243正多边形和圆

1、观察下列图形它们有什么特点？观察下列图形它们有什么特点？ABCDE 24.3 24.3 正多边形和圆正多边形和圆各边相等各边相等, ,各角也相等的多边形叫做各角也相等的多边形叫做 正多边形正多边形. .三条边相等，三条边相等，三个角相等三个角相等（6060）四条边相等，四条边相等，四个角相等四个角相等（9090）正三正三角形角形正方形正方形一一 . .正多边形定义正多边形定义: :如果一个正多边形有如果一个正多边形有n n条边，那么这个正多边形条边，那么这个正多边形叫做叫做正正n n边形边形. .思考思考: : 菱形是正多边形吗菱形是正多边形吗? ?矩形是正多边形呢矩形是正多边形呢? ?菱形菱

2、形, , 矩形都矩形都不是正多边形不是正多边形3.3.正多边形都是轴对称图形，一个正正多边形都是轴对称图形，一个正n n边形共有边形共有n n 条对称轴，每条对称轴都通过条对称轴，每条对称轴都通过n n边形的中心边形的中心. .二、正多边形的性质及对称性二、正多边形的性质及对称性4. 4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，边数是偶数的正多边形还是中心对称图形， 它的中心就是对称中心它的中心就是对称中心. .1 1、正多边形的各边相等、正多边形的各边相等2 2、正多边形的各角相等、正多边形的各角相等1.1.把正把正n n边形的边数无限增多边形的边数无限增多, ,就接近于圆就接近于圆. .2

3、.2.怎样由圆得到多边形呢？怎样由圆得到多边形呢？A AB BC CDD思考思考1:1: 把一个圆把一个圆4 4等分等分, , 并依次连并依次连 接这些点接这些点, ,得到正多边形吗得到正多边形吗? ?弧相等弧相等弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等）圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等）思考思考2:2: 把一个圆把一个圆5 5等分等分, , 并依次连接这些点并依次连接这些点, , 得到正多边形吗得到正多边形吗? ?证明：证明：ABCDE定义：定义：把圆分成把圆分成n n（n3n3）等份：）等份： 依次连结各分点所得的多边形是这个圆依次连结各分点所得的多边形是这个圆

4、 的的内接正多边形内接正多边形. .E EF FC CD D. .O O中心角中心角半径半径R R边心距边心距r r正多边形的中心正多边形的中心: : 一个正多边形的一个正多边形的 外接圆的圆心外接圆的圆心. .正多边形的半径正多边形的半径: : 外接圆的半径外接圆的半径. .正多边形的中心角正多边形的中心角: : 正多边形的每一条正多边形的每一条 边所对的圆心角边所对的圆心角. .正多边形的边心距：正多边形的边心距： 中心到正多边形的中心到正多边形的 一边的距离一边的距离. .三、正多边形有关的概念三、正多边形有关的概念A AB BE EF FC CD D. .O O中心角中心角半径半径R

5、R边心距边心距r r正多边形的内角正多边形的内角: :正多边形的半径正多边形的半径（外接圆的半径为外接圆的半径为R R）正多边正多边形的边长为形的边长为a a，则，则正多边形的中心角正多边形的中心角: :正多边形的边心距：正多边形的边心距：A AB B(2) 180nn内角360n中心角222aRr（ ）正多边形的面积：正多边形的面积：11()22SnarLr例例1. 1. 有一个亭子它的地基是半径为有一个亭子它的地基是半径为4m4m的正的正六边形六边形, ,求地基的周长和面积求地基的周长和面积( (精确到精确到0.10.1平方平方米米). ).FADE.B BC CrR RP P)(6 .4

6、132242121322242422224mLrSrBCPCOCOPCRt亭子的面积心距根据勾股定理，可得边，中，在.606360半径六边形的边长等于它的是等边三角形，从而正，它的中心角等于是正六边形，所以由于OBCABCDEF亭子的周长亭子的周长 L=6L=64=24(m)4=24(m)FADE.B BC CrR=4R=4P P例例2.2.如图如图,M,N,M,N分别是分别是OO内接正多边形内接正多边形AB,BCAB,BC上上的点的点, ,且且BM=CN.BM=CN.(1)(1)求图求图中中MONMON的度数的度数; ;(2)(2)图图中中MON=MON= ; ; 图图中中MON=MON=

