永磁电机气隙磁密的分析计算

1、中国电机工程学报第14卷第14卷第5期1994年9月Vol. 14 No. 5September 1994中国电机工程学报Proceedings of the CSEE永磁电机气隙磁密的分析计算陈阳生林友仰（浙江大学310027杭州市）提 要本文介绍一种在某些工程上常作的假设条件下，利用滋场分柝法,直接解算永磁电机空 载、负载气隙磁密波形，空载电势波形，滋通量以及电磯力矩的方法;并同非线性有限元分析的 结果，以及实验结果进行了比较。其计算精度髙，而计算匱仅相当于一般的磁路法，并且容易在 计算机上实现。关键词:磁场 永磁电机 有限元法 解析法1前言永磁电机的力矩及脉动情况一直是大家所关心的问题。

2、如何正确地计算永磁电机的力矩（一般 指平均力矩），以达到节省永磁材料，降低电机成本;如何正确地估算力矩的脉动含量，以稳定转速， 提高转速的可控性，降低电机振动及噪音,这些为设计者所关注的问题，都同电机气隙磁密波形的 准确计算有密切的关系。许多文献已经证明，采用非线性有限元法计算电机气隙磁密分布是个有效的方法，但其工作臺 大，计算时间长，并且在微机中常感内存不足,也不可能在优化设计中使用。传统的磁路法估算力矩 尤感不足,分析力矩脉动其准确性更成问题。本文介绍一种在某些工程上谢作的假设条件下，利用磁场分析法,直接解算空载、负载磁密波 呂，空载电势波形,磁通量以及电磁力矩的方法，其计算精度高,而计算

3、量仅相当于一般的磁路法， 严且容易在计算机上实现。?数学模型2.1假设条件设永磁电机的定、转子表面光滑，由开槽引起的影响用传统的卡特系数来等效;引入饱和系数 修正气隙长度来考虑磁路的饱和效应，所以可以假设定转子铁心的导磁率为无限大,整个磁路为线本文于1993年8月23日收到，1994年3月M日改回陈阳生91年毕业于浙江大学电机专业,94年获浙江大学电机专业硕士学位同年开始亦机电部52所从爭电机开发研制工 作林友仰56年上海交通大学毕业后在浙江大学电机系直工作至今。中国大百科全书（电工卷）电机编写组副主编.性。这样我们就得到如图1所示的电机 模型，内外铁心间是气隙。图1（a）表示 永磁体贴在外铁

4、心表面；图1 （b）表示 水磁体貼在内铁心表面。当然，永磁体 也可以放在气隙中的任意位置。2.2永磁体的等效图I电机模型1 一外铁心2 内铁心3-永磁体计算永磁体的磁场时，永磁体一 般需经过等效处理。磁介质经过外磁 场磁化后有了磁化强度在介质体 内和表面形成束缚电流，对于均匀磁 化的介质，朿缚体电流为零，仅产生束 缚面电流，所以对外界而言图2S）的 永磁体可用图20）的环绕体表面的带电流的空心线圈来等 效。其表面电流密度为= M X nn对表面的法线方向的单位向量。对于具有线性去磁特性的永磁体（例如稀土永磁材料, 铁氧体），面电流密度几=凤,这里儿为矫顽力，这时永磁体 的磁导率为片=BjH&#

5、169; = tga式中Br为剩磁山为去磁曲线。（见图3）的倾角。为了简化分 析，我们将实际的去磁曲线a用虚拟的去磁曲线b來替代，且 令虚拟磁导率等于真空磁导率“o = tg</式中E为虚拟去磁曲线b的倾角。且曲线6与曲线a相交于 0. 752 点。通常为了充分利用7k磁材料和不被电枢磁场过分去磁, 电机的工作点常选在0. 5斤R之间，这里取平均值0. 755。在 这个范围内，工作点磁密的最大误差唤不难由图3中的几何 关系求得D E = 0. 25 1 _ £若坷/阿=12,则乩=0. 042B,即误差小于4.2%。由于稀 土、铁氧体等永磁材料的相对磁导率均略大于1，所以用上述

