求函数极限方法和技巧汇总

1、求函数极限方法和技巧汇总【26种技巧】一、求函数极限的方法R运用极限的定义M:用极限®|证明：jc丄3工+ 2hm= Iz 耳一2p 3x +2x2 X d-4x-21rl 2 1证；由V£>0取S =eirjj±jO<Jc-2<(5 吋，就和由函数极限丘一$定义有:2.利用极限的四则运算性质lim f(x)=jrfr.二 A lim g(x) = BXX(I) Hm/(x)±g(x)J = lim f(x) ± limg(x) = A±By f JTTK.YT.Y.XTK(II)g(x)| = lim f(x) l

2、img(x) = A B仃ID若BHO则：©（c为常数）f(x lim/(x) A ig(兀)hm g(x)B仃¥)lim c /(x) = c lim f(x) = cA上述性质对于x T 8,” T +8,x T -8时也同样成立X + 亍 Y +例：求limr" X + iF+b + Q 和+丫 + Q lim=E X + £Y + f Y3、约去零因式（此法适用于XT对时省型）例：求 lim J r 76"20X2x + 7f + 16x+ 122 原式二 lim 片亠；10：) + (26一 20)X + 5/ + 6彳 +(2, +

3、 Ox +12)x->-2(x + 2)(x* 3x -10)(x + 2)(F +5x + 6)r (x2-3x-0) . (xo)Cr+Y)=lim ；=limi2 (x2 + 5x + 6)工4(X + T)(x + T) -lim 口 j4、通分法(适用于8-8型)例：求>= lim(T-x)i(Y + x)(Y-“)W:原去lim Jd) 附八 S(Y+x)(T_x)5.利用无穷小诫性质法(持别足利用无穷小界戢Z乘枳仍为无穷小戢的性质) 设函数f(x)、g(x)满足：(T) /W = (TT) |g(x)| < M为止整数)©则.limg(x)/(x) =

4、 O例:求 limxsin x樓：由 吨 2。 ifu sin-<'I故原式=limxsin = 0attOx(I)若：lim/(x) = oo则,im7=0(II)若：lim/(x) = O11f(x)HO 则lim= 8例：求下列极限、 1 lim limX+ X + °XT X 一 1解：由迪" + 5) = 00故由 lim(x-l) = 0 故lim= k-ho * + olim = 8 z % 17.等价无穷小代换法设a&,0.0都足同-极限过程中的无穷小量.fLYi：aa',p , lim存在,© P.aa , a则也存

5、在，俎冇lim-= limy例:求极限lim IEx sinx解：sinx"x' -cosx" hm - kt x sinx注：在利用等价无穷小做代换时.一般只在以乘枳形式出现时可以互换.若以和、井出观时.不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量Z比的“阶&利用两个重要的极限(A)m- = (B)lim(1+ 丄)'f =匕2 XK 十X但我们经常使用的足它们的变形： (J)limSin(A)= 1,(x) t 0)(P(x)(B )lim(1+)例'> =e(p(x) > oo)<P(x)例：求下列函数极限

6、八"一、znx 1- In cos arP).lim(2)Jim-s rz In cos 加解:0)令=仏则 于是二"呎Inaxln(' + ”)又出xtOM O，厶 a1 -IulnaInaiui ：lim= lim= lim x->0 x|ln(l + u) a ln(l +“)na .=lim = InezwtO1ln(l +“)"、原式= im"(' +(COSQ ')i ln'+ (cosbx-')ln(' + (cosax-') cosbx ' =lim鹰tcos ax c

7、os ax 1叩+ (cosbx -')cosbx-' cosbx-y=limj cosar-'9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）°= (B)lim(l+ 丄)”=匕2 X只十X但我们经常使用的足它们的变形：(J)limSin(A)= l,(x) t 0)(P(x)(B )lim(1+)*(o =eA(P(x » «>)g)例：求下列函数极限八"一' 小 In cos ar0)Jim Jimxt xz In cos 加s八、入工ni.iln('+") th a"-'

8、;una解：(')令/一'二仏则x =于是=Inax ln(' + “)(2)、由 l，1(U V)= ln(14-xrX令0兀)=(1+切*故冇：lnfl + x) 丄 .丄lim = limln(l +x)c = ln(lim(l + x)x) = Ine = 1ytO xr-010.变虽替换法(适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型特别地仃:例：求卜列国数极限m. n. k. 1为正整数。 liiTl (w、n W N) lim(KT8解：（曲I五则当XT'时/T1,于足 (1-/)(1 + / + /2 +广“)m"吧(l-/)(l+/ +

9、r2+/"') 7由于lim(.Y-fg令：土则,+i = !+l2 tt 2v+' = lim(' +r+' = |imp + /)；=丫兀 +、丫兀 +、7lim(l + t)f - lim(l +1)2 = e-1 = e ftO/-tOIK 利用函数极限的存金性定理定理：设在X.的某空心邻域内恒仃g(x)Wf(x)Wh(x) fl冇:lim g(x) = lim h(x) = A则极限!1咒/(力存在，且有lim f(x) = A例：求 lim (a>l, n>0)W： 当xMl时存在唯一的正整数k,使k WxWk+1于足当n>

