必修四平面向量的实际背景及基本概念

1、.平面向量的实际背景及基本概念 学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示， 了解有向线段与向量的联系与区别， 会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念知识点一向量的概念数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量注意：向量的两个要素： 大小和方向， 缺一不可 解题时，注意从两个要素出发考虑问题数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小思考 已知下列各量：力；功；速度；质量；温度；

2、位移；加速度；重力；路程；密度其中是数量的有 _ ，是向量的有 _ 答案 知识点二向量的表示方法(1) 向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示以 A 为起点、 B 为终点的有向线段记作AB.(2) 向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c ，表示 (印刷用黑体a， b， c，书写时用，ab ，c )的大小：也就是向量 AB的长度 (或称模 )，即有向线段 AB的长度，记作|AB|.长度为(3) 向量 AB0 的向量叫做零向量，记作0；长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量思考在同一平面内， 把所有长度为1 的向量的

3、始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是 _答案单位圆知识点三相等向量与共线向量(1) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(2) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量记法：向量 a 平行于 b，记作 ab.规定：零向量与任一向量平行(3) 共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量也就是说， 平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆思考向量平行具备传递性吗？答案向量的平行不具备传递性，即若 a b，b c，则未必有a c，这是因为， 当 b0 时，a、c 可以是任意向量，但

4、若b 0，必有 a b，b c? a c.因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”题型一向量的基本概念例 1 判断下列命题是否正确，并说明理由若 a b，则 a 一定不与 b 共线； 若 AB DC ，则 A、 B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点；在平行四边形 ABCD 中，一定有 AB DC ；若向量 a 与任一向量 b 平行，则 a 0；若 a b， b c，则 a c；若 a b， b c，则 ac.解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与 b 有共线的可能， 不正确 在平行故 不正确 AB DC，

5、A、 B、C、 D 四点可能在同一条直线上，故四边形 ABCD 中， |AB与 DC平行且方向相同，故AB DC， 正确 零向量的| |DC|，AB方向是任意的，与任一向量平行， 正确 a b，则 |a| |b|且 a 与 b 方向相同； b c，则|b| |c|且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 方向相同且模相等，故a c， 正确若 b 0，由于 a的方向与 c 的方向都是任意的，a c 可能不成立； b 0 时， a c 成立，故 不正确跟踪训练1下列说法正确的有_(1) 若 |a| |b|，则 a b 或 a b； (2) 向量 AB与CD 是共线向量，则 A、 B、C、 D 四点

6、必在同一条直线上； (3) 向量 AB与BA 是平行向量；(4) 任何两个单位向量都是相等向量.答案(3)解析(1)错误由 |a| |b|仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它们方向的关系(2) 错误共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量、CD 必须在同AB一直线上，因此点A、 B、C、 D 不一定在同一条直线上(3) 正确向量 AB和 BA是长度相等，方向相反的两个向量(4) 错误单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同题型二向量的表示及应用例 2一辆汽车从 A 点出发向西行驶了100 km 到达 B 点，然后又改变方向向

7、西偏北50°走了 200 km 到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达 D 点(1) 作出向量 AB、BC、CD；(2) 求|AD |.解 (1) 向量 AB、 BC、 CD 如图所示 (2) 由题意，易知 AB与CD 方向相反，故AB与 CD 共线，又|AB| |CD|，在四边形 ABCD 中， AB 綊 CD .四边形 ABCD 为平行四边形AD BC， |AD | |BC| 200 km.跟踪训练2在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1) 试以 B 为终点画一个向量b，使 b a；(2) 在图中画一个以A 为起点的向量c，使 |c|5，并

8、说出向量c 的终点的轨迹是什么？解(1) 根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略 )(2) 由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径为 5的圆 (作图略) .题型三平行向量与共线向量例 3如图所示， ABC 的三边均不相等，E、F、 D 分别是 AC、AB 、BC 的中点(1) 写出与 EF共线的向量；(2) 写出与 EF的模大小相等的向量；(3) 写出与 EF相等的向量解 (1) 因为 E、F 分别是 AC、 AB 的中点，1所以 EF 綊 2BC.又因为 D 是 BC 的中点，所以与 EF共线的向量有：FE， BD，DB ， DC ，

9、 CD ， BC， CB.(2) 与 EF模相等的向量有：FE，BD，DB，DC，CD.(3) 与 EF相等的向量有：DB 与CD .跟踪训练3如图，已知四边形ABCD 为 ?ABCD ，则(1) 与 OA的模相等的向量有多少个？(2) 与 OA的模相等，方向相反的向量有哪些？(3) 写出与 AB共线的向量解(1) 与OA的模相等的向量有AO， OC， CO三个向量(2)与 OA的模相等且方向相反的向量为OC， AO.(3) 与 AB共线的向量有 DC ， CD， BA.对向量的有关概念理解不清致误例 4下列说法正确的个数是()向量 a，b 共线，向量 b，c 共线，则 a 与 c 也共线；任

10、意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合； 向量 a 与 b 不共线， 则 a 与 b 都是非零向量； 有相同起点的两个非零向量不平行A1B2C3D4错解 向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同 (包括起点、终点 )，同起点共线向量不是平行向量答案B或C或D错因分析对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同正解 事实上，对于 ，由于零向量与任意向量都共线，因此 不正确；对于 ，由于向量都是自由向量， 则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故不正确；对于 ，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故 不正确； a 与 b

