkd s khwkp mm闭环特征方程是分母：2m设计频率 =4Hz，三种阻尼（欠阻尼 =0.2 ，临界 =1.0 ，过阻尼 =2.0 ）的控制器设计。=4 Hzkhwkpkhwkd=0=0.2=1=2.04 实验4.1 频率（ 1）在控制器断开的情况下， 拆除与质量块 1连接的弹簧， 使其余元件远离质量块 1的运动范围，为其安装 4个500g的铜块，加上小车本身的质量，标定总质量 m=2.6kg。（ 2）实验标定 khw值：根据估计出的 khw值，设置控制器 ki=0和kd=0，调整 kp来估 计系统系

16、统频率 =4Hz。注意： kp不能大于 0.08。（ 3）闭合控制器开关；点击 Data菜单，选择 Data Acquisition,设置选取 Encoder#1 和Commanded Position information；点击Command菜单，选择Trajectory，选取 step， 设置（0）counts,dwell time=3000ms,（1）rep。（ 4）点击setup菜单，选择Control Algorithm ，设置选择 Continuous Time Control， Ts=0.0042,选取PID，进入Setup Algorithm，输入kp的值（ki=0和kd=0

17、）（输入的 值不能大于 kp=0.08），然后 OK。移动质量块 1到-0.5cm的位置（规定，朝电机方 向为负）选择 Implement Algorithm ，然后 Ok。注意：从此步开始的每一步， 要进行下一步之前， 都要与运动装置保持一定的安 全距离；选择 Implement Algorithm 后，控制器将会立即加载，若出现不稳定的或 者很大的控制信号时，运动装置可能反应很剧烈；若加载后，系统看上去稳定， 要先用一轻质不尖锐的物体轻轻碰触质量块以验证其稳定性。（5）点击Command菜单，进入 Execute，用手将质量块移动到 2cm左右的位置， 点击 Run,移动质量块大约到 3c

18、m位置，然后释放（不要拿着质量块多于一秒，以 免电机过热而断开控制）。（6）点击Plotting菜单，选择 Setup Plot，选取Encoder #1；然后点击 Plotting菜单， 选择Plot Data，则将显示质量块 1的时间响应曲线。试想一下，若将比例增益系数 kp 增加一倍，则系统的响应频率将有什么变化？4.2 阻尼（1）确定kd的值（不能大于 0.04），使得khwkd=50N/（m/s），重复步骤 4，除了输 入kd的值和 ki =0和kp=0。（ 2）先用尺子检查系统的稳定性，然后用手来回的移动质量块来感受系数kd带来的粘性阻尼的影响 （注意不要极度的迫使质量块运动， 以

19、免电机过热而断开控 制）。（3）增大的 kd 值（ kd<0.04），重复以上步骤，看能否感受到阻尼的增大？4.3 位置控制（1）控制电机驱动滑块 1 移动到某一个特定的位置，获取时间 -位移数据后，计算闭环控制特性，包括：超调量、上升时间、调节时间、稳态误差。（2）使用仿真方法计算得到同样条件下的动态响应结果，对比分析理论与实验 结果的差异。4.4 正弦激励（ 1）使用正弦输入驱动滑块作正弦运动，获取时间 -位移数据后，计算闭环控制 系统幅频特性。（2）使用仿真方法计算得到同样条件下的幅频响应结果，对比分析理论与实验 结果的差异。4.5 柔性结构控制 （1）实验台只有质量块，为刚性结构

20、机械系统。如果安装上一根弹簧，则组成 简单的柔性结构系统 （具有柔性环节） 。此时机械系统由于能量交互可能产生振 动。如何设计控制器来动态控制机械振动。实验四：扰动抑制1 实验目的（1）外扰动设置； （2）PID控制器设计；（3）控制性能分析。2 实验原理kikpkdshws12 ms上图给出闭环控制系统原理框图。单自由度质量 - 弹簧-阻尼系统结构下，断 开弹簧和阻尼，仅仅保留滑块质量 m。位移输出受到外扰动 d 干扰。mx电控箱可以看做比例增益 khw10khwu其中： u是控制器输出。 PID 控制：kpe ki edt kd e u 其中： e 是比较器输出，参考输入与实际输出的偏差值

21、。erx根据全部上式，可得闭环结构微分方程：mx khwkd x khwkpx khwki x khwkd r khwkpr khwkir d对应的传递函数：2d(s)(khwkd )s (khwkp)s ( khwki )sx(s) 3 2 r(s) 3 2ms (khwkd ) s (khwkp)s (khwki )ms (khwkd)s (khwkp)s (khwki)3 PID 设计PID 控制器中设置积分因子 ki为零，则为 PD控制。传递函数变为： 附件 1: 实验 1 仿真代码闭环特征方程是分母：x(s)r(s)khwkd s khwkpmms2 khwkd s khwkp mm

22、2m2 khwkp11% exp 1clcclearglobal SK SC SM SF;sampling=1/1000;SK=200;SC=0;SM=2.6;State=zeros(1,2);State(1)=1;State(2)=0.0;sss=zeros(1,1);for k=1:fix(5/sampling) t=k*sampling;sss(k,1)=t; %timeSF=0; sss(k,2)=SF;TimeOdeArray,VarOdeArray = ode45( mdlDerivatives1, t t+sampling,State);m,n=size(TimeOdeArray

23、);TimeAtEndOfArray = TimeOdeArray(m,1);if ( abs(TimeAtEndOfArray - (t+sampling) ) >= abs(0.001*sampling) ) warning( 'numerical integration failed'); break ; endVAR = VarOdeArray(m, : );%ò?2?3¤?áê ? ?×ì?State=VAR; %3?ê?×ì ?ü D?DD?ò?

24、52;ú sss(k,3)=VAR(1); % response sss(k,4)=VAR(2); % velocityendplot(sss(:,1),sss(:,2),'r' ,sss(:,1),sss(:,3),'k' ,sss(:,1),sss(:,4),'b);% mdlDerivatives1function dx=mdlDerivatives1(T,x) global SK SC SM SF;% y(1)=x;% y(2)=xd; dx=zeros(2,1);%sloshing dynamicsdx(1)=x(2);dx(2)=S

25、F/SM-SK/SM*x(1)-SC/SM*x(2);12 附件 2: 实验 2 仿真代码% exp 2clcclearglobal SK1 SK2 SC1 SC2 SM1 SM2 SF; sampling=1/1000;SK1=200;SK2=200;SC1=0;SC2=0;SM1=2.6;SM2=2.6;State=zeros(1,4);State(1)=1.0;State(3)=0.0;sss=zeros(1,1);for k=1:fix(5/sampling) t=k*sampling;sss(k,1)=t; %timeSF=0;sss(k,2)=SF;TimeOdeArray,Var

26、OdeArray = ode45( mdlDerivatives2, t t+sampling,State);m,n=size(TimeOdeArray);TimeAtEndOfArray = TimeOdeArray(m,1);if ( abs(TimeAtEndOfArray - (t+sampling) ) >= abs(0.001*sampling) ) warning( 'numerical integration failed' ); break ; endVAR = VarOdeArray(m, : );%ò?2?3¤?áê ?×ì?State=VAR;%3?ê?×ì ?ü D?DD?ò?üússs(k,3)=VAR(1);sss(k,4)=VAR(2);sss(k,5)=VAR(3);sss(k,6)=VAR(4); end% response 1% velocity 1% response 2% velocity 2plot(sss(:,1),sss(:,2), s(:,3), 'b&