导数09高考汇编

1、山东省泰安市第一中学2009 年导数高考题一、选择题1.(2009 年广东卷文 )函数 f ( x) ( x 3)ex 的单调递增区间是A.(,2)B.(0,3)C.(1,4)D.( 2,)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】 D【解析】 f ( x) ( x 3) e(x 3) e(x 2)e,令 f ( x)0 ,解得 x 2 ,xxx故选 D2（2009 全国卷理） 已知直线 y=x+1 与曲线 yln( xa)相切，则的值为 (B)(A)1(B)2(C)-1(D)-2解 :设 切 点P(x0 , y0 )， 则 y0 x 0 1, y ln ( xa)0 , 又0y'

2、 |x011xx0ax0 a1 y00, x 01 a 2 .故答案选 B3.（2009 安徽卷理）设 a b, 函数 y (x a)2 (xb) 的图像可能是- 1 -山东省泰安市第一中学解析 ：y /( xa)(3 x 2ab) ，由 y/0 得 x a, x2a b ，当 x a2ab3时， 取极大值0，当x时y取极小值且极小值为负。3y故选 C。或当 xb 时 y 0 ，当 xb 时， y0 选 C4.（2009安徽卷理）已知函数f ( x) 在 R 上满足f (x) 2 f (2x) x28x8，则曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1)处的切线方程是（B）（C ）（D）（A

3、）2x13x 2yyxyy2x 3解析 ：由 f ( x)2 f (2x)x28x8得f (2 x)2 f ( x) (2x)28(2x)8 ，即2 f (x)f (2x)x24x4， f ( x)x2 f / ( x)2x ，切线方程为y1 2( x1)，即2xy 10 选 A5.（2009安徽卷文）设，函数的图像可能是- 2 -山东省泰安市第一中学【解析】可得xa, xb为 y(xa)2 (xb)0 的两个零解 .当当x a 时,则 x b f ( x) 0a x b 时 ,则 f ( x) 0, 当 x b 时 ,则 f ( x)0. 选C 。【答案】 C6（2009 江西卷文）若存在过

4、点(1,0) 的直线与曲线 yx3和 y ax215 x 9都相切，则 a 等于4- 25A 1- 25B1217或64或 4C 4或64D 7或74答案： A【解析】设过(1,0) 的直线与 yx3 相切于点 ( x0 , x03 ) ，所以切线方程为 y x033x02 (x x0 )即 y3x02 x 2x03 ，又(1,0)在切线上，则 x00 或 x03 ，2当 x0215250 时，由 y 0与 yax4x 9 相切可得 a64 ，当 x03 时，由 y27 x27 与 yax 215 x9 相切可得 a1 ，2444所以选 A.7.（2009 江西卷理）设函数 f (x)g( x

5、)x2 ，曲线 yg( x) 在点 (1,g(1) 处的切线方程为 y2x1，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)处切线的斜率为A 4B1C 2D142答案： A【解析】由已知g (1)2， 而f ( x) g ( x)2x， 所 以f ( 1 ) g( 1 )2故选 A- 3 -山东省泰安市第一中学8（.2009 天津卷文）设函数 f(x) 在 R上的导函数为 f(x),且 2f(x)+xf (x)>x 2 ,x 下面的不等式在 R 内恒成立的是Af (x)0Bf ( x)0Cf ( x)xD f ( x) x【答案】 A【解析】由已知，首先令 x 0 ，排除 B，D。然

6、后结合已知条件排除 C, 得到 A【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点， 考查了分析问题和解决问题的能力。9.(2009 湖北卷理 )设球的半径为时间 t 的函数 R t 。若球的体积以均匀速度 c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径A. 成正比，比例系数为 C B. 成正比，比例系数为 2CC. 成反比，比例系数为CD. 成反比，比例系数为 2C【答案】 D【 解 析 】 由 题 意 可 知 球 的 体 积 为 V (t )4R3 (t ) ， 则c3'2'，由此可得' (t )，而球的表c V ( t)R(t )R4 R ( t

