惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式讲解

1、惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点:（一）.截面静矩和形心1静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积 dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即dSy =xdAdSx 二 ydA整个图形对y、z轴的静矩分别为Sy 二 A<dA（1-1）Sx = A ydA2. 形心与静矩关系设平面图形形心C的坐标为yC , zCSxSyy -， x=（ i-2）AA推论1如果y轴通过形心（即乂=0），则静矩Sy = O;同理，如果x轴通过形心（即y = 0），则静矩Sx=o；反之也成立。推论2如果x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如

2、果y轴为图形对称轴，贝昭形形心必在此轴上。3. 组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为 A,A2,A3An的简单图形组成，且一直 各族图形的形心坐标分别为R,/； x2,y2； x3,y3贝U图形对y轴和x轴 的静矩分别为' Ai yi(1-3)Sy 八 Syi iAi Xji -1i-1nnSxSxi = 'Aiyii 4i 4截面图形的形心坐标为' AiXii -1 y = _(1-4)4. 静矩的特征（1）界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。（2）静矩有的单位为m3（3）静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定 为零，

3、反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 若已知图形的形心坐标。则可由式（1-1）求图形对坐标轴的静矩。 若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2）求图形的形心坐标。组 合图形的形心位置，通常是先由式（1-3）求出图形对某一坐标系的静 矩，然后由式（1-4）求出其形心坐标。（二）惯性矩惯性积惯性半径1. 惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3），则图形对0点的极 惯性矩定义为Ip 二 A'2dA（1-5）图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为1 y ，b 二 A dA（ 1-6 ）惯性矩的特征（1 ）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一

4、坐标轴定义的。（2）极惯性矩和轴惯性矩的单位为m4（3）极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。（4）图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即2 2 2Ip 二 dA 二 A（x y ）dA=ly lx（I-7）（5） 组合图形（图I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩， 分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之 和，即(1-8)nlx 八 I Xii=1I八 I Q，I y = ' I yi ， i£i £2. 惯性积定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3），则图形对y轴和x

5、轴的惯性积定义为Ixy = AxydA( I-9)惯性积的特征（1）界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。（2）惯性积的单位为m4 o（3）惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标周中有 一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于 零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重 且不一定有图形的对称轴。（4）组合图形对某一对坐标轴的惯性积， 等于各组分图形对同一坐标轴的惯性积之和，即(I-10)Ixy 八 Ixyii丄3. 惯性半径定义：任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3）,则图形对y轴和x轴的惯性半径分别定义为iyix(1-11)惯性半径的特征（1）

6、惯性半径是对某一坐标轴定义的（2）惯性半径的单位为m。（3）惯性半径的数值恒取证之。（三）惯性矩和惯性积的平行移轴公式平行移轴公式x I xca A2 y <yCb A(I-12)xy = lxCyCabA(I-13)平行移轴公式的特征（1）意形状界面光图形的面积为 A （图（I-4）； xc，yc轴为图形的形心轴；x，y轴为分别与xC，yc形心轴相距为a和b的平行轴。（2）两对平行轴之间的距离a和b的正负，可任意选取坐标轴x，y或形心xc，yc为参考轴加以确定。（3）在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但 图形对形心轴的惯性积不一定是最小。yx（四）、惯性矩和惯性积的

7、转轴公式.主惯性轴主惯性矩转轴公式lx ly lx -lyxi丁丁cos2 jxysin2lyilx ly lxyl xiyi上 sin 2： Ixycos2：2转轴公式的特征(1)角度的正负号，从原坐标轴x,y转至新坐标轴xi,yi，以逆时针转向者为正（图5）。原点o为截面图形平面内的任意点，转轴公式与图形的形心无 关。图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯 性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即主惯性轴、主惯性矩 任意形状截面图形对以某一点 0为坐标原点的坐 标轴Xo、y的惯性积为零(1磧=0)，贝S坐标轴X。、y称为图形通过 点0的主惯性轴(图6)。截面图形对主惯性

8、轴的惯性矩I x。,1 y0，称为 主惯性矩。主惯性轴、主惯性矩的确定(1) 对于某一点0,若能找到通过点0的图形的对称轴，则以点 0 为坐标原点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点0的一对主惯性轴。对于具有对称轴的图形(或组合图形)，往往 已知其通过自身形心轴的惯性矩。于是，图形对通过点o的主惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接计算。(2) 若通过某一点o没有图形的对称轴，则可以点o为坐标原点，任作一坐标轴x, y为参考轴，并求出图形对参考轴 x, y的惯性矩Ix,Iy和惯性积Ixy。于是,位及主惯性矩分别为tan2a0 =-2Ixy丨x - yII+q -1 、2I x0 _

