柔性空间机器人振动抑制轨迹规划算法X

1、第25卷第3期2003年5月Vo. 25,N o. 3M ay, 2003机器人 ROBCT文章编号：1002 20446 (2003) 0320250 205柔性空间机器人振动抑制轨迹规划算法吴立成孙富春孙增圻吴昊(清华大学计算机系智能技术及系统国家重点实验室北京 100084)摘 要：本文首次提岀了一个描述柔性空间机器人振动的可直接计算的激振力指标，进而提岀了柔性空间机器人抑振轨迹规划算法.该算法采用均匀非周期四阶B样条描述机器人的运动轨迹,B样条的控制点作为优化参数,使用改进的微粒群优化算法，以激振力为性能指标对轨迹进行优化求解.该方法根据激振力指标而不是待定轨迹的控制结果来判定轨迹的抑

2、振性能，极大地简化了规划过程.对柔性双臂空间该机器人的抑振轨迹规划仿真，表明优化轨迹取得了良好的振动抑制效果，证明了算法的有效性.关键词：柔性机器人；空间机器人；轨迹规划；振动抑制中图分类号：TP24文献标识码：BOPT IM AL TRAJECT ORY PLANN ING OF FLEXIBLE SPACE ROBOTFOR V IBRAT ION RED UC INGWU L i2cheng SUN Fu2chun SUN Zeng2qi WU Hao(S tate K ey L ab of Intellig ent T echnology and Systems, D epart m

3、ent of Comp u ter Science and T echnology ,T sing hua U niversity , B eij ing 100084)Abstract : A n o riginal exciting 2fo rce index can describe vib rati on of flex ib le space robo t is p ropo sed for the first tim e T he exciting 2fo rce index can be calcu lated directly by the trajecto ry. T hen

4、 a trajecto ry p lann ing algo rithm sof flex ib le space robo t fo r vib rati on reducing is p ropo sed D escrib ing trajecto ry w ith fou rth 2o rder quasi 2un ifo rm B 2 spline , the p lann ing algo rithm s can be realized by using a p roved Particle Sw arm Op tim izati on m ethod to calcu late t

5、he contro l po in t param eter of B 2spline. T he p lann ing efficiencyis extrem ely m p roved by rep lacing the contro lresu lt w ith exciting 才roce index to judge an undeterm ined trajecto ry. A sim u lation on a flex ib le dual 2arm space robo t that contrasted an op tim ized trajecto ry w ith a

6、sm p le cub ic po lynom ial one and got m uch less vib rati on has show n the effectiveness of the algo rithm sKeywords : flex ible m anipu lato r, space robo t, trajecto ry plann ing, vib rati on reducing? 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第25卷第3期2003年5月Vo. 25,N

7、 o. 3M ay, 2003机器人 ROBCT? 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第25卷第3期2003年5月Vo. 25,N o. 3M ay, 2003机器人 ROBCT1 引言(In troductio n )柔性机器人具有速度快、能耗低、重量轻等许多 优点，但往往存在严重的柔性振动，使机器人的操作性能降低.因此，如何抑制柔性机器人振动就成了重 要的研究课题.目前，大量文献研究了消除柔性机器人振动的 主动控制方法，而研究通过轨迹优化的方法抑制柔 性机器人振动的文献非常少.最早P

8、ark等2用傅立叶级数和多项式混合的函数描述机器人轨迹，以残余能量为指标使用简单的爬山法对轨迹进行优化选择,首次提出了利用轨迹规划抑制柔性机器人残余振动的方法.随后，Pritam Kum ar Sarkar3按照同样 的方法，对比了用B样条描述轨迹的效果，通过对两 杆柔性机器人的简单仿真指出B样条描述轨迹时计算快、效果也更好.其间，Pond等也以变形能为优 化目标进行了轨迹规划抑振的研究.Hongchao Zhao等5用三角级数表示任意路径，以操作时间、振动及驱动能量同时作为优化目标，对路径进行优化选择，文章针对空间两柔性连杆机器人进行了非常简单的 仿真.此外,H. Kojima等6用四次多项

9、式函数描述? 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第25卷第3期2003年5月Vo. 25,N o. 3M ay, 2003机器人 ROBCT? 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第25卷第3期2003年5月Vo. 25,N o. 3M ay, 2003机器人 ROBCT巳基金项目：航天863重点资助项目(863270422218);国家自然科学基金(60084002, 601740