7、) R ( t)4 R (t )面积为 S(t ) 4R2 (t ) ，所以 v表S' (t)4 R2 (t )8 R(t )R' (t) ，即 v表8 R(t ) R'(t)2 4R(t) R' (t )2c'(t)R(t) R10.（2009 全国卷理）曲线xy12x程为R' (t ) 2c ，故选 D R(t)在点 1,1 处的切线方A.xy20B. x y 2 0C. x 4y 5 0D.- 4 -山东省泰安市第一中学x4 y50解： y |x 12x 1 22 x |x 1 11)2 | x 11,(2 x 1)(2 x故切线方程为 y

8、 1( x1) ,即 xy 2 0故选 B.11.（2009湖南卷文）若函数 yf ( x) 的导函数 在区间 a, b上是增函数，则函数 yf (x) 在区间 a, b 上的图象可能是【A 】yyyyoab xob xoxob xaabaA BCD解: 因为函数 y f ( x) 的导函数 y f (x) 在区间 a,b 上是增函数，即在区间a,b 上各点处的斜率 k 是递增的，由图易知选 A. 注意 C 中 y k 为常数噢 .12. （2009 陕西卷文）设曲线 y xn 1 (n N * ) 在点（ 1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则 x1 x2xn 的值为(A)(

9、D) 11(B)1(C)nnn 1n 1答案 :B解析 : 对 yxn 1 (nN * )求导得 y'(n1)xn ,令 x1 得在点（ 1，1）处的切线的斜率kn1 ,在点- 5 -山东省泰安市第一中学（ 1， 1 ）处的切线方程为y1k( xn1)(n 1)(xn 1) ,不妨设y 0 , x nn 1 则 x1 x2xn123.n1 n1,故选n234nn1 n1B.13. （2009天津卷理）设函数 f ( x)1 x ln x( x0), 则 yf (x)A 在区间 (1 ,1),(1,e) 内均有零点。3B 在区间 ( 1 ,1),(1,e)ee内均无零点。C 在区间 (1

10、 ,1) 内有零点，在区间 (1,e) 内无零点。eD 在区间 ( 1 ,1) 内无零点，在区间 (1,e) 内有零点。e【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。解析：由题得 f ( x)11x3，令 f ( x)0 得 x3 ；令 f ( x) 03x3 x得 0x3 ； f ( x )减函数，在区间1ln 30 ；又 f (1)0得 x3 ，故知函数 f ( x) 在区间 (0,3) 上为(3, ) 为增函数，在点 x3 处有极小值1, f ee11，故选择 D。331 0, f ( )1 0e3e14. （2009 重庆卷文）把函数 f ( x) x3 3x 的图像 C1 向右平移 u

11、个单位长度，再向下平移 v 个单位长度后得到图像C 2 若对任意的u0 ，曲线 C1 与 C2 至多只有一个交点，则v 的最小值为（）A 2B 4C 6D 8【答案】 B解析根据题意曲线C 的解析式为 y(xu)33( xu) v, 则方 程 ( xu)33( xu)vx33x ， 即 3ux2 (u33uv)0 ， 即13对任意u0恒成立，于是13的最大vu 3vu3uu44值，令 g (u)1 u33u(u0), 则 g(u)3 u233 (u 2)( u 2) 由444此知函数 g (u) 在（ 0， 2）上为增函数，在 (2,) 上为减函数，所以当 u2 时，函数 g(u) 取最大值，

12、即为 4，- 6 -山东省泰安市第一中学于是 v4 。二、填空题215. （2009 辽宁卷文）若函数f ( x)xa 在 x 1 处取极值，x1则 a【解析】 f(x) 2x( x 1)( x2a)( x1)2f(1) 3a 0a 34【答案】 316. 若曲线 f x ax2 Inx 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a的取值范围是.1解析解析：由题意该函数的定义域，由x 0f xx 。xa 2因为存在垂直于 y 轴的切线，故此时斜率为0 ，问题转化为 x0 范围内导函数 f x2ax1存在零点。x1 存在解法 1（图像法）再将之转化为 g x2ax与 h xx交点。当 a 0 不符合题意

