微分几何彭家贵课后题答案

1、习题一( P13)2.设 a(t )是向量值函数，证明：1)a 常数当且仅当 a(t),a (t)0；2)a(t ) 的方向不变当且仅当 a(t)1)证明：a 常数22 常数a(t), a(t ) 常数2)a (t ), a(t)2 a(t),a (t)注意到： a(t) 0 ，a(t ) 的方向不变若单位向量 e(t )a(t),a (t) 0所以a(t),a (t)0。单位向量 e(t) a(t )a(t)常向量。a(t)aa(tt) 常向量，则 e(t)0 e(t ) e (t ) 0 。反之，设 e(t ) 为单位向量，若 e(t )e(t)0，则 e(t)/ /e(t)。由 e(t)

2、 为单位向量e(t),e(t)e(t), e(t) 0 e(t)e (t ) 。从而，由ee(tt)/ee(tt)e (t) 0e(t)常向量。所以， a(t) 的方向不变单位向量e(t)aa(tt) 常向量e(t) e (t)a(t)a(t)a(t) d (a(t) dt a(t)1)a(t ) 0补充：1a(1t) 2 a(t)a(t) a (t)a (t )0 。即a(t) 的方向不变当且仅当1)1d ( ) dt a(t) a(t )a(t ) a(t) 0a(t) a (t ) 0 。定理 r(t) 平行于固定平面 的充要条件是 r(t),r (t),r (t) 0证明："

3、 "：若 r(t)平行于固定平面 ，设 n是平面 的法向量，为一常向量。于是， r (t),n 0 r (t),n 0, r (t), n 0r(t),r (t),r (t)共面 r(t), r (t),r (t) 0。" "：若 r(t),r(t),r (t) 0，则r(t),r (t),r (t)共面 。若r(t) r (t) 0则 r (t) 方向固定，从而平行于固定平面。若r(t) r(t) 0，则r (t) r(t) r(t)。令n(t) r(t) r (t),则n(t) r(t) r(t) r(t) r (t) r(t) r (t) r(t) (t)r

4、(t) (t)r (t)(t) r(t) r (t) (t)n(t) n(t) n (t) 0，又n(t) 0 n(t )有固定的方向，又 n(t ) r (t) r(t)平行于固定平面。性质( 1)证明：设 v13. 证明性质与性质。( x1, x2 , x3), v2 (y1,y2,y3),v3 (z1,z2,z3),v2 v3 (w1,w2,w3) ，则i j k v2 v3 y1 y2 y3 z1 z2 z3y2z2y1z1y1z1y2z2w1,w2, w3w1 y2z3 y3z2, w2 y3 z1 y1 z3 ,w3 y1z2 y2z1,x2x3x3x1, x1x2w2w3w3w1

5、w1w2左=v1 (v2 v3 )i j k x1 x2 x3 w1 w2 w3x2w3 x3w2, x3w1 x1w3 , x1w2 x2w1x2 y1z2 y2z1 x3 y3 z1 y1z3, x3 y2 z3y3z2 x1 y1z2 y2z1,x1y3z1 y1z3 x2 y2z3 y3z2x2z2 x3z3y1 x2y2 x3 y3 z1, x3z3 x1z1 y2x2z2 x3z3y1, x3z3 x1z1y2, x1z1 x2z2y3x3y3 x1y1z2, x1z1x2 z2 y3 x1y1 x2 y2 z3x2y2 x3y3 z1,x3y3 x1y1z2,x1y1 x2y2

6、z3x3z3 y3x2z2 x3z3 x1z1y1, x3z3 x1z1 x2z2y2, x1z1 x2z2x2y2 x3y3 x1y1 z1 , x3y3 x1y1 x2y2z2, x1y1 x2y2 x3y3z3 x1z1 x2z2 x3z3 y1, y2,y3 x2y2 x3y3 x1y1 z1, z2 , z3 v1 ,v3 v2 v1,v2 v3 右2）证明：设 v1( x1, x2, x3 ), v2(y1,y2, y3),v3 (z1,z2,z3),v4 (w1,w2,w3) ，则v1 v2ix1y1jkx2 x3y2 y3x2y2x3y3x3y3X1,X2,XX1x2 y3x3

