二次根式知识点详解与精点训练

1、次根式知识点一：二次根式的概念形如 J （口工）的式子叫做二次根式。在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 “一】是、J为二次根式的前提条件，如，1，*'1 ''等是二次根式，而 J ，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a± 0时，二 有意义，是二次根式。所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根， 所以当a< 0时，丿没有意义。知识点三：二次根式（二二】）的非负性“（：工

2、）表示a的算术平方根，也就是说，（山工'）是一个非负数，即 三 0 ( * )。三0）这个性质和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若 G 八,则 a=0,b=0 ;若' I ' _ ，则 a=0,b=0 ;若,则 a=0,b=0 。知识点四：二次根式（'）的性质(;)知识点五：二次根式的性质知识点六：与：一即：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。-a （YOj= |of| =的异同点1、不同点”与表示的意义是不同的，'表示一个正数 a的算术平方根的平方，而：表示一个实数a的平方的算术平方根；在、 中二-，而弋中a可以是正实数，0

3、,负实数。因而它的运算的结果是有差别的,if2、相同点：都是非负数，即 L。当被开方数都是非负数，即l. - L时,知识点七：二次根式的运算(1) 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的 算术平方根代替，从而移到根号外面； 如果被开方数是代数式和的形式，那么先分解因式，变形为积的形 式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2) 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式.(3) 二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.

4、Vab = 4a b ( a>0 b>0 ；(4) 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及 多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.本节中还要记住一些常见根式的约等数，常见的有.21.414;.31.732;,52.236 ;、72.646【主要题型】二次根式有意义的条件:例：求下列各式有意义的所有 x的取值范围。g 2X；(2)，' 1()L；练习：1当X是多少时，下列程式在实数范围内有意义？ 3x 1、 2x 3 + 1、X3 +x2、. x 2, 1 2xx 1 x2.使式子(x 5)2有意义的未知数x有()个.A. 0B . 1C.

5、 2D .无数3.已知y=、2 x+ , x 2 +5，求的值.y4.若'-3x + Jx 3有意义，则Jx =.5.若' m1有意义，则m的取值范围是。最简二次根式例：把下列各根式化为最简二次根式:(1) . 96a3b a 0, b 0(2),25025a2b3121c4 a0, b 0分析：（1 ）被开方数的因数是整数，因式是整式; 因数或因式。同类二次根式：（2 ）被开方数中不含能开得尽方的例：判断下列各组根式是否是同类根式:(1)175； ：316；3：854分析：几个二次根式化成最简二次根式以后， 如果被开方数相同， 那么这几个二次根式 就叫做同类二次根式，所以判断

6、几个二次根式是否为同类二次根式， 首先要将其化为最简二 次根式。分母有理化：如果.2 与-2，例：把下列各式的分母有理化：1 375（1）2；2；（2）2、3.2 ；分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘,它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因式，如- 5. 3与.5. 3均为有理化因式。化简与求值:例1 ：计算:一 151V2分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特 别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。例2:化简:a 4b(1)a 2 ba 4 . ab 4b分析：应

7、注意21 )式 a 0, b 0 ,所以 a ,a , b-2b , a 4b可看作2可利用乘法公式来进行化简,使运算变得简单。例3 :化简(1) .st3 s 0 *6 2 x 463-! 323 233例4:已知：a， b求：ab a b的值。2 2分析：如果把a，b的值直接代入计算a3，b3的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到3 辽与、2互为有理化因子可计算a b, a b ,然后将求值式子化为a b与a b的形式。在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，应有意识的总结和积累。比较大小(1) 根式变形法当 a 0, b 0时，如果a

8、b，则a Jb ；如果a b ,则a , b。例：比较3.5与5.3的大小。(2) 平方法当a 0,b 0时，如果a2 b2，则a b ；如果a2 b2，则a b。例：比较3 2与2、3的大小。(3) 分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。2 1例：比较与的大小。V3 1 V2 1(4) 分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。例：比较,1514与.14 ,13的大小。(5) 倒数法例5:比较.7,6与/6,5的大小。(6) 作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质： a b 0 a b : a b 0 a b例：比较2 1与2的大小。V3 1 V3(7) 求商比较

9、法它运用如下性质：当 a>0， b>0时，则：aa1 a b ;1 a bbb例：比较5.3与2 一3的大小。规律性问题例1.观察下列各式及其验证过程:22-F-，*3+|(2° 2) + 22(2a-l)+2验证：验证匚8尸一123-1j 二；(1)(罗 3)+3 _ 加罗卄+332-1=按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想3?18的变形结果，并进行验证;(2)针对上述各式反映的规律，写出用 n(n >2且n是整数)表示的等式，并给出验证过程例2.已知，则a=发展：已知.|- i. I，则a=1十爲运十曲右十2 的9十1010+ aB. 2 C. 2例4、