13、，当 a0时，如图 1，数形结合可得显然没有交点，当 a0 如图2，此时正好有一个交点，故有 a 0 应填,0或是 a | a 0 。- 7 -山东省泰安市第一中学解法 2（分离变量法）上述也可等价于方程2ax1在01x0,内有解，显然可得,02x2a17.（2009 江苏卷）函数 f (x) x315x233x 6 的单调减区间为.【解析】考查利用导数判断函数的单调性。f ( x)3x230x333(x11)(x1)，由 ( x 11)( x 1) 0 得单调减区间为 ( 1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。18.（2009 江苏卷）在平面直角坐标系xoy 中，点 P 在曲线 C :

14、y x310x 3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为.【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。y 3x2 102 x2 ，又点 P 在第二象限内，x2点 P的坐标为（ -2，15 ）19.（2009 福建卷理）若曲线 f ( x) ax3 ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 取值范围是 _.【答案】： (,0)解析：由题意可知f ' (x)2ax 21 ，又因为存在垂直于 y 轴x的切线，- 8 -山东省泰安市第一中学所以 2ax2 10 a13 ( x 0) a ( ,0)。x2x20.(2009 陕西卷理 ) 设曲线 y x

15、n 1 (n N * ) 在点（的切线与 x 轴的交 点的横坐标 为 xn , 令 ana1a2a9 的9值为.答案： -21，1）处lg xn，则解析：点（ 1， 1）在函数yxn 1(n N* 的图像上， （ 1， 1）为切点，)yxn 1的导函数为 y '(n 1)xny '|x1n 1切线是： y 1 (n 1)(x 1)令 y=0得切点的横坐标：xnnn1a1a2 . a99 lg x1 x2 .x99129899lg1lg.9910022 310021. （2009 宁夏海南卷文）曲线 y xex 2x 1 在点（ 0,1）处的切线方程为。【答案】y3x1【解析】y

16、'exxex2 ，斜率k e002 3，所以， y 13x，即 y 3x 1解答题29.(2009 山东卷理 )（本小题满分 12 分）两县城 A 和 B 相距 20km ，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km ，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y, 统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反- 9 -山东省泰安市第一中学比，比例系数为 4；

17、对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. （1）将 y 表示成 x 的函数；（11）讨论（ 1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离 ;若不存在，说明理由。解法一:（1）如图,由题意知ACBC, BC24002, y4k2 (0x20)Cxx2400xx其中当 x102 时， y=0.065, 所以 k=9A所以 y 表示成 x 的函数为 y49(0 x20)x2400x2y49y '89 (

18、2x)18x48(400x2 )2y '（2）x2400x2,x3(400x2 )2x3 (400 x2 )2,令18x48(400x2 )2 ,所 以 x2160 ,即 x 410, 当 0x 4 10B0 得时 ,18x48(400x2 ) 2 ,即 y '0 所以函数为单调减函数 ,当 46x 20时 ,18x48(400x2 )即y ' 0所以函数为单调增函数所以当2,.x410 时,即当 C点到城 A 的距离为 4 10 时,函数y492 (0x20) 有最小值 .2400xx解法二 : （1）同上 .（ 2）设 m x2 , n 400 x2 ,则 mn40

19、0, y49,所以mny49(4 9) m n113(4n9m)1(13 12)1 当且仅当mnm n400400mn400164n9m 即 n240时取” =”.mnm16049下面证明 函数 y400 mm在(0,160) 上为减函数, 在(160,400) 上为增函数 .-10-山东省泰安市第一中学设 0<m 1<m 2 <160, 则 y1 y249( 49)m1400m1m2400m2( 44 ) (99)4(m2m1 )9( m1m2 )m1m2400 m1400m2m1m2(400 m1 )(400 m2 )(m2m1 )49(m2m1 )4(400m1 )(4

20、00m2 )9m1 m2 ,m1m2(400 m1)(400 m2 )m1m2 (400 m1 )(400m2 )因为 0<m 1<m 2<160, 所以 4 (400m1 )(400m2 ) >4 × 240 ×2409 m 1m 2<9 ×160 ×160 所以 4(400m1)(400m2 ) 9m1m20 ,m1m2 (400m1 )(400 m2 )所以 (m2m1 ) 4(400m1 )(400m2 )9m1m 20 即 y1y2函数 y49m1m2 (400 m1 )(400m2 )m400 m在(0,160)