9、 1X1y +1 x1 y+ I 2I y021< 2丿I xy主惯性轴、主惯性矩的特征图形通过点0的一对主惯性轴方(I-16 )(I-17)(1) 图形通过某一点0至少具有一对主惯性轴，而主惯性局势 图形对通过同一点0所有轴的惯性矩中最大和最小。(2) 主惯性轴的方位角：0，从参考轴x, y量起，以逆时针转 向为正。(3) 若图形对一点o为坐标原点的两主惯性矩相等，则通过点o的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都相同。(4) 以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴， 称为形心主惯性轴。图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。x图1-5图1-6bh26二.典型例题分析例I-a试计算

10、图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。解：计算此截面对于x轴的静矩Sx时，可以去平行于x轴的狭长条(见图)作为面 积元素(因其上各点的y坐标相等)，即dA二b(y)dy。由相似三角形关系，可知b(y) =b(h-y),因此有dA = b(h-y)dy。将其代入公式(I-1 )的第二式，即得 hhh bh b h 2Sx 二.AydA = 0 h（h _y）dy =b 0 ydy _ r 0 y dy 二例题I-a图解题指导：此题为积分法求图形对坐标轴的静矩。例1-2试确定图示I -b截面形心C的位置解：将截面分为？、n两个矩形。为计算方便，取x轴和y轴分别与界面的底边 和左边缘重合（见图

11、）。先计算每一个矩形的面积 A和形心坐标（xi, yi）如下:矩形？2a- = 10 1 201 2 0mm-10L-120“x5mm ， y60mm1 2 1 2矩形n2A- =10 70 = 700mm7010x=1045mm ， y5mm将其代入公式（1-4），即得截面形心C的坐标为_ AX +37500 “x20mmA + A口1900A y - ' Ay75500y40mmA+ 51900解题指导：此题是将不规则图形划分为两个规则图形利用已有的规则图形的面积和形心,x轴的惯性矩Ix例I-3试求图l-c所示截面对于对称轴解：此截面可以看作有一个矩形和两个半圆形组成。设矩形对于x

12、轴的惯性矩为lx，每一个半圆形对于x轴的惯性矩为lx ，则由公式（I-11 ）的第一式可知，所给截面的惯性矩:lx = lx- 2lx 一（ 1）矩形对于x轴的惯性矩为：d(2a)31280 20031244=5330 10 mm(2)半圆形对于x轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得。 为此，先求出每个半圆形 对于与x轴平行的形心轴Xc （图b）的惯性矩Ixc。已知半圆形对于其底边的惯性矩为圆形对其直径轴x （图b）的惯性据之半，即二d4。I =x 128而半圆形的面积其形心到底边的距离为竺（图b）。故由平行移轴公式（I-10a），3 :可以求出每个半圆形对其自身形心轴 xc的惯性矩为:xCx

13、一（2d3 二二d41282d3:)2(3)二d4由图a可知，半圆形形心到x轴距离为a字，故在由平行移轴公式，求得每个 半圆形对于x轴的惯性矩为：lx 厂 Ixc +(a+； d)2A = ：28 -(勿)2帀：d2 d2 a2113 兀1282ad+3a 二将d=80mm、a=100mm （图a）代入式（4），即得(近322 100 80)3兀44=3460 104 mm将求得的Ix和Ix)i代入式(1)，便得Ix =5330 104 2 3460 104 =12250 104 mm4解题指导：此题是将不规则图形划分为若干个规则图形，禾U用已有的规则图形的面积、 形心及对自身形心轴的惯性矩，结合平行移轴公式计算组合截面图形对组合 截面形心的惯性矩。图I-c兀（£斗_十）64常用截面惯性矩计算公式t 7idA符号意义及单位皐 面对X轴的惯性矩（cm* ）d面直径（cm）符号意义及单位：A面对虹轴的惯性矩（cur）D大径（cm）d卜径（cm）aB符号意义及单位：4长方形截面对x轴的惯性（cm*） a长（cm）b宽（cm）-3符号意义及单位：A_惯性矩（cmTBQ图所示（cm）bQ图所示（cm）e： 重心S到相应边的距离（cm） e： 重心S到相应边的距离（cm）aQ图所示