7、y2,X2 x3y1 x1y3, X3x1y2x2 y1.ijkz2z3 , z3z1 , z1z2Y1,Y2,Y3v3 v4z1z2 z3w2w3 w3w1 , w1w2w1w2 w3Y1z2w3z3w2,Y2z3w1z1w3 ,Y3z1w2z2w1.左=v1v2 ,v3 v4X1Y1 X 2Y2X3Y3(x1y2 x2 y1)(z1w2 z2w1)(x2y3 x3y2 )(z2w3 z3w2) (x3y1 x1 y3 )( z3 w1 z1w3) x2z2 y3w3y2 w2x3z3 y1w1x3z3 x1z1 y3w3 x1z1y2w2y1w1 x2 z2 x2 w2 y3z3y2z2x

8、3w3y1z1x3w3 x1z1y3w3 x1w1y3z3 x1w1y2 z2y1z1x2w2(x1y1z1w1 x2 y2 z2 w2 ( x1y1z1w1 x2 y2 z2 w2x3y3 z3w3) x2z2 y3 w3 x3 y3z3w3 ) x2w2 y3z3y2w2x3 z3 y1w1x3z3 x1z1y3w3y2 z2x3w3 y1 z1 x3w3x1z1 y2w2x1w1 y3z3 x1w1y2 z2y1w1x2z2 y1z1x2w2(x1z1 x2z2 x3 z3 )( y1w1 y2w2v2 v4v1,v4y3w3) ( x1w1 x2w2 x3w3)( y1z1 v2 v3

9、右y2z2 y3z3 )3)证明：设 v1 (x1,x2,x3),v2 (y1,y2,y3),v3 (z1,z2,z3), ，则v1 v2x1 x2 x3x2 x3x3 x1x1 x2y1 y2 y3 X1 x2y3 x3y2, X2y2 y3 y3 y1 y1 y2X1,X2,X3x3y1 x1y3, X3 x1y2 x2y1 v3,v1,v2v3,v1 v2 z1X1 z2X 2 z3X3z1(x2y3 x3 y2) z2 ( x3 y1 x1y3) z3 (x1 y2 x2 y1) (z1x2y3 y1z2x3 x1y2z3) ( z1 y2 x3x1z2 y3 y1x2 z3)同理，v

10、3 v1z1z2z3z2z3z3z1z1 z2x1x2x3Y1 z2x3 z3x2 ,Y2x2x3x3x1x1 x2Y1,Y2,Y3z3x1z1 x3 ,Y3 z1x2 z2 x1 y1Y1 y2Y2 y3Y3v2 ,v3 , v1v2, v3y1(z2x3 z3x2 ) y2(z3x1 z1x3) y3(z1x2 z2x1) (z1x2y3 y1z2x3 x1y2z3) ( z1 y2 x3 x1z2 y3 y1 x2 z3 ) v3,v1, v2v1v2 v3i j k y1 y2 y3z1 z2 z3Z1 y2 z3 y3 z2 , Z2y2 y3z2 z3y3 y1z3 z1y1 y2

11、z1 z2Z1, Z2 , Z3y3z1 y1 z3,Z3 y1z2 y2z1v1, v2,v3v1,v2 v3 x1Z1 x2Z2 x3Z3x1( y2z3 y3z2) x2( y3z1 y1z3) x3(y1z2 y2z1) (z1x2y3 y1z2x3 x1y2z3) ( z1 y2 x3 x1 z2 y3 y1x2z3) v3,v1, v2所以， v1,v2 ,v3v3 ,v1,v2v2,v3 ,v1性质ij证明：(1)( f )x, y , z)xy ff xyff,ff,ffyzzyzxxzxyyx2f2 f ,2f2f,2f2f(0,0,0)0.yzzy,zxxzxyyxijk证

12、明：（2）FRQxyzyzPQRRQPRQPxyzyzxzxy2R2Q2P2R2Q2P0.xyxzyzyxzxzy4. 设 O;e1,e2,e3 是正交标架， 是 1,2,3 的一个置换，证明：P R , Q P z x x y个偶置换。1) O;e (1),e (2) ,e (3) 是正交标架；2) O;e1,e2,e3 与 O;e (1),e (2) ,e (3) 定向相同当且仅当1）证明：当 i j 时，(i)(j)e (i),e ( j) 0 ；当 i j 时，(i)( j)e (i ),e ( j)1，所以，O; e (1),e(2) , e (3)是正交标架。2）证明：A)当(12