7、; ;(3)(3)试探究试探究MONMON的度数与正的度数与正n n边形的边数边形的边数n n的关的关系系. .ABCDEABCD.ABCMNMNMNOOO7272度度9090度度360n中心角120120度度1.1.正八边形的中心角是正八边形的中心角是 度度; ;它的外角是它的外角是 度度. .2 2圆内接正方形的半径与边长的比值是圆内接正方形的半径与边长的比值是_3 3正多边形的边心距与边长之比为正多边形的边心距与边长之比为 :2,:2,则则此多边形的边数是此多边形的边数是 . .4 4已知圆内接正方形的边长为已知圆内接正方形的边长为2 2，则该圆，则该圆 的内的内接正六边形边长为接正六边

8、形边长为_5 5圆内接正六边形的边长是圆内接正六边形的边长是8 cm8 cm用么该正六用么该正六边形的半径为边形的半径为_；边心距为；边心距为_ 拓展练习拓展练习34545度度4545度度6 6以下有四种说法：以下有四种说法：顺次连结对角线相等的顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；形；顶点在圆周上的角是圆周角，其中正确顶点在圆周上的角是圆周角，其中正确的有（的有（ ） A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D 4D 4个个7 7正多边形

9、的中心角与该正多边形一个内角的正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（关系是（ ） A.A.互余互余 B.B.互补互补 C.C.互余或互补互余或互补 D.D.不能确定不能确定B BB B9 9若一个正多边形的每一个外角都等于若一个正多边形的每一个外角都等于3636, ,那那么这个正多边形的中心角为（么这个正多边形的中心角为（ ） A A3636 B. 18 B. 18 C C7272 D D54541010将一个边长为将一个边长为a a正方形硬纸片剪去四角，使正方形硬纸片剪去四角，使它成为正它成为正n n边形，那么正边形，那么正n n边形的面积为边形的面积为 （ ）1111正六边形螺帽的

10、边长为正六边形螺帽的边长为a a，那么扳手的开口，那么扳手的开口b b最小应是最小应是 ( )A. 33D. a23C. a21B a3、222272.(3 2 3) B a Ca D(2 2-2)a92Aa.A A1.1.判断题判断题. .各边都相等的多边形是正多边形各边都相等的多边形是正多边形. . （ ）一个圆有且只有一个内接正多边形一个圆有且只有一个内接正多边形. . （ ）2.2.证明题证明题. .求证：顺次连结正六边形求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多各边中点所得的多 边形是正六边形边形是正六边形. .ABCDEFA AB BC CD DE E3.3.求证：求证：正五边形的对

11、角线相等正五边形的对角线相等. .证明：证明： 在在BCDBCD和和CDECDE中中 BC=CDBC=CD BCD=CDE BCD=CDE CD=DE CD=DE BCDBCDCDECDE BD=CE BD=CE 同理可证对角线相等同理可证对角线相等. .已知：已知：ABCDEABCDE是正五边形，是正五边形，求证：求证：DB=CEDB=CE小结：小结：1 1、怎样的多边形是正多边形？、怎样的多边形是正多边形？2 2、怎样判定一个多边形是正多边形？、怎样判定一个多边形是正多边形？各边相等各边相等各角相等各角相等的多边形叫做正多边形的多边形叫做正多边形又又五边形五边形PQRST的各边都与的各边都

12、与 O相切，相切，五边形五边形PQRST的是的是O外切正五边形。外切正五边形。证明：连结证明：连结OAOA、OBOB、OCOC，则：，则：OAB=OBA=OBC=OCBOAB=OBA=OBC=OCBTPTP、PQPQ、QRQR分别是以分别是以A A、B B、C C为切点的为切点的OO的切线的切线OAP=OBP=OBQ=OCQOAP=OBP=OBQ=OCQPAB=PBA=QBC=QCBPAB=PBA=QBC=QCB又又AB=BCAB=BCAB=BCAB=BCPABPAB与与QBCQBC是全等是全等 的等腰三角形。的等腰三角形。P=Q PQ=2PAP=Q PQ=2PA同理同理Q=R=S=TQ=R=S=T QR=RS=ST=TP=2PA QR=RS=ST=TP=2PA ABCDEP P