10、已知a>b>0, a+b=6 -、05，则丄?b的值为（）A .丄2梟伍2例5、甲、乙两个同学化简八二：时，分别作了如下变形:y/h = = ： r a-b石-靠 需-亦j需+诙）''躬_ b屉梟 c局-屈“尽_（赳-b） _其中（）A.甲、乙都正确在实数范围内因式分解：B.甲、乙都不正确C.只有甲正确 D.只有乙正确2(1) 2x - 442(2) x - 2x 3.综合应用：如图所示的Rt ABC 中, 点A移动；同时，点Q也从点 PBQ的面积为35平方厘米？/ B=90。，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问

11、：几秒后 PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）【基础训练】1 化简：（1）72(2). 252 242(3)6 12 18(4) . 75x3y2 (x 0,y 0)(5)20-42.（安徽）化简4 23计算J的结果是A .2B.± 2C. -2D.4. 化简:（1）-.9的结果是；(2)( 08,南京)J2 3的结果是(3) 5罷 J8)=; ( 4)( 08,黄冈)5仮-2你=_5 计算 8、2的结果是A、6B、： 6C、2D、26. .3的倒数是。7. 下列计算正确的是A '厂 B ； TC 心 厂8. 下列运算正确的是A、1.60.4 B、1.5 21.5

12、 C、. 939. 已知等边三角形 ABC的边长为3<3，则 ABC的周长是10. 比较大小：3 、10。11. 使.x 2有意义的x的取值范围是12. 若式子x 5在实数范围内有意义，则x的取值范围是A.x>-5B.x<-5C.xM -5D.x> -513.函数.V -x-1中，自变量工的取值范围是14.下列二次根式中,x的取值范围是x>2的是.2 xB、 ,'x+21x 215.F列根式中属最简二次根式的是A. . a2 1B.C. .8D. ,2716.F列根式中不是最简二次根式的是A.10-6D. 217.F列各式中与是同类二次根式的是18.B.

13、/C.VsF列各组二次根式中是同类二次根式的是A.、12与B . .18与.27D . 45与 5419.已知二次根式 J "'：与心:是同类二次根式，则的a值可以是A、5B、6C、7D、820.若 x. a、b, y.a > b ,则xy的值为A . 2 . aB. 2 . bC. a bD. a b21若 a 2、b 320，则ab1 122.计算：(1)4 石一 4耳斤十 3 乞 2(2)+-32V 25 Y 2(3)23.先将啓弋d化简，然后自选一个合适的值，代入化简后的式子求值。24.如图，实数a、b在数轴上的位置,化简：. a2. b2, (a b)2il二

14、1b-101【拓展训练】-、分式，平方根，绝对值;1. va2(JR2成立的条件是2.当a时，宴 1 ；当a时，=1。aa3 若a2a，则 a；若、；a2 a，贝U a4.把x 1； x1!根号外的因式移入根号内，结果为 一5. 把-3 !a根号外的因式移到根号内，结果为 6. xv y，那么化简 y x J(Xy) 为10. 若a+划4b与73a+ b是同类二次根式，则 a=, b=11. 求使 aF为实数的实数a的值为。二、根式，绝对值的和为0 ；III21.若 J(a 5)2 J(2b3)2 =0,则 Jab =2.如果.a2 2ab b2 a 30求b 2a的算术平方根。a b=y 2

15、的值。x6. 在厶ABC中，a, b, c为三角形的三边，则(a b c)2 2c7.已知y J 8x 、8x 1 -,求代数式X y 2 x2Fyx y8.如果 y-+ Jjr 4 2, y 2工 + y = 三、分式的有理化1已知x=f+ 尸弋亍，求x2y2的值。5.已知x.3232，求下列各式的值;2 2x 3xy 2y x 2y x3 y3；四、整数部分与小数部分1后 的整数部分是 ，小数部分是 。aa K4已知x , x的整数部分为 a，小数部分为 b，求的值。2 <3a b五、根式，分式的倒数;111. 已知x+ - =4,求x-的值。XX3.若-； " "'_ 的值;六、转换完全平方公式；22 b1已知a b 4a 2b 50，求的值J 3b 2 寸 a3已知x, y是实数，.亠亠“ 八一订，若a