13、)(1) 2, (2)1, (3)3010e (1) , e(2) , e (3)e2,e1, e3e1,e2, e3100,det001B)当(13)(1) 3, (2)2, (3)1001e (1) , e(2) , e (3)e3,e2, e1e1,e2, e3010,det1000101 0 0 1;0010010 1 0 1;101C)当(23)(2) 3, (3) 2, (1) 1100100e (1),e (2) ,e (3)e1 , e3, e2e1,e2,e3001 ,det001 1;010010D) 当(1) (12)(12) ，此时，O;e (1),e (2) ,e(3

14、)O;e1,e2e3 ；E) 当(123)(12)(13)(1) 2,(2)3,(3)1,001001e (1),e(2) ,e (3)e2,e3,e1e1,e2,e3100,det100 1;010010F) 当(132)(13)(12)(1) 3,(3)2,(2)1,010001e (1),e(2) ,e (3)e3, e1, e2e1,e2,e3001,det100 1.100010所以，O;e1,e2,e3 与 O;e (1)e (2) ,e (3定向相同当且仅当是一个偶置换。习题二( P28)224a2t2 dt=2asec3 d12|a|I sec3 d(sec tan2 sec

15、)dtan dsecsec dtansec3 secsec dtan sec I sec dI tan sec2ln |sec tan | C1. 求下列曲线的弧长与曲率：(1) y ax2xx解： r(x) (x,ax2) r (x) (1,2ax) l(x)r (t)dt 1 4a2t 2 dt00令2|a|t tan , 1 4a2t2 sec ，则1 2|a|t 1 4a2t2 ln 2|a|t 1 4a2t2 C2所以，1 4a2t2 dt12a3sec2|1a|I4|1a|2|a |t 1 4a2t2 ln 2|a|t 1 4a2t2l(x)r (t) dt 1 4a2t2 dt0

16、1 2| a| x 1 4a2x24|a|ln 2|a| x 1 4a2x2证明： r(t) (x(t),y(t) r (t) (x (t),y (t)(t)(x(t),y (t)t(s)n(s)drdtdtr (t) (x(t), y(t)dsdsds( y(t),x(t) dtdst&(s)d 2r d ds2 dsdtr (t) ddtsdt(t) ddtsd2t(t) dds2tt&(s)r (t)(s)n(s)2dt 2dsd2t(t)ds2(s)(dty(t),x(t)ddstx (t ) dt dsy (t) ddst dsx(t) d2tx (t ) 2 dsy

17、 (t) d 2ty (t) 2 ds(s)y(t) dtds(s)x(t)ddts2. 设曲线 r(t) (x(t), y(t ) ，证明它的曲率为3(x )2 (y)2 2(t) x (t)y (t) x (t)y (t)dt 2d 2tx (t) x (t) 2 dsds( s) dt dt y (t ) dsdt 2dtx(t)y (t) dt x (t)y(t) dt dsds2 2 dt(y ) (x)dsdt 2d 2ty (t)y (t) 2dsdsdtx (t )dsx(t)y (t) x (t)y(t)(y )2 (x)2 ddtsdt由ddts |r(t)| (x )2

18、( y )2(s)x(t)y (t) x (t)y(t) ,即3(y)2 (x )2 2 (t) x(t)y (t) x (t)y(t)3(y )2 (x)2 23. 设曲线 C 在极坐标下的表示为 rf() ，证明曲线C的曲率表达式为()2f 2( ) 2 ddf 2 d)d2f2) d 2322 f 2( )ddf 2 2df(证明： x r cos f ( )cos , y r sin f ( )sinr( ) (f( )cos , f( )sin )r ( ) ( f ( )cos f ( )sin , f ( )sin f ( )cos )r()( f ( )cos f ( )sin

19、 , f ( )sinf ( )cos )(f( )cos2 f ( )sinf ( )cos ,( )sin2 f ( )cos所以， x f ()cosf ( )sin ； y f ( )sinf ( )cos；x f ()cos2 f ( )sin f ( )cos ；f ( )sin )y f ( )sin 2 f ( )cos f ( )sin因此，xyxyf ( )cosf ( )sinf ( )sin 2 f ( )cosf ( )sin(y )2(x)2f ( )sinf 2( ) 2f ( )cos22 f (f()f()cos 2 f ( )sinf ( )cosf ( )