10、;0时有：乂函 当xT+oo时,kT+oo 有lim8八【2、用左右极限勺极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限.以及用定义求极限 等悄形)0定理：函数极限凹,/存All博于A的充分必要条件足&极限上咒广(X)及右极 限巴?")都存在“都等于A。即有：lim f(x) = /I o lim f(x). lim f(x) =A例：解M lim f(x) = lim('-Ya") = -' lim f(x)= 一'J YI'由/('-"/('+)/. lim /(“)不存在13、罗比塔法则(适用于未定式极限)

11、定理：若(/) lim f(x) = 09 lim g(x) = 0 .IT%f%()/与X在心的某空心邻域""(心)内刊导，Kg(X)H 0(帀)lim上空 =«力可为实数，也可为±8或8)则 w g (x)f g(x) F g (x)此定理足对二型而占，对于函数极限的其它类型.均冇类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下儿点：0 8L要注意条件.也就足说.心没冇化为只，一时不可求导。(J 82、应用罗叱塔法则，要分别的求分子、分厲的导数，而不足求整个分式的导数e9、要以时化简极限符号后面的分式,在化简以后检査是否仍是未定式.若遇到不 是未定式，

12、应立U卩停止使用罗比塔法则.否则会引起错误。f (x)4、当lim彳 不存在时.木法则失效但并不足说极限不存在.此时求极限须用i g(X)另外方法.4、纳冲 i g (x)不存在时.木法则失效.但并不是说极限不存在.此时求极限须用另外方法.例：求下列函数的极限(Elim-"''、' / lim (a>0,x>0)z ln(l +x )一2 *解：令 f(x)= r -(、+ w)%, g(x)=1n(l+x2)+ g W = ；-A-rw=以+(、+5一倉(切=W0 + x )ill于/() = /()= sg(9 = g (9= 但 /"

13、;() = g"(-) = T从而运用罗比塔法则炳次后紂到lim£-0W=lim-(l + 2x) z ln(l+x )2xi+7=册+(1 + 2川r-M>2(1_F)(1+x2)2 宙 lim lnx = q lim xu = 8、丁故此例屈于二型.山罗比塔法则有:8In x'sin x = x+0(八)+(-'厂5、('+x)“=、+ ovxXI+ W)14、利用泰勒公式对于求某吐不定式的极限來说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：丫2Xn1、eK = l+x + + + o(xn)2?nlx x + + HOt

14、tx X3. cosx = '+ +VI V 4、ln(> + x) = x- + + (-y)n + o(xn) 丫n6. = 1 + x + x2 +x"+u(x")l-x匕述展开式中的符弓o(x")都有：X解:利用泰勒公式,当兀-> 有Jl +X = 1 + + u(x)心e-丘)rrkt15.利用拉格朗II中值定理定理:若函数f满足如下条件:(I) f在闭区间上连续(IT)f在S ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点使得此式受形可为:b-.e -elim:x-sinx解:令/(x)二对它应用中值定理得/-严' =f(x)-

15、 f (sin x) = (x - sin x)f (sin x + 0(x - sin x) ( v8 v ')即a _ sin e7= / (sinx+ &(x-sinx) ( v & v ')A-sinxI f '(x) = ex 连续 lim / (sin x + O(x - sin x) = / (0) = 1 r-O从而有：lim-='i x-snx16求代数函数的极限方法有理式的情况,即若:R(x = *+口严+ ° Q(x) 久x”+b'+ h,仃）当XT8时，有恤竺=血小”“严+m.十 Q(x) I. b.x&

16、quot; + bf +亿a.rOOo HO"。HO)m-nm < ntn > n）当XT 时有:若。（儿）工0则则 lim7jn=o°x Q(x)P（x） = 的s靈根,即:若C（x.）= , P（x.）= ,则分别考电若P(x) = (x-x.y P.(x)也为c(x)= 的 1重根，即:Q(x)=(x-x.)rQ,(x)可得结论如下:lim 竺=limf Q(x) f Q3, S>P,(x.)£0心.),s8,S例：求下列函数的极限limXT8(2x-3h(3x + 2)“(2x +1)50X _ W + Y卿解：分子.分母的最高次方相同故

17、limTTg丫 *.广©A P(x) = XT-x+ Y,. P(') = A Q(x)二 F_& +匚0(')= P(x)，O(x)必卻何(x-l) z因子.即彳门的軍根故有:lim ：V _ J + y = lim T ,E(x-)(F +U + T)(2)无理式的惜况。虽然无理式惜况不同于冇理式.但求极限方法完全类同.这里就 不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。例：求 lim(Jx + >/x +依 - V7)TT2解:lim (Jx +Jx +V7 -Vx).x + Jx +石-x=lim 彳Jx +Jx + 坂 + VxJx4

18、 肩 y二.多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的卑本方法，然仙每一道题目并非只冇一种方法。因此我们 在解附要注意各种方法的综合运用的技巧.使得计算大为简化。例:求 lim_ 3'E x sinr解法一:.l-cosx Inn；e f sinx42xsinx=lim .2z 2x x" cos a " + 2.vsin xsinx"=lim .cosx +sinxsin x2=limr =z 2 sinx 2cos x +；注:此法采用罗比塔法则配合使用两个逅要极限法。X2sin 2X2sin 2解法二:r '-cosx 2 sin*一 limr r2 i-* sinx 二 h巴 =lim