21、 上为减函数 .同理,函数49在 (160,400)上为增函数,设y400 mm160<m 1<m 2<400,则y1 y24949) ( m24(400m1 )(400 m2 )9m1m2m1400(m1)m2 )m1 m2400 m2m1m2 (400 m1 )(400因为 1600<m 1<m 2<400, 所以× 240, 9 m 1m 2>9×160 ×160所以 4(400m1 )(400 m2 )9m1m20 ,m1m2 (400 m1 )(400m2 )所以 (m2m1 ) 4(400m1 )(400 m2

22、 )9m1m 2m1m2 (400m1 )(400m2 )在(160,400) 上为增函数 .4 (400 m1 )(400 m2 ) <4×2400 即 y149y2 函数 y400 mm所以当 m=160 即 x 4 10 时取” =”,函数 y 有最小值 , 所以弧 上存在一点，当 x 4 10 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小 .【命题立意】 :本题主要考查了函数在实际问题中的应用 ,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题 .30.(2009 山东卷文 )（本小题满分 12 分）-11-山东省泰安市第

23、一中学已知函数 f (x)1ax3bx 2x 3 ,其中 a 03（1）当 a,b 满足什么条件时 , f ( x) 取得极值 ?（2）已知 a0 ,且 f (x) 在区间 (0,1 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围 .解: (1) 由已知得 f '( x)ax22bx1,令 f ' (x) 0 ,得 ax 22bx 1 0 ,f ( x) 要取得极值 ,方程 ax 22bx10 必须有解 ,所以4b24a0 ,即 b2a ,此时方程 ax22bx10 的根为x12b4b24abb2a , x22b4b24abb2a ,2aa2aa所以 f '(x) a(

24、x x1 )( xx2 )当 a 0 时,x(-,x1 )x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x00)f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以 f ( x) 在 x 1 , x2 处分别取得极大值和极小值.当 a0 时,-12-山东省泰安市第一中学x(-,x2 )x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x00)f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以 f ( x) 在 x 1 , x2 处分别取得极大值和极小值 .综上 ,当 a, b 满足 b2a 时,f ( x) 取得极值 .(2) 要使 f (x) 在区间 (0,1 上单调递增 ,需使 f '( x)ax22bx 1

25、0在 (0,1 上恒成立 .即 bax1 , x(0,1恒成立 ,所以 b ( ax1 ) max22 x22xax1a1a(x2 1 )设g( x), g '(x)a,22x22 x22x2令 g '( x)0 得 x1 或 x1 (舍去 ),aa当 a 1时, 011,当 x(0,1 ) 时 g '( x)0 , g( x)ax1单调增函aa22x数;当 x (1,1 时 g '(x) 0 , g ( x)ax1 单调a22x减函数 ,所以当x1时, g (x) 取得最大 ,最大a-13-山东省泰安市第一中学1a .值为 g()a所以 ba当 0a 1 时

26、,11 , 此时 g ' (x )0在区间 (0,1恒成立,所以ag( x)ax1 在区间 (0,1 上单调递增 ,当 x 1 时 g (x) 最大 ,最大22x值为 g(1)a21 ,所以 ba21综上 ,当a 1 时, ba ;当 0a 1a 1时, b2【命题立意】 :本题为三次函数 ,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数 ,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立 ,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.31. （全国，文 21）（本小题满分 12 分）设函数 f (x)1x3(1 a)x24a

27、x 24a ，其中常数 a>13( ) 讨论f(x) 的单调性 ;( ) 若当x 0时， f(x)>0 恒成立，求 a 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解析：本题考查导数与函数的综合运用能力， 涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函-14-山东省泰安市第一中学数，从而确定函数的单调性， 第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解：（I）f ( x)x 22(1a) x4a( x2)( x2a)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由a 1知，当x 2时，故f (x)在区间( ,2)f (x) 0是增函数；当 2x2a