6、方 法近似处理永磁体，在工程上，已有足够的精度。虚拟去磁曲线 b于横轴的交点，即虚拟矫顽力tre = E/如=0. 75 BJ胚 + 0. 25凤图3去磁曲线因此，我们把永磁体等效为一个面电流密度为乩的空心线圈, 并使整个气隙中的磁导率均为“。，为以下的磁场分析提供了条 件。© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ki.nct#中国电机工程学报第14卷3算法原理设气隙中有一带电流2的理想线圈，如图4(a)所示,线圈跨度为仇，处在半径为

7、凡的圆周上。在极坐标系统中，二维场的标量磁体炉满足拉氏方程空+丄理+丄空=0护十T羽十八羽2 U图4气隙中的等效线圈由前面假设，内外铁心磁导率无穷大，则可在气隙内解拉氏方程，求得标蛍磁位卩，并由B =他 grad 妙 得到在铁心表面丁=乩处的磁密切向和径向分量分别为Bn 0Bri = E4 i sinl今卜 cos(n)(1)在内铁心表面r = /i2处分别为B(2 = 0BtZ jA2 i sin J n y j cos(w)<2)其中，2"。局7於+曲A =帀昭二丽2沟RL 於+股n = 1,2.3,4,0如图4(a)示，是被观察点M与线圈中心线之间的夹角(逆时针)。当气隙

8、内有2P个理想线圈均匀分布时，如图彳3)所示，由于磁路为线性,则可线性叠加，得到 合成磁密(因切向分虽为零)当T Ri时= 2P Ai i sin”劄 cos(»0)(3)当r= Rz时BtZ = £ 2P A2 i sin( n纠 cos(M)其中n=(2m + 1 )Pm = 0t 1 i2»34空载磁密计算 4.1径向充磁磁钢的空载磁密计算永磁电机理想空载时气隙磁场由永磁体激励产生。如前所述，永磁体可用等效面电流来等效。 对于径向充分磁化的瓦形磁钢，如图5(a)所示，只有两边AB,CD上分布有面电流，所以可以用在乩 <r<«S范围内均匀

9、分布的理想线圈来等效，线圈跨角等于磁钢宽度“，理想线圈的径向单元电流为 di = Ifcdr则由2P(P为极对数)块磁钢在气隙中共同产生的磁场可从式(3)式(心推导得到% =£ 2P 4 sin号 | cos(“0) lie dr当r = R2时DO=刀力 01 He n*» 0 cos(rt<?)2P 冷 s叫"号卜 cos(n) Hc dr1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. h(tp:/Avki.nct#中国电机工程学报第14

10、卷1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. h(tp:/Avki.nct#中国电机工程学报第14卷gi=乙屜比 sin卜 y | cos(n)其中Am =警-2P 丽兰鬲(缶+股儿)如=华2P硏仔(4$ +砒A4)尽+尽I念=丄“A4 =ln(Ze3/?4)羽r _用F1 nn =(2m + 1)P当n = 1当心1m = 091,2.3图5气隙中永磁体的等效模型4.2平行充磁磁钢的空裁磁密计算对于平行充分磁化的瓦形磁钢，由于其各点磁化方向均与OF线平行，所以其等效模型比

11、较复 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. h(tp:/Avki.nct#中国电机工程学报第14卷杂，如图5。)所示，不仅两侧分布有JH>cas(a/2)的面电流并且曲边BC上分布有几= ；sin (小的面电流，曲边AD上有几= H>sin(“)的面电流p是磁钢表面点E同磁钢中心线OF的 夹角(逆时针)。那么总的磁场由三部分组成。其中AB.CD上面电流产生的磁场可仿照径向充磁磁钢的分析得到当r = Rx时 cos(m/?)© 1994-2011

12、China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, ki.nct#中国电机工程学报第14卷© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, ki.nct23中国电机工程学报第14卷当 r Rz 时 Bg =彳02 "； cos(号卜 sin n 号卜 cos(n)对于曲边力上分布的面电流，可以看成是一系列跨角为20的理想