10、18 );全国优秀博士学位论文作者专项基金(200001 )和中国博士后科学基金资助. 收稿日期：2002- 11- 04? 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第25卷第3期吴立成等：柔性空间机器人振动抑制轨迹规划算法251FJ (s)=石研pa (Pa(S)(1Q)机械臂关节速度，以末端残余振幅构造评价指标，并通过遗传算法优化多项式函数的参数获取优化轨 迹.这些算法对轨迹的描述或采用的优化算法有所 不同，但都直接以振幅或变形能等作为优化指标，这就要求算法对每一条待定轨迹都要先进行控制仿

11、 真,根据控制结果才能计算评价指标，评价该轨迹因此轨迹规划算法的效率很低，并且规划结果与控制仿真中采用的控制方法及数值算法密切相关.本文通过对柔性空间机器人动力学方程进行分 析，提出了以激振力为性能指标的抑振轨迹规划算 法，方法采用均匀非周期四阶B样条描述机器人的运动轨迹，B样条的控制点作为优化参数，使用改进 的微粒群优化算法(Particle Swarm Optim ization，PSO),以激振力为性能指标对轨迹进行优化求解.由 于“激振力”指标即描述了机器人的振动，又可直接由运动轨迹的简单计算得到，极大地提高了算法的效率,仿真表明算法的性能也很好.本文采用的优化方法PSO是一种演化计算

12、技术7,8,与遗传算法等其他演化计算技术相比，PSO算法简单，计算复杂度低，不需要进行编码、解码.为 在抑振轨迹规划中运用，本文对PSO算法进行了改 进,使其可用于受约束优化问题，且运算简单2 抑振原理(Principle of vibration reduc ing)用有限元或假设模态法等方法将柔性变形离散 化，再结合L agrange方程或 Kane方法等，可得如下 形式的柔性机器人动力学方程：M p3+ F + K p =工(1)其中 M和K为广义质量和刚度矩阵,F为 Co rio lis力与离心力等项目之和，工为广义主动力向量,p为广义坐标向量.定义pa, p p分别为刚性和柔 性广义

13、坐标向量,M、K、F、工按同样维数分块为刚 性、柔性及耦合部分，可将(1)式分解为M aa pB + M ap p$ + F a =另(2)MpppB + K p pp = 公-MpapR- F p (3) 其中(3)式即为柔性变形运动的动力学方程，将 其右边部分表示为为-Mpapg- F p = F s + F j其中定义柔性振动的激振力为 :Fj= 5- M papB -FpPp=pa=o.此时 Fs= 5- M papB- Fp - F J 仅含 p a和pp的因子项，可表示为：F s= - C1 pdp- C2p p.因 此(3)式可写为下柔性变形为零，处于零柔性振动状态，即pB= p

14、p= pp= Q因此如果存在适当的轨迹满足零激振力条件F j = 5 - M papg - F p pp= p p= q = Q (5) 则由(4)式可知，机器人沿这样的轨迹运动时将一直 保持零柔性振动状态，因此可称满足零激振力条件 的轨迹为零激振轨迹.实际上即使初始不处于零柔 性振动状态，如果机器人沿零激振轨迹运动，由于柔 性臂材料内阻尼及系统机械阻尼的作用，其柔性振动也将逐渐衰减.所以将机器人轨迹规划为零激振 轨迹，即可实现对柔性空间机器人运动过程中柔性 振动的抑制.由激振力定义可知，机器人在任一时刻 的激振力仅与当前刚性部分的运动状态有关，可由轨迹直接计算，可极大地提高轨迹规划算法的效率

15、.设机器人的一条运动轨迹为pa (t) , t tQ, tf , tQ和tf分别为轨迹起止时间.令s=, s Q, 1 ,则tf - tQ 可推得激振力的s参数形式为d2pads2匚/ 竝| 1?J G)(Q-Flpa(s)，dsjpp=pp=Q= (tf- t。)2轨迹pa(s)的抑振性能，即激振力的整体表现可 取为1jll ?j(s)ll 2ds(7)实际优化计算中则可采用其离散形式 N- 1 厂沢13 轨迹描述(Tra jectory descr ibing)本文采用四阶B样条曲线描述机器人的运动轨迹 给定机器人刚性坐标空间的n+ 1个控制点pai, i=Q, 1,，n,对应的四阶B样条