11、 不共线，则 a 与 b 都是非零向量，否则，不妨设a 为零向量，则a 与 b 共线，与a 与 b 不共线矛盾，从而正确答案A1下列说法错误的是()A 若 a 0，则 |a| 0B零向量是没有方向的C零向量与任一向量平行D 零向量的方向是任意的2下列说法正确的是()A 若 |a|>|b|，则 a>bB 若 |a| |b|，则 a bC若 ab，则 a 与 b 共线D若 ab，则 a 一定不与 b 共线3如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量 AB与DC 的关系是 ()A.AB DCB |AB| |DC | C.AB>DCD.AB<DC.4.如图所示，以1&#

12、215;2 方格纸中的格点(各线段的交点 ) 为起点和终点的向量中(1) 写出与 AF、 AE相等的向量；(2) 写出与 AD 模相等的向量5如图所示，在四边形 ABCD 中， AB DC，N，M 分别是 AD ，BC 上的点且 CN MA，求证：四边形DNBM 是平行四边形.一、选择题1下列条件中能得到a b 的是 ()A |a| |b|B a 与 b 的方向相同C a 0， b 为任意向量D a 0 且 b 02下列说法正确的是()A 若 a b，则 a 与 b 的方向相同或相反B若 ab， b c，则 a cC若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D若 a b， bc，则 ac3命题“

13、若 a b， b c，则 a c” ()A 总成立B当 a0 时成立C当 b0 时成立D当 c0 时成立4如图，在四边形 DC，则图中相等的向量是 ()ABCD 中，若 ABA.AD与CBB.OB与 ODC.AC与 BDD.AO与 OC5若 a 为任一非零向量，b 为模为 1 的向量， 下列各式： |a| |b|；a b； |a| 0； |b|±1，其中正确的是 ()A BCD 6判断下列命题中不正确的是命题个数为()若向量 a 与 b 同向，且 |a|>|b|，则 a>b ；若向量 |a| |b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；对于任意 |a| |b|，且

14、 a 与 b 的方向相同，则 a b；向量 a 与向量 b 平行，则向量a 与 b 方向相同或相反A 1B 2C3D 4二、填空题7若对任意向量b，均有 ab，则 a 为 _8给出以下5 个条件： a b； |a| |b|； a 与 b 的方向相反； |a| 0 或 |b| 0； a 与 b 都是单位向量其中能使 a b 成立的是 _ (填序号 ).9在四边形 ABCD 中， ABDC且|AB| |AD |，则四边形的形状为 _10已知在边长为2 的菱形 ABCD 中， ABC 60°，则 |BD| _.三、解答题11一辆消防车从A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30&

15、#176;方向行驶2千米到 D 地，然后从 D 地沿北偏东 60°方向行驶6 千米到达 C 地，从 C 地又向南偏西 30°方向行驶 2 千米才到达 B 地 (1) 画出 AD， DC， CB， AB；(2) 求 B 地相对于A 地的位置向量12如图，已知AA BB CC .求证：(1) ABC AB C； (2) AB AB ，AC A C .13 O 是正方形 ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：(1) 分别找出与 AO，BO 相等的向量；(2)找出与 AO共线的向量；(3)找出与 AO模相等的向量；(4) 向量 AO与

16、CO是否相等？.当堂检测答案1 答案B解析 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B 是错误的2 答案C解析 A 中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|>|b|，但 a 与 b 的方向不确定，不能说a>b， A 不正确；同理 B 错误； D 中， a b，a 可与 b 共线故选 C.3 答案B解析4.解|AB|与 |DC |表示等腰梯形两腰的长度，故相等 (1) AF BE CD， AE BD .(2)DA， CF， FC.5证明 ABDC，四边形 ABCD 为平行四边形， AD，BC 平行且相等又 CN MA ， 四边形 CNAM 为平行四

17、边形，AN ，MC 平行且相等， DN ， MB 平行且相等，四边形 DNBM 是平行四边形当堂检测答案一、选择题1 答案D2 答案D3 答案C解析 当 b 0 时，不一定成立，因为零向量与任何向量都平行4 答案D 解析 AB DC ， 四边形 ABCD是平行四边形， AC、 BD 互相平分， AO OC.5 答案B解析 a 为任一非零向量，故|a| 0.6 答案C解析 不正确因为向量是不同于数量的一种量它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故 不正确不正确由 |a| |b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向正确 |a| |b|，且 a 与 b 同向由两向量相等的条件

18、可得ab.不正确因为向量a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不确定.二、填空题7 答案零向量8 答案解析相等向量一定是共线向量， 能使 a b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，能使 ab；零向量与任一向量平行， 成立9 答案 菱形解析ABDC，AB 綊 DC四边形 ABCD 是平行四边形，|AB| |AD|， 四边形 ABCD 是菱形10 答案 23解析1易知 AC BD，且 ABD 30°，设 AC 与 BD 交于点 O，则 AOAB 1.在 RtABO23.中，易得 |BO| 3， |BD |2|BO| 2三、解答题11 解 (1)向量 AD ， DC ，CB，AB如图所示(2) 由题意知 AD BC，AD 綊 BC，则四边形 ABCD 为平行四边形，AB DC ，则 B 地相对于 A 地的位置向量为 “ 北偏东 60°， 6 千米 ”12 证明(1)AA BB ，|