13、线圈，线圈切向单元电流为di = H； sin (戸) R3 d0则由力上面电流产生的合成磁场为当r = «i时Bos = 工 2P A sin(w) cos(n) sin(fi) R、邛J0十08=2 凤 COS(72)m-0当T = R2时Bog =，2P S2 sin(n) cos(n) “； sin(Q) R3 J 0 m=iCl其中/4o3 = - 2P "7T血=一等2P帝一孑, a sin (a)As=-2 sin(n 1) a/2)局一1 砒 +,当71 = 1时sin(n + 1) a/2)% 1n =(2m + 1)P同理，曲边AD上面电流产生的合成磁场

14、为 当=乩时m = 0,1,23其中8Bor =另血氏 cos(n&)Bos =另如 H； cos(n)血=_不 2P胯_硝“局-皿&R?-胯n = (2 m + 1)P 加=0,1,2,3,407 = - 2P 7T用上面所述的方法可以较准确的计算永磁电机的空裁气隙磁密波形。作为校验，我们对一台外 径为80cm的4极无刷直流电机进行了计算(永磁体用敛铁哪制成耳贴在内铁心表面)，并同有限元 的分析结果进行了比较,分析得到的波形如图6所示。可以看岀，除亍由于开槽引起的气隙磁密畸变 部分之外，用上述算法得到的波形和用有限元法得到的波形基本吻合。其中图6(。为径向充磁，图6 0)为平

15、行充磁图7 («)(&)为对应于图6(a)(6)的电机空载磁力线分布图。© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, ki.nct#中国电机工程学报第14卷© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, ki.nct#中国电机工程学报第14卷(G径向充磁平行充磁图6空载磁

16、密波形比较曲线1-埋论分析曲线2-有限元分析图7空栽磁力线分布图Q)平行充磁© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, ki.nct第5期永磁电机气隙磁密的分析计算25充磁方式磁通（10Wb）谋差理论计算有限元法径向充磁1.75761. 73681.2%平行充磁1.63951.61561.5%表1空載磁通比较lOTTTrrrkru I rvru i 八 ryn 八 | 八严）060120180 240300360角度对分析得到的气隙磁密进

17、行积分就可得到 电机空载磁通。用这种方法得到的磁通同有限元 分析的结果非常接近，见表1,其误差完全可为一 般的电机设计者所接受。5空载反电势波形的计算无论是永磁电机的设计，还是无刷电机力矩波动的分析，反电势波形都是大家非常关心的。由 上面得到的气隙磁密波形，可以推算得到空载电势波形。对样机进行分析（磁钢为平行充磁），计算得到的空载电势波形，同相应的有限元分析结果的比 较如图8所示，图9则是从示波器上拍摄的实际相电势波形。图10为径向充磁时计算的相电势波形的 比较。可以看岀，除了电势波形上的齿谐波外，计算与实验所得到的波形吻合得非常好，完全能满足 一般计算的要求。图8平行充磁空载电势波形图9实测

18、电势波形曲线1-理论分析曲线2-有垠元分析采用冇限元法计算空载电势波形时，由于气隙磁密波形中叠加了齿谐波,所以必须计算一系列 不同转子位置的气隙磁场，然后再利用公式e = 需得到电势形波，其中9为转子角速度,*为线圈匝数。在本例的计算中，转子每转过1度计算一次非 线性有限元,共计算一齿距30度，30个结果（一个齿距后，波形重复）。用386微机加387协处理器在 33M晶振下，计算一个空载电势波形就需40小时左右，用486微机也需30小时左右。可以说,微机几 乎已不能满足这类计算的要求,而采用本文的计算方法不需十分钟，就可以得到反电势波形而精 度又可同有限元相比。6负载磁密及力矩的计算负载时气隙