20、cos2f()2f(2 f( ) 2)sinf ( )sinf ( )cosx ( )y(3(x)2 (y )2 222 df 2df 2( )df df( )dd2f2d3224. 求下列曲线的曲率与挠率：4) r(t) (at, 2aln t,a) (a t0)解： r (t ) (a,t2a , ta2 ), r (t)(0,2a 2at2t3 ), r(t)(0, 2t32a6t4a)；r (t)r (t )j2at2at2at22at3r (t ) r(t)2ta8 4ta62a4t4r (t )a2222aaa242t2t4t 2t2 1r , r ,r( 2a 2( t 42a2

21、t3所以，(t)r (t)r (t) r (t) 32a2 t42a2t32a2t224a 1 2t 2 t t4t22a2),(0, 2t32a,2a2t43 a2 t 2 1 t2 t 1t2242a2 t46a t42 2a3 t6 。2a2 t 2 t4 t a3 2 3 at6 t 2 12t2 a t 2 1(t)2r ,r ,r 2 2a32a2 t 2 1264 t 1r (t) r (t) 2t6t4t22。215. 证明：3E3的正则曲线 r (t)的曲率与挠率分别为(t)r (t ) r (t)3r (t) 3r , r ,r(t) r ,r ,r证明： drdsdr d

22、t dt dst(s) r&( s)dt 2 ds t&(s) r (t) dtdst&(s) r (t )dt r (t )dsr (t) dds2t2 dsdt d 2t(t) 2 ds ds23rr (t) dds3t3ds根据弗雷内特标架运动方程t dn dsb，得：t&(s)(s)n(s)n(s)(st&(s)b(s) t (s)n(s)1(s t(s) t&(s)1(s)r (t) ddst ds(t)2 dt ds(t) dds2tds1(s)dtds3r (t)r (t )3 dt ds3 dt 3 (s)ds1(s)(t)r (

23、t)r (t)r (t )t&(s) (s) n( s) 由n&(s)= (s)t(s) (s)b( s) t&( s) &( s)n( s) (s) (s)t(s)&(s)n(s) 2t&(s),b(s)&(s)n(s)r (t ) r (t )3 ds dt(s)n&(s)(s)b(s)(s)t(s) ( s) ( s)b(s)(s) (s)r (t )r (t)r (t) 3因为 t&( s),b(s)r (t)dt 3 ds3r (t) ddst ddst2 r (t) ddst3 , 1ds ds ds(s)dd

24、st r (t)dsr (t)61 dt 6(s) dsr,r,r所以， (s) ( s)=(s)dtds,rr ,r , r(s)= r ,r2(,sr)dtdsr ,r , r2。rr6证明：曲线r(s)(133s)23(1 s) 2( 1 s 1)以 s 为弧长参数，并求出它的曲率，挠率与Frenet 标架。证明：11)r(s)(1 2s)1(1 s) 2,12 , 21 s 1)所以，t&(s)r (s)(1 s)(1 s)41(s 1)该曲线以s 为弧长参数。1(s) (1 4s) 2 41(1 s) 24,01)(s)(1 s) 116(1 s) 116128(1 s2)n

25、(s)t&(s) (s)2(1 s)(11s)2,2(1s)(11s)2,0b(s)t (s) n(s)i1(1 s)2(121s)22(1s)(11s)22(1s)(11s)212(1 s)(1 s)2 ,s)(11s)2,4(11s2)2由 n&( s)1 3s ,1 3s ,0 及1 s 1 s11b(s) 2(1 s)(1 s) 2, 2(1 s)(1 s) 2,4(11s2)2(s) n&(s), b(s)1 3s 1 3s, ,0 , 1s1s12(1 s)(1 s) 2, 2(1 s)(11s)2,4(11s2)211 3ss 2(1s)(11s)21 3

