空间向量和立体几何知识点和例题

1、空间向量与立体几何知方法总结知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示+同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。uuuuuuuuurv uur uunuuur r uuurOBOAABab ； BA OAOBa b ； OPa（R）运算律：加法交换律：abba加法结合律：（a b） ca(bc)数乘分配律：（a b）ab运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3.共线向量（1）如果表示空间向量的有向线段所

2、在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行 向量，a平行于b，记作 a/b。（2）共线向量定理：空间任意两个向量 a、b （ b工0 ），a/ b存在实数入，使a 八 b。（3） 三点共线：A、B、C三点共线<=>ABAC<=>OC xOA yOB（其中 x y 1）（4）与a共线的单位向量为a4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。rr（2） 共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数x, y使 r r rp xa yb。（3）四点共面：若A b、c、p四点共面

3、<=>AP xAB yAC<=> OP xOA yOB zOC （其中 x y z 1）r r rr5. 空间向量基本定理：如果三个向量 a,b,c不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有rr rr序实数组x, y,z，使p xa yb zc。r £ rr r rr r若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意 三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设o,代b,c是不共面的四点，则对空间任一点 p，都存在唯一的三个有序实数 x, y, Z， uuu uuu uuu uuur使 OP xOA y

4、OB zOC。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点a，存在唯一的有序实数组（X,y,z），使OA xi yi zk，有序实数组（x,y,z）叫作向量A在空间直角 坐标系O xyz中的坐标，记作A(x, y, z)， x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点A (x,y,z )关于x轴的的对称点为(x,-y,-z), 关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)r r r(2)若空间的一个基底的三个基向量互

5、相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用i, j, k表示。空间中任一向量 a Xi yj zk =(x,y,z) (3)空间向量的直角坐标运算律：若 a (a1, a2, a3)， b (b1, b2, b3)，则佝a1b1a b (a1Ra b2,a3 d)，r b r b rb r a r a r aa1b1 , a2 b2 , a3a2b2 a3b3，以 a2b2 , a3b3)，bs(a ( a1,R)，a2, as)(R)，a1b1 a2b20若人(人，忆)，B(X22,Z2)，则AB (x2一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。uu

6、uX1，y2%,勺弓)° 定比分点公式：若A(x1, y1, Z!), B(x2, y2, z2) , ap pb，则点p坐标为zXiX2 yi目2 ZiZ2、(,)。推导：设 P(x,y,z )则(X Xi,y yi,z z) 区 x,y2 yz z),1 1 1显然，当P为AB中点时，P(X1生,' 归工 z2)2 2 2 ABC中，A紀，,)弋区山乙山区,丫3乙)，三角形重心P坐标为P(X1X2X3 yiy2y3 乙zz32厶ABC的五心：内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。 Ap(些ABAC)(单位向量)AC外心P:外接圆的圆心，中垂线的交点。P.PBPC垂心P：高

7、的交点：PA PB PA PC PB重心P:中线的交点，三等分点(中位线比)APPC (移项，内积为o,则垂直)1 - 3(ab AC)中心：正三角形的所有心的合一。(4)模长公式：若 a (a1, a2, a3)， b则|a| a a 'a12 2 2a2a3(bdbO，r，|b| b b、th2b22b32(5)夹角公式：cos；a b； J： ：b|a| |b| 血2 2 2.2 .2 .2 °a2a3 小b2b3 ABC中AB?AC 0 <=>A为锐角AB? AC 0 <=>A为钝角，钝角uuu 则 | AB |,(X2_X72 2(y2 yi

8、)(Z2 zi),或 dA,B 、（屜Xi）2（y2yi）L（Z2zy7. 空间向量的数量积。LUM（1） 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b ,在空间任取一点o,作0A arr rr r，显然有|。记作a b，则 aob叫做向量a与b的夹角，记作 a,b ；且规定0 a,brra,b b, a ；若a,b，则称a与b互相垂直，记作：a b。2uuu ruuurr（2）向量的模：设OA a ,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|ar r |r rr r（3）向量的数量积：已知向量 a,b，则| a | | b | cos a,b 叫做a,b的数量积,r rr rr r即

9、a b|a| |b| cos a,b 。（4）空间向量数量积的性质：rr r r rSr /r .2r r a e| a |cos a,e。 aba b0。 |a|a a。（5）空间向量数量积运算律：r r rr r rr（a）b（ab）a（b）。 ab b a（交换律）。rrrrrrr a（bc）abac（分配律）。> h * 不满足乘法结合率：（a b）c a（b c）二.空间向量与立体几何（咼考答题必考）i线线平行 两线的方向向量平行i- i线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直1- 2面面平行 两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2- 1线面垂直 线与面的法

10、向量平行2- 2面面垂直 两面的法向量垂直3线线夹角两条异面直线所成的角：1、定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点 O作直线a/a,b/b，则a，与b/所夹的锐角或直角 叫做a与b所成的角.pA2、范围：两异面直线所成角B的取值范围是r rcos3、 向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为，则有4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得, 当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角.3- 2线面夹角0°,90°:求线面夹角的步骤：先求线的方向向量 AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再