16、轨迹pa(s)可表示为npa(s) = "faiN i,4(S)i= Q其中N i,4(s)为均匀非周期四阶 B样条基函数.节点 矢量T = s。，S1 ,sn+ 4的计算公式为Q, i < 4I 1, i > nn- 2,otherw ise为使机器人在起点和终点的速度、加速度为Q, 设定最前和最后3个控制点为第25卷第3期吴立成等：柔性空间机器人振动抑制轨迹规划算法#M ppp0 + C1pa+ (C2 + K p)p p = F J (4)空间机器人处于太空失重环境，因此静止状态? 1995-2QQ5 Tsinghua Tongfang Optical Disc C

17、o., Ltd. All rights reserved.paQ = _pa1 = _pa2 = pa。pa (n- 2) = pa(n- 1) = _pan = p af(11)第25卷第3期吴立成等：柔性空间机器人振动抑制轨迹规划算法2531995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第25卷第3期吴立成等：柔性空间机器人振动抑制轨迹规划算法#其余的控制点均为可调参数.为实现零激振轨迹还可利用插入节点的方法来逐步修正轨迹的局部 性质.采用O slo算法插入新节点，即假设在某个节点 区间s,s+i

18、内插入节点s,新的节点矢量为T1 =P1j, i= 0,基于以上的讨论，可以把抑制振动的轨迹规划 问题表示为优化问题形式：s,新的节点矢量为 so, s1,si, s, s+ 1,9+4,新的控制顶点 1,n+ 1为paj, 0 w j w i - 3 (1 -i -B)Pa(j- 1)2 w j w+ Bpaj ,i,(12)s - ss+ 3 -Sjpa(j- 1) , i +14 轨迹优化算法(Algorithm of trajectory opti m ization )4. 1微粒群算法目前PSO的标准算法是由Yuhu i Shi等在1998年提出，它首先随机的生成一个初始群体，再根

19、据对环境的适应度将群体中的个体移动到好的区 域,实现优化.考虑优化问题：st Hj w Hm ax, 2 w i w 5(14)其中p 'a为B样条轨迹的可调参数(pa3,pa4, pa(n-3),卫j表示控制点p aj在坐标H上的值，约束条 件为关节角越限指标.理论上，控制点较少的B样条曲线可以由控制 点较多的B样条曲线表示，控制点越多，实际的最优 解性能越好.但当n过大时，优化算法的效率明显降 低 因此，本文采用对n动态调整的方法，首先从较 少的控制点开始利用PSO算法优化，获得优化解后利用O slo算法插入新节点，而后再从新的控制点集 出发进行优化.算法描述如下：(1) n =

20、n°n° 6,在(14)式的约束范围内随机生成size 个初始个体p ')；(2) 从初始群体p ')出发，利用PSO算法优 化,迭代得到当前最优解 p'；(3) If (n> nmax)结束循环；M inim ize f (x) rSubject to ci (x) w 0, i= 0, 1,m为将PSO应用于受约束的优化问题 ，本文对其 进行改进，提出了一种仅有不等式约束 ，且可行解空 间为凸集情况下的解决方案 .即将个体的演化公式(4)计算插入节点集Z+ s4insert- T = ?改进为(k+ 1) v id(k) w vid+ or

21、and() (pid-x(dk)+C2rand () (pgd -x i(dk) n j, cj (x i(k) w 0ora nd () (pid - x idk) + c2ra nd () (p gd - x)sn+ sn+ 1、) 2(5) 顺次将insert_ T中的值用Oslo算法逐个插 入节点集T ,同时调整Pa3与n；(6) 在Pa3附近生成新的初始群体-Ra(i),并保证ni, II Pa-p' |w EE为一个小正数),跳转2；5 仿真(Sim ula tion )otherw ise(13)xff+1)x(dk) +vi(dk+ 1)其中:X i= (x i1, x