19、磁密由磁钢及电枢电流共同作用产生，由前面假设可知，气隙磁密可以线性叠加。理论分析有限元分析 I 外|, irrrrwrTrrrrn60120180240300360角度图11负载分析模型图10径向充倉空载电势波形曲线1 一理论分析曲线2有限元分析若磁钢产生的气隙磁密已由上面的空载分析得到，则负载分析只须在前面基础上分析电枢电流产 生的磁场即可。一殷，电机电枢线圈嵌入槽内。这里按传统的处理方法作简化，认为槽内的线圈等效为在槽口 y范围内均匀分布，并附于电枢铁心表面的面电流层。这样对于某一实际线圈，可以看作是由许多 在y范围内均匀分布的理想线圈组成,理想线圈中心线与实际线圈中心线重合,i般化模型如

20、图11 所示，线圈实际跨角为C线圈若嵌入外铁心槽内则Rs=R,若嵌入内铁心槽内则屁 可以得到理想线圈的电流元为w为线圈匝数为线圈电流。则该线圈产生的气隙磁场可从式（】）与（2）推导得到 r = Ry 时 sinl n 1 cos(n)-y; &2 =。i “=1.2,3.4其中 由上面分析得到的结果,是电机中某-线圈产生的磁场。由于电机绕组接法很多，所以须按线圈实 际分布单独分析后，再叠加才得到总的电枢反应磁场.电枢反应磁场经过坐标旋转，同空载分析的 结果叠加,就得到负载磁密分布波形。对前述样机进行分析，得到负载磁密分布图（见图12）,并同有限元的负载分析结果相比较，可 以看出除槽口部

21、分外，波形基本吻合。所得到的负载气隙磁通同有限元分析结果相比较，见表2,误1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. h(tp:/Avki.nct第5期永磁电机气隙磁密的分析计算#差也完全符合一般的工程要求。图13(a)(6)为对应于图12(a)(6)的电机负载磁力线图。1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. h(tp:/Avki.nct第5期永磁电

22、机气隙磁密的分析计算#1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. h(tp:/Avki.nct第5期永磁电机气隙磁密的分析计算#GO径向充磁(半行允磁图12负载磁密波形比较曲线1 一理论分析曲线2-有限元分析1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. h(tp:/Avki.nct第5期永磁电机气隙磁密的分析计算#1994-2011 China Acade

23、mic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. h(tp:/Avki.nct第5期永磁电机气隙磁密的分析计算273)径向充破3)平行充磁图13负疲破力线分布图由前面假设可知，该电机分析模型的电枢表面有一电流层，而电枢表面的磁场分布也已求得, 所以可利用比奥萨乏定理f = B i L求得作用力，因而也可得到电机的电磁力矩。用上述方法计算得到的力矩同有限元分析结果的比较 见表3。可见这种方法算得的力矩精度同样也满足一般的工程计算要求。表2负栽磁通比较衷3电磁力矩比较充磁方式磁通(10TWR溟差理论计算有限元法径向充栓1.7

24、5701.73601.2%平行充磁1. 63901.61491.5%充磁方式力矩课差理论计算有限元法径向充磁72. 8274. 9641%平行充磁73. 3377.164-9%7结论由于一般永磁材料的磁导率接近气隙磁导率,所以磁钢表面粘贴的永磁电机其等效气隙很大, 整个系统线性度较好，因而用上面介绍的算法，可以比较准确地计算永磁电机的空载、负载气隙磁 密波形、空载电势波形、气隙磁通以及电磁力矩，并且计算量小。而有限元分析的计算量极大并且 还有有限元的前处理问题。本文介绍的方法其工作虽同有限元法相比几乎是微不足道的，并且容易 在计算机上实现。采用这种方法的另一个优点是可以任意修改电机各项主要参数，立即得到不同的 气隙磁密波形、空载电势波形，磁通量以及电磁力矩等，这对永磁电机的优化设计，以及力矩波动分 析都非常有效，有很高的实用价值。注:上文所有单位均采用国际标准8卷考文献1 Nady Boules Prediction of no-load flux density distribution in permanent magnet machines,IEEE Tranon industry appl. VOL 21,19852胡之光电机电磁场的分析与计算机械工业出版社.3周克定电机电磁场专论华中工学院电机教研室讲义.4 Straton J A.