26、s1s2(1s)(11s)2所以，2) (s)3)所求t(s)n(s)b(s)3s)(11s2)22(13s)(11s2)22 2(11s2)218(1Frenet1(1 s) 22s2),(标架是2(1 s)(11s1)；(s)2 2(11s2)2，1s1)。(1r(s);t(s), n(s),b(s) ，其中1s) 2 12 , 21)，1s)2 ,2(1 s)(11s)2,01)，2(1 s)(1 s)2 , 2(11s)(1 s)2 ,4(11s2 )2 (s 1) 。310.设T(X ) XT P是 E3中的一个合同变换， detT31。r(t)是 E3中的正则曲线。求曲线 r% T

27、or与曲线 r 的弧长参数、曲率、挠率之间的关系。t解：(1) S%(t)r%( ) d0d(Tor)d dd(rTP)d可见， r% Tor与曲线 r 除相差一个常数外，有相同的弧长参数。2) %(t )r%(t) r%(t )r%(t)r (t)T r (t )T3r (t)T 3sgn(det T) r (t) r (t ) Tr (t) 3r (t) r (t )r (t) 3可见， r% T or 与曲线 r 有相同的曲率。r( )Td0r( )d0S(t)(t)3) %(t)r%,r%,r%2r%(t ) r%(t )r T, r T,r Tr (t )T r (t)T 2r T,

28、 r T r Tr (t) r (t) 2r )Tr (t) r (t) 2 r T,( r r )Tr T ,sgn(detT )(rsgn(detT )r (t) r (t) 2r )Tr (t) r (t) 2 r ,( r r )2sgn(detT) r T,sgn(detT)(rsgn(detT) r (t) r (t)sgn(detT )r , r ,rr (t) r (t) 2r , r ,rr (t) r (t) 2 (t)可见， r% Tor与曲线 r 的曲率相差一个符号。13. (1)求曲率 (s) 2 a 2 ( s是弧长参数)的平面曲线 r(s) 。 a 2 s2解：设

29、所求平面曲线 r(s) x(s),y(s) 因为 s是弧长参数，所以|r (s) | 1x (s)222 y (s) 2 1可设 x (s) cos ,x (s)sin，由曲率的定义，知a22asa2 2 ds asda( s)2 2ds a sss x ( s) cos(arctan ), x ( s) sin(arctan ) ads arctan sasx(s) cos(arctan ) dsads1 tan2 (arctan s )1 2 ds21 as221aa2ds aln(s a2 s2 ) s2sy(s) sin(arctan ) dsa1 cos2 (arctan s) 2d

30、ss ds sec2 (arctan )2asa2s ds1 tan2 (arctan s) 2adsa2 s22s所以，所求平面曲线 r (s) aln(s a2 s2 ), a2 s2) 。(2cos t ,2sin t , t )2220.证明：曲线r (t) (t 3sint,2cost, 3t sin t)与曲线 r%(t)是合同的证明：1)对曲线 C%:r% r%(t)作参数变换 t 2u ，则r% (2cos u,2sin u, 2u)。 可知 C%是圆柱螺线 ( a 2,b 2 ) ，它的曲率和挠率分别为 % 41， % 14 。 因此，只要证明曲线 C: r r(t)的曲率4

31、1，挠率14 ，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合。2)下面计算曲线 C 的曲率 与挠率 。由r (t) (1 3cost, 2sin t, 3 cost) |r (t)| 2 2 ，进而 r (t) ( 3sint, 2cos t, sint)r (t) r (t) (2 3cost 2, 4sin t, 2 3 2cos t) 2(1 3 cost ,2sin t, 3 cost)1rv (t )|r (t) r (t)| 4 2 1 。( 3 cost , 2sin t,cost)rv(t),rv (t),rv (t)21. 证明：定理定理 设 (s) 0 是连续可微函

32、数，则(1) 存在平面 E2的曲线 r(s)，它以 s为弧长参数， (s) 为曲率；( 2) 上述曲线在相差一个刚体运动的意义下是唯一的。 证明：先证明( 1)，为此考虑下面的一阶微分方程组drdse1(s)(1.1) ddes1(s)e2(s)de2ds(s)e1(s)给定初值 r 0 ,e10, e20 ，其中 e10 ,e20 是 E2中的一个与自然标架定向相同的正交标架，以及s0 (a,b) ，则由微分方程组理论得， (1.1)有唯一一组解 r ( s); e1 ( s), e2 (s) 满足初始条件：r (s); e1 (s), e2 (s) |s s0 r0;e10,e02 。若

