勒让德legendre多项式及其性质

1、勒让德（legendre）多项式及其性质 一.勒让德多项式 勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德 方程的幕级数解，勒让德方程的表达式如下： 2、 （1X）y2xyn（n1）y0其中 n n 为非负实数（） 它的幕级数解如下： yyiV2（） 其中： 2kn（n1）2n（n2）（n1）（n3）4 yia2kxao1-2-pxx_!x（） k0 2k1r（n1）（n2）3（n1）。3）（n2）（n4）5n y2a2k1xaxALxA匕-2（） k03!5! 由达朗贝尔判别法可知，当n0不为整数时，这两个级数的收敛半径为1,在（）式和（）式中，a0与a1

2、可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（一 1,11,1）内 y y 和 y2y2 都是方程（）的解，所以（）是（）的通解。 上面（）和（）幕级数当|x|1时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当 n n 取非负整数时，y y1和y y2中有一个便退化为 n n 次多项式，它就是方程（）在闭区间 - -1,11,1上的有界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幕系数 a an,所得的多项式称为 n n 阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作Pnx,下面我们来推导勒让德多项式巳x的表达式。 当n为正偶数时 y1退化为n次多项式。为求得Rx的表达式，在y中我们通过an来表示其它

3、各项的系数。为此，将系数递推关系式改写成下列形式： (k2)(k1) ak2 (kn)(kn1)2 在（） ak () 式中取k n2,得: an2 n(n 1) 2(2n1) an () 习惯上取an为 an (2n) 2n(n!)2 () 于是有: an2 n(n1)2n(2n1)(2n2)! 2(2n 1)2nn(n1)!n(n1)(n2!) (2n2)! 2n(n1)!(n 2)! () 在（）式中取kn 4,并利用an 2之值得: (1)2 (2n 4)! an 2n(2!)(n2)!(n4)! 般地，我们有 m an2m1 2n2m! (n2)(n3)a 4(2n3)n2 1) 2

4、(n2)(n3)4(2n3) (2n2)! 2n(n 1)!(n2)! () 2nm!(nm)!(n2m)! (m0,1, () 我们将这些系数带入（）中，并把此时的 y y 记作 R R（x x）, ,可得: n-2 pp m ) T 2mn/(mmn n /k !7 7/l 这就是当 n n 为正偶数时勒让德多项式 当n为正奇数时 y2退化为n次多项式，我们把y2记作E（x）,同理可得: n1 2 Pn(x)(1)m m0 (2n2m)! 2nm!(nm)!(n2m)! n2m X () 把（）和（）写成统一的形式，得 2 ()m(2n2m)!xn2m mo2nm!(nm)!(n2m)!

5、其中n n表示 n n的整数部分 由上述讨论可知,当 n n 为非负整数时,y yi和y中有一个是 n n 阶勒让德多项式,级数，记作Qn（x）,称为第二类勒让德函数，此时方程（）通解为： yCFn(x)C2Qn(x)() 特别当 n n0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5 时，由()和()式得： 12 Po(x)1P1(x)xP2(x)2(3x1) 131153 P3(x)(5x3x)P4(x)-(35x430 x23)P5(x)(63x70 x15x) 288 Pn（X） () 而另一个是无穷 它们的图形如下： 勒让德多项式的性质首先介绍一下勒让德多项式的母函数: 试将函数 (x,

6、z)(12xzz2)12() 展开成 z z 的幕级数n (x,z)Anz() n0 可以证明(x,z)(x,z)级数展开式中 z zn的系数恰好是勒让德多项式，最终得到 (x,z)(12xzz2)：2Pn(x)zn() n0 因此称(x,z)(x,z)为勒让德多项式的母函数。 1.1. Pn(x)(1)nPn(x) 将式()中的 x x 以 x x 代入，z z 以 z z 代入，立即得到此结果。此式说明而定，当 n n为偶数时，R(x)R(x)为偶函数，当 n n 为奇数时，R(x)R(x)为奇函数。 2.2. Pn(1)1-(1)(1)n 将 x x1 1 代入式()，得到 1_n (1

7、z)Pn(1)z n0 而 1n (1z)z n0 所以 Pn(1)1 由上式和()立即得到 Pn(1)(1)npn(1) 3 .勒让德多项式的递推公式： (n1)Pn1(x)(2n1)xPn(x)nR(x)0() Pn(x)Pn1(x)2xPn(x)Pn1(x)() Pn1(x)xPn(x)(n1)Pn(x)() xPn(x)Pn1(x)nPn(x)()() P Pn(x)(x)的奇偶性由 n n () Pni(x)Pni(x)(2n1)Pn(x)() 现在我们来证明()及其它的导数公式，将母函数(x,z)(x,z)分别对 x,zx,z 微分，得到 232z 一z(12xzz)22 x12x

8、zz 得到下列两个恒等式 (12xzz2)z0 x (xz)(12xzz2)2 xz 2 12xzz () -2 (12xzz)(zx)0 z 又从式()和()得到 () z(zx)0() zx 将()两端分别对 x,zx,z 微分，得到 xno nPn(x)zn1 n1 () () 然后将它们带入()，得到 xPn(x)znnPn(x)哈 n1n1 于是得到 P Pn(x)(x)与导数之间的关系式 xPn(x)Pn1(x)nPn(x) 其它的导数公式这里不在一一证明。将式()和()代入式()中，得到 (n1)Pn1(x)(2n1)xPn(x)nPx)0n0 上面级数的各项系数都等于零，因此，最终得到 (n1)Pn1(x)(2n1)xPn(x)nPm(x)0 这就是递推公式，由 P P0(x)(x), ,P Pi(x)(x)可以推出 P P2(x)(x), ,由 P P|( (x),Fx),F2(x)(x)可