极坐标与直角坐标、普通方程与参数方程的互相转化

1、极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化、直角坐标的伸缩 设点P（x, y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换xx,0）C、的作用下，点P（x, y）对应到点P（x,y）,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩yy（0）变换，简称伸缩变换平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示在伸缩变换Error!下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）.【强化理解】曲线c经过伸缩变换冷用后，对应曲线的方程为:x2+y 2=1，则曲线C的方程为（321V =3yD. 4x2+9y 2=12 2 2 2 A. B.1 C.1【解答】解：曲线C经

2、过伸缩变换 它”后，对应曲线的方程为：x）+y（=1,32#32#把代入得到：I I故选：A2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x2+ 9y2= 36变成曲线x2 + y 2=1.32#32#【解答】解：设变换为机x（金（入 0），（利（卩 0 ），将 4x2 + 9y2 = 36 变形为 x + y = 1，94 可将其代入x2 + y 1，得*x2+y2 = 1.32#,1x x,所以 3 将椭圆4x2 + 9y2 36上的所有点的横坐标变为原来的1，纵坐标变为原来的1,32亦可利用配凑法将x,4* + 9y2 36 化为 x1，与x2 +屮一1对应项比较即可得x

3、1.公式:(1)极坐标与直角坐标的互化公式如下表:点M直角坐标x,y极坐标 ，互化xcos2 2 2x y公式ysinytan x 0x已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标2.极坐标与直角坐标的转化(1)点：有关点的极坐标与直角转化的思路A :直角坐标x,y化为极坐标,的步骤2 2 2x y运用tany x 0x在0,2内由tan x 0求 时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限.3cosB:极坐标 ,化为直角坐标x,y的步骤，运用y sin(2 )直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路A :直角坐标转化成极坐标x cos思路：直接利用公式，将式子里面的x和y用cos和sin转化，最

4、后整理化简即可y sin例如：x+3y-2=0 :用公式将x(和y转化，即 cos 3 sin - 20B:极坐标转化成直角坐标类型：直接转化-直接利用公式转化例如：p(：2cos 0+ sin 9) = 1思路：第一步：去括号，pV2cos 0+ psin 0= 1x cos第二步：用公式转化，即J2x y 1y sin类型：禾I用三角函数的两角和差公式，即 2 sink或2 cosk思路：第一步：利用两角和差公式把sin( 0a)或cos 0a化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简x cos第二步：利用公式y sin转化例如：直线I的极坐标方程是2 sin 3爲3解：第一步：利用两角和差

5、公式把sin( 0 0或 cos 0)化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，即2(sin cos cos sin) 3(32(-sin cos )3j3sin J3 cos3p33322x cos第二步：第二步：利用公式y sin转化sin .3 cos 3 . 3即 y3x 3 .3,. 3x y 3. 3 0类型：（为倾斜角，可以是特殊 角可以不是特殊角），该直线经过原点（极点），对应的直角坐标方程为y tan a x即y kx例如： -（0）33LL思路：直接代入 y tan x即y 一x 3y 3x V3y x， x 43y 0 33（注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+

6、By+C=0）三、曲线极坐标与直角坐标互换（一）圆的直角与极坐标互换圆的极坐标转化成直角坐标类型一：cos sin详解：般 cos ,sin要转化成x、y都需要跟 搭配，一对一搭配。所以两边同时乘以，即2cossin , x2 y2 x y即x2 y2 -x- y 0类型二：2没有三角函数时，可以考虑两边同时平方64即x2 y242.圆的直角坐标转化成极坐标2 2(X 4) (y 1)3解题方法一：拆开-公式代入2X2 8x 162y 2y 130即x2 2y8x2y 14028 cos2 sin140解题方法二：代入-拆-合2(cos 4)(sin1)23即2 2cos8cos162 . 2

7、sin2sin1 302/2(cossin2 ) 8cos2sin140即28cos 2 sin14 0【强化理解】1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化 将点M的极坐标414冗化成直角坐标；(,3)_ 将点N的直角坐标(4 , 4 3)化成极坐标(pX), 0 02冗).【解答】解： b 0)影 k2a bError! ( B为参数)实轴a和虚轴b2 2双曲线丄二 1(a 0，b 0)J k2a bError! ( B为参数)已知p抛物线 y 2 = 2px(p 0)Error!2.参数方程与普通方程的转化(1)参数方程转化成普通方程 类型一：含t的消参思路：含有t的参数方程消参时，想办法把

8、参数t消掉就可以啦，有两个思路:思路一：代入消元法，把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y)，思路二：加减消元：让含有t前面的系数相同或成相反数后相加减x 2返t例如：曲线C：I (t为参数)4 V2y 1t2=1 +，得 y = x 1，即 x y 12:思路一：代入消元：Tx = 2 + = x 2，代入y思路二：加减消兀：两式相减，x y 1 = 0.类型二：含三角函数的消参思路：三角函数类型的消参一般的步骤就是：移项 -化同-平方-相加移项：把除了三角函数的其他相加减数字移动左边化同：把三角函数前面的系数化成相同平方：两道式子左右同时平方相加：平方后的式子进行相加（注：有时候并不需要全部步骤）例如：圆X二1 + cos 9,消参数0,化为普通方程是（X- 1）2+ （y + 2）2= 1.X 1 cos解：移项： c .（三角函数前面系数已经相同，省去化同，直接平方） y 2 sin/八22平方：（X ；）；0：2相加：(X-1)2 (y 2)213参数方程涉及题型（1）直线参数方程的几何意义（2