33、r ( s)为所求曲线，则 e1 (s), e2 (s) 必是它的 Frenet标架。因此，我们首先证明e1 (s),e2(s)s (a,b)均是与自然定向相同的正交标架。将微分方程组 (1.1) 改写成(1.2) ddesi2aij ej(s), i 1,2 j1其中aij 2 20(s)(s) 。0是一个反对称矩阵，即aijaji0 i, j 1,2.令(1.3)gij (s)ei (s),ej (s)( gij )i, j 1,2.对 (1.3)求导，并利用 (1.2) 有：(1.4) d gij (s) d ei (s), e j ( s)d ei(s),ej (s)ds ds ds2

34、ei(s), ajkek (s)k12ajk ei(s),ek (s) k12ajk ek(s),ei (s) k1ei(s),ddsej(s)ek (s),ej(s)2aik ek ( s), ej (s) k12aik ek ( s), ej (s) k12aik gkj (s) ajkgki(s)i, j 1,2.k1(1.4)表明 gij (s) i , j 1,2是微分方程组 (1.5)(1.5)dds fij(s)2aik fkj(s) ajk fki(s) i,j 1,2. k1的解。定义 ij1, i0, ij;j.i 1,2. 则ddsij 0,i, j1,2.且aikkja

35、 jkkik1ddsijk1所以，ij , iaik( a1k k1a1kk1 )a11a110, ij(a2k k 2a2kk2)a22a220,ij(a1k k 2a2kk1)a12a210, i1,j(a2k k 1a1kk2)a21a120, i2,jjk ki ,i , j1,21221k1akjk12k12k121,2.是微分方程组 (1.5) 的解。i,j 1,2是微分方程组 (1.5)注意到： gij (s0) i,j 1,2 ij i,j 1,2 ，所以 gij (s)满足初始条件 gij (s0)i,j 1,2 ij i,j 1,2 的唯一解。从而gij (s)ij, i,

36、j 1,2.所以， e1 (s),e2 (s)s (a, b)均是正交标架。由 于 F(s) e1 (s),e2(s),e1 (s) e2(s)s (a,b) 是 关 于 s 的 连 续 函 数 ， 且F (s) 1或-1。故由F(s0) e1 (s0 ), e2 ( s0 ), e1 (s0) e2(s0) =1知，F(s) e1 (s),e2(s),e1 (s) e2(s) =1， s (a,b)。可见， e1 (s),e2 (s)s (a,b)均是与自然定向相同的正交标架。于是由微分方程组 (1.1) 有：drdse1dr(s) =1，这表明 s为弧长参数。从而由e1 (s)推出 t(s

37、) e1(s) 是ds单位切向量。由 de1(s)e2(s)推出 (s) de1 t&(s)是曲线 r ( s)的曲率，从而 由ds dsde11 de(s)e2(s) 推出由 n(s)t&(s)e2(s) ，即 e2(s) 是单位正法向量。ds( s)(s) ds可见， 微分方程组 (1.1) 的满足初始条件：r (s); e1 (s), e2 (s) |s s0 r0;e10,e20唯一一组 r (s);e1 (s),e2 (s) 的确表明：存在平面 E2的曲线 r(s) ，它以s为弧长参数，(s) 为曲率，当 (s) 是连续可微函数时。再证明( 2)：设 r1(s)与 r

38、2(s) 是平面 E2中两条以 s为弧长参数的曲线，且定义在同一个参数区间 (a,b)上， 1(s) 2(s) 0 s (a,b) 。则存在刚体运动T(X) XT P把曲线 r2(s)变为 r1(s)，即 r1 Tor2。证明开始：设 0 (a ,b) ，考虑两条曲线在 s 0 处的 Frenet 标架r1(0);t1 (0), n1 (0) 与 r2(0);t2(0),n2(0) 。则存在 平面 E 2中一个刚体运动 T把第二个标架变为第一个标架， 即r1与Tor2在 s 0处 的 Frenet 标架重合。因此我们只须证明当曲线 r2(s) 与 r1(s) 在 s 0 处的 Frenet 标