28、 时， f ( x)0 ，故f (x) 在区间(2,2a) 是减函数；当 x2a 时， f ( x)0 ，故 f (x) 在区间 (2a,) 是增函数。综上，当 a1 时， f ( x) 在区间 (,2) 和 (2a,) 是增函数，在区间(2,2a) 是减函数。（ II）由（ I）知，当 x 0 时， f (x) 在 x 2a 或 x 0 处取得最小值。f (2a)1 (2a) 3(1a)(2a)24a2a24a34 a34a 224a3f (0)24a由假设知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.ma 1a1,4 a(af (2a)0,即3)( a6)0,解得f (0)0,324a0.1&l

29、t;a<6故 a 的取值范围是（1，6）32. （ 2009 广东卷理） （本小题满分 14 分）已知二次函数 y g( x) 的导函数的图像与直线 y 2x 平-15-山东省泰安市第一中学行，且y g(x)在x 1处取得极小值m 1(m 0)设g( x)xf ( x)（1）若曲线 yf (x) 上的点 P 到点 Q(0, 2) 的距离的最小值为2 ，求 m 的值；（ 2） k (k R) 如何取值时，函数 y f ( x) kx 存在零点，并求出零点解 ：（ 1 ） 依 题 可 设 g ( x)a( x 1)2m 1( a 0 ) ， 则g' ( x) 2a( x1) 2ax2

30、a；又 gx 的图像与直线 y2x 平行2a 2a 1g (x) ( x 1)2m 1 x22x m ，f xgxm2 ，xxx设P xo , yo， 则|PQ |2x02( y02)2x02(x0 m ) 2x0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2m222x0x022m2 2m2m2 2 | m |2m2当且仅当 2x02m2 时， | PQ |2 取得最小值，即 | PQ |取得最x0小值 2当 m0 时， ( 2 2 2)m2解得 m2 1当 m0 时， ( 2 2 2) m2解得 m2 1（ 2 ） 由 yf xk xk2x( x 0 ) ， 得1m0x-16-山东省泰安市第一中学

31、1 k x22x m 0*当k1时，方程*有一解xm，函数yf x kx有一零点2xm；2当 k1时，方程 *有二解4 4m 1 k0 ，若 m 0 ， k 1 m1 ，函数y f xkxx2 44m(1 k)，即有两个零点2(1k)x 1 1 m(1 k ) ； k 1若 m 0， k 11，m函数 yfxkx有两个零点 x244m(1k) ，即2(1k)x11 m(1k )；k 1当 k1时，方程 *有一解44m 1k0 ,k11 ,m函数 yf xkx 有一零点1mx1k综上，当k1时,函数y f xkx有一零点xm；2当 k1m1 ( m0 )，或 k1m1 （ m0 ）时，函数 yf

32、xkx有两个零点 x11 m(1k) ；k1-17-山东省泰安市第一中学当 k11 时，函数 y f x kx有一零点 x1m .mk133. （2009 安徽卷理）（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) x2，讨论 f ( x) 的单调性 .a(2 ln x),( a 0)x本小题主要考查函数的定义域、 利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分 12分。解 ： f ( x)的定义域是(0,+),f (x)12ax2ax2x2xx2.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m设 g(x)x2ax2 ,二次方程 g (x) 0的判别式a28 .当a28

33、0 ，即0a 22 时，对一切 x0都有 f(x)0 ,此时 f( x) 在 (0,) 上是增函数。当a280 ,即 a22 时，仅对 x2 有 f(x)0 ,对其余的x 0都有 f ( x)0 ,此时 f ( x) 在 (0, ) 上也是增函数。当a280 ，即 a2 2时，方 程g ( x)有两个不同的实根x1aa28, x2aa28 , 0 x1 x2 .22x(0, x1 )x1(x1, x2 )x 2( x 2 ,)f( x)+0_0+f ( x)单调递极单调递极小单调增大减递增此时 f ( x) 在 (0, aa 28 ) 上单调递增 ,在 ( aa28 , aa28)222是上单调递减 , 在 ( aa28 , )上单调递增 .234. （2009 安徽卷文）（本小题满分 14 分）已知函数，a 0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m-18-