22、 i2，,xiD )表示第i个微粒的位 置，Pi= (pi1, pi2,piD)为微粒i经历过的最好位 置，Pg为整个群体经历过的最好位置，k为演化代数.w为惯性权重，c1和C2为加速常数，rand ()为 在0, 1范围里变化的随机函数，为保证收敛性，一 般取 w = 01729, c1 = c2= 1 49445.根据(13)式,一旦某个微粒i在迭代的过程中“飞出” 了可行解空间，即丧失其惯性速度，从而可在 Pi和Pg的吸引下回到可行解空间内.为验证所提出的轨迹优化算法的有效性和性 能,本文针对如图1所示的柔性双臂空间机器人进 行数值仿真.机器人由圆柱形基座和两个对称的双 杆机械臂构成，其

23、中每个机械臂的第一连杆为刚性、第二连杆为柔性.机器人的尺寸为：|1= |2= |4= 2m , |3=l5= 10m , A= ¥ 各杆质量为：m 仁 40kg ,m 2= m 4= 2kg , m 3= m 5= 10kg.柔性杆参数为：El= 10000.各 关节的运动幅度均取为 ：Hm ax = Hm ax = Hn ax = Hmax = n仿真中设定起始位姿为：pa0= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)T,T目标位姿为：Paf= 12, 6,g，扌頁申,无.轨迹优 化算法的各项参数为 ：n0= 8, pop_ size= 30, epoch = 1000, nma

24、x= 80, N = 100.4. 2轨迹优化1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第25卷第3期吴立成等：柔性空间机器人振动抑制轨迹规划算法255图1柔性双臂空间机器人F ig . 1Flex ible dual 25rm space robo t优化得到了一个有 51个控制点的均匀非周期四 阶B样条轨迹.取to, tf= 0,10,优化得到的机器 人运动轨迹如图2所示.作为对照，设计了一个三次 多项式函数表示的简单轨迹如图 3 所示.利用简单的PD控制方法（在控制中未考虑抑制 振动的问题

25、），对机器人跟踪这两条轨迹的情况分别 进行了跟踪控制仿真，两柔性臂末端的振动情况如图 4所示,左右图分别为右臂和左臂末端振动曲线.实线,虚线分别为优化轨迹和三次多项式轨迹仿真结 果跟踪优化轨迹时左右两臂的振动范围为：-00736m , 0 0276m 和-0 0068m , 0. 0983m ,而对 三次多项式轨迹则为-0 2073m, 0. 1547M 和-0 0927m , 0 2221m .由仿真结果可知轨迹优化取得 了良好的振动抑制效果，初步验证了所提出的轨迹优 化算法的有效性和良好性能.1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd

26、. All rights reserved.第25卷第3期吴立成等：柔性空间机器人振动抑制轨迹规划算法#1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第25卷第3期吴立成等：柔性空间机器人振动抑制轨迹规划算法#时间 Timt(s)lljI ime(s)亠 PEL JO 亠一二芫.|0*)“一«，|_ 變7茯1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第25卷第3期吴立成等：柔性空间机器人振动抑

27、制轨迹规划算法#1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第25卷第3期吴立成等：柔性空间机器人振动抑制轨迹规划算法#O附頂1 Tim优时图2优化轨迹Fig. 2 Optimal trajecto ry时间 Time(s)图3三次多项式轨迹F ig 3 Cub ic po lynom ial trajecto ry020-25G-1门 A i i 1f Ii>1fI"/|RlBill0.20.15JI/ I 八； tf0.1JmH02V "D4).051i/7 J年-0

28、.1246时间 Time(s)8 10 0 24G8R扌佰I Tin艸佔）图4末端振动Fig. 4 T ip vib rati on s1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第25卷第3期吴立成等：柔性空间机器人振动抑制轨迹规划算法#1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第25卷第3期吴立成等：柔性空间机器人振动抑制轨迹规划算法2576 结论(Conclusion )通过本文的分析和仿真可

29、知，基于可直接计算 的激振力指标的柔性空间机器人抑振轨迹规划方 法,解决了现有柔性机器人抑振轨迹规划方法需对 待定轨迹进行控制仿真，以获得优化指标的问题.对 柔性双臂空间机器人的仿真 ，验证了所提出的轨迹 优化方法的有效性和良好的抑振性能.参考文献 (Refere nces)1 Piedboeuf J- C, Farooq M , Bayoum iM M , L abinaz G, A rgounM B. M odelling and contro l of flexible manipulato rs revisitedA . M idw est Sympo sium on C ircuit

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