39、架重合时， r2 r1 。曲线 Frenet 标架的标架运动方程为(1.6)drdst(s)dtds(s)n(s)dnds(s)t(s)曲线 r2 (s) 的 Frenet 标架 与 r1(s) 的这是一个关于向量值函数 r,t,n 的常微分方程。Frenet 标架都是 微分方程组 (1.6) 的解。它们在 s 0 处重合就意味着这两组解在s 0 的初值相等，由解对初值的唯一性定理立即得到 r2 r1 。定理证明完成习题三( P68)2(1) r (u,v)a(uv), b(u v),4uv 是什么曲面？x a ( u 解： y b( u z 4uvv)v)22x2 y2 z 马鞍面a 2 b

40、24.证明：曲面 F( y,z)xx0的切平面过原点。证明：无妨假定方程F(y ,z) 0确定一个 xxf (x, y) 的隐函数，于是yzF ( , )xxF1( y2 ) F2 (xF1 ( 1) F2xxf2)x(1x fy )x1x fx xyF1 zF2xF2F1F2设 r( x, y)x,y, f(x,y) ，则rx 1,0, f1,0,yF1 zF2xF2ry0,1, f y0,1, F1ryyF1 zF2xF2F1F2yF1 zF2 , F1 ,1xF2 , F2 ,1所以， P(x,y,z) 处的切平面为yF1 zF2xF2 ( Xx)F1 (Y y)F2(Zz)易见，当 (

41、X ,Y,Z)(0,0,0) 时，有：左=yF1 zF2xF2(0x) F1 (0F2y)(0z)yF1F2zF2 yF1zF2F2=0= 右所以结论为真。6. 证明：曲面S在 P 点的切平面TPS等于曲面上过 P 点的曲线在 P点的切向量的全体。证明 ：设曲面 S的参数方程为 r r(u,v), (u,v) D ， Pr(u0,v0),(u0,v0) D 。令(u(t),v(t)为参数区域 D中过 (u0,v0) 则的参数曲线， r(t) r(u(t),v(t)为曲面上过 P点的曲线。于是drdtduP ru(u0,v0) dtdvP rv(u0,v0) dt这表明曲线r(t) r(u(t)

42、,v(t)过 P点的切向量drdtP 都可由 ru(u0,v0)与 rv(u0,v0) 线性表出。可见过P 点的切向量 drdtP 都在过 P 点的切平面上。另一方面，对于任意切向量wru(u0,v0)rv (u0,v0) TPS，在参数区域D中取过 (u0,v0) 且方向为 l ( ,) 的参数曲线(u(t),v(t) (u0t,v0t)则此时，r(t) r (u(t ), v(t) r(u0t,v0t)从而drdtP ru(u0,v0)rv(u0,v0)w。这表明：在 P点的切平面 TPS中每一个向量都是过 P 点的某一曲线的位于 P 点的切向量。于是：曲面 S在 P点的切平面 TP S等

43、于曲面上过 P点的曲线在 P 点的切向量的全体。25. 求双曲抛物面 r(u,v) a(u v),b(u v),4uv 的Gauss曲率 K ，平均曲率 H ，主曲率1, 2 和它们所对应的主方向 .解： 由ru (a,b,4v) ， rv(a,b,4u)Eab2 16v2， F ab216uv，a2 b216u2。其中由 ruu2 2b(u v), 2a(u22EG F 2 82b2(u0，ruv (0,0, 4)，v),v)2ab ，2a2(uv)22EG F 222a2b2 。0, M2b(u v), 2a(u v), ab ，8ab。EG F 22LN M 2 K2EG F 22264

44、a2b222 EG F 2于是 Gauss 曲率 K ：22a b ， 2， 2b2(u v)2 2a2(u v)2 a2b2平均曲率 H ：MFEGF28ab( a2 b2 16uv)(EG F 2)3/2ab(a 2 b2 16uv)224b 2(u v)24a 2(u v)2 2a2b 2因为 M0，所以M 2F 2 (LN M 2)(EG F2)EG F 2 2M 2EGEG F 2 2M EG ，EG F 2 ，所以主曲率 1 ：M(FEG)EG F 2ab (a2 b2 16uv) (a2 b2 16u2)(a2 b2 16v2)对应的主方向为du : dv其中1F所以同理，224b2 (u v)2( 1F M ):(MMF (FEG)du :dv另一个主曲率4a2 (u1E L)M (EGEG F 2M EG(