11、求其余角，即是线面的夹例1:如右下图，在长方体ABCA1B1C1D中，已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E、 是线段AB BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角C- DE- C的正切值；(2) 求直线EC与FD所成的余弦值. 解：(I )以A为原点，AB, AD, AA1分别为X轴，y轴的正向建立空间直角坐标系，贝S D(0,3,0) C(4,3,2)uuu于是，DE 设法向量nD(0,3,2)uur3,0), EGF分别、E(3,0,0) 、F(4,1,0)、uu(1,3,2), FD1( 4,2,2)(3,(x,y,2)与平面CDE垂直，则有D1A1DEB轴,z角

12、.sin cos AP,n ,3- 3面面夹角(二面角) 0°,180°： ( 1)若AB CD分别是二面角 1的两个面内与棱I垂直的异面直线，则二面角的大小就是向uuu unu量AB与CD的夹角(如图(a所示).ir uu(2)设、n2是二面角1的两个角a、B的法向量，则向量ir uu与比的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图(b)所示)若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量nn2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于* *法向量的夹角的补角.cos cos nn24点面距离h :如图(a)所示，BOL平面a,垂足为 0,则点B到平面a的距离就是线段 B0的

13、长度若AB是平 面a的任一条斜线段，则在 Rt BOA中, cos / AB°=如果令平面a的法向量为n,考虑到法向量的方向，可以得到 B点到平面a的距离为h=4- 1线面距离(线面平行)：转化为点面距离4- 2面面距离(面面平行)：转化为点面距离应用举例：/ DAB=60, PD丄平面 ABCDPD=AD(II )设EC与FD所成角为B，则例2:如图，已知四棱锥P-ABCD底面ABCD菱形,点E为AB中点，点F为PD中点。(1)证明平面PEDL平面PAB(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证明：(1)v面 ABCD是菱形，/ DAB=60, ABD是等边三角形，又E是AB中点

14、，连结BD/ EDB=30,/ BDC=60，./ EDC=90如图建立坐标系 D-ECP设AD=AB=1贝S PF二FD,ED仝,2 2- P (0, 0,",E 哼,0,0),un 3二 PB=(,21mn2, -1), PE =0,-1 ),平面PED的一个法向量为DC = (0 ,1,0)，设平面PAB的法向量为n= (X, y, 1)uuir / DCuuu PB uuu PEJ3 1 (x,y,1)?(,1)2 2昭 (x,y,1)?(,0, 1)2uuirrx2近x22X "3y 0-n =0即DC丄n 平面PEDL平面PABr 9 解：由(1)知平面PAB的

15、法向量为n=( ； , 0,1),设平面FAB的法向量为：1=(x, y, -1),5 714由(1)知：F(0 , 0, 2),肚哼,扌，-2),-=(孚 0,讨),ruuu(x, y,灵111)?( ，, -)0x1 1y01由 n1 FB 由 r uuu2 2 222 2x3n1 FE(x, y,431(丁,0, ? 0-3x21-02y 0. n 1二(-_ _,0,-1).二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos 0 = |cos< n例3:在棱长为4的正方体ABCD-AB1C1D中，C是正方形ABGDi的中心，点P在棱CG上,且CG=4CP.(I )求直线AP与平面BCGB1

16、所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)(II)设C点在平面DAP上的射影是H ,求证：DHLAF； (皿)求点P到平面ABD的距离.解:(I )如图建立坐标系D-ACD,T棱长为4.A(4 , 0 , 0) , B (4 , 4 , 0) ) P(0 , 4 , 1)uuuuuir.AP = (-4, 4, 1),显然 DC = (0 , 4 , 0)为平面BCGB1的一个法向量二直线AP与平面BCGB1所成的角0的正弦值 sin 0 =uuu|cos< AP ,uuurDC >| =16_-42 42 1 ? 424、3333TB为锐角，直线AP与平面BCCB所成的角B为arc

17、sin 倍 r33(皿)设平面ABD的法向量为n= (x, y, 1)uuuuuurT AB= (0 , 4 , 0) , AD1 = (-4 , 0 , 4),r uuu r uuu 口由n丄AB , n丄AD1 得y 04x 4 0uuu rn=( 1, 0, 1),点P到平面ABD的距离d =3-22例4:在长、宽、高分别为2, 2, 3的长方体ABCD-ABGD中，0是底面中心，求A0与BiC的距离解：如图,建立坐标系 D-ACD,则0( 1，1,(2, 2, 3),uuur二 AO ( 1,1,C( 0 , 2 , 0)uiruuuu3) BC ( 2,0, 3)AB1(0,2,0)设AO与BC的公共法向量为n(x,y,1)，则ujirAO ujirBC(x, y,1)?( 1,1, 3) 0(x, y,1)?( 2,0, 3) 0x2xAx323 3打) AiO与BiC的距离为u