第7章_参数估计

1、第一节第一节 点估计点估计第二节第二节 估计量的评判标准估计量的评判标准第三节第三节 区间估计区间估计第四节第四节 正态总体参数的正态总体参数的 区间估计区间估计第五节第五节 单侧置信区间单侧置信区间 本章要求本章要求 1. 1. 熟练掌握点估计的两种方法熟练掌握点估计的两种方法; ;2. 2.掌握估计量的评选标准掌握估计量的评选标准; ;3. 3.掌握区间估计的一般方法掌握区间估计的一般方法, ,会求正态母体的均值、会求正态母体的均值、方差以及均值差与方差比的置信区间方差以及均值差与方差比的置信区间. .重点重点 矩法矩法 极大似然估计法极大似然估计法 置信区间置信区间学时学时 6现在我们来

2、介绍一类重要的统计推断问题现在我们来介绍一类重要的统计推断问题. 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数未知的仅仅是一个或几个参数.12( , )(,),nF xXXX12n设总体的分布函数为或分布密度为f(x, ).其中 是未知参数,(X ,XX )为来自总体的样本.今构造一个统计量若以这个样本函数 去估计参数则称 为 的估计量.1212,),(,),.nnx xxXXX

3、若(是样本的一个观测值 将它代入就得到 的具体数值 这个数值称为 的估计值参数估计问题的一般提法参数估计问题的一般提法12(,)nXXX若要求构造一个统计量来作为未知参数 的估计量,就称为 的点估计.11221212(,)(,),( ,),nnXXXXXX 若要求构造两个统计量和而用作为 的可能取值范围的一种估计 就称为参数的区间估计.点估计参数估计区间估计第一节 参数的点估计一、点估计问题的提法一、点估计问题的提法二、估计量的求法二、估计量的求法三、小结三、小结一、点估计问题的提法一、点估计问题的提法 设总体设总体X X 的分布函数形式已知的分布函数形式已知, 但它的一个或但它的一个或多个参

4、数为未知多个参数为未知, 借助于总体借助于总体X X 的一个样本来估计的一个样本来估计总体未知参数的问题称为总体未知参数的问题称为点估计问题点估计问题.),(),(2121 来估计未知参数来估计未知参数用它的观察值用它的观察值一个适当的统计量一个适当的统计量点估计问题就是要构造点估计问题就是要构造nnxxxXXX.),(21的估计量的估计量称为称为 nXXX.),(21的的估估计计值值称称为为 nxxx二、估计量的求法二、估计量的求法一、一、 1. 矩估计法矩估计法( 数字特征法数字特征法 ) 理论依据理论依据: 它是基于一种简单的它是基于一种简单的“替换替换”思想建立起来思想建立起来的一种估

5、计方法的一种估计方法 .是英国统计学家是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的皮尔逊最早提出的 .大数定律大数定律12kkkknXXXXkE()=E()=E()=E()=11(1,2)nPkikiXkn k由大数定理知,当n时,A1212(,)(,)Pkkg A AAg 从而存在阶矩的若总体因为)(,kXEkX,21总体同分布且与相互独立XXXXn同分布且与相互独立kknkKXXXX,21 以样本矩作为总体的相应矩的估计以样本矩作为总体的相应矩的估计; ; 以样本矩以样本矩的函数作为总体的相应矩的同样函数的估计的函数作为总体的相应矩的同样函数的估计, , 称为称为矩法估计矩法估计. . 1: ( ,

6、 ,.,)kf x例如 设总体X的分布函数为(),rrE X且存在 则11(,.,)()( ;,.,),(1,2,., )rrrkrkE Xx f xdx rk 又设又设X X1 1,X,Xn n是是X X的一个样本的一个样本, ,做相应的样本矩做相应的样本矩: :1():(,.,)(1,2,., )rkrArk令在上述方程组中在上述方程组中, , 把样本矩把样本矩A Ar r看作已知看作已知( (用观察值代用观察值代), ),从而可得未知参数的估计量从而可得未知参数的估计量. .11()nrrrriivE XAXn总体矩样本矩1112221212(,)(,)(,)nnkknXXXXXXXXX

7、矩估计法的具体步骤矩估计法的具体步骤:11(2)1,2,nrriiAXrkn12,kk 这是一个包含个未知参数的方程组.12(4),k 解出其中12(1)()( ,)1,2,rrrkvE Xvrk 求出12 ,.k 用表示1212 (5),.kk 用方程组的解分别作为的估计量 这个估计量称为矩估计量(3)rrvA令例例1 已知一批灯泡已知一批灯泡 寿命服从指数分布寿命服从指数分布 ,求未知求未知参数参数 的矩法估计量的矩法估计量.( )E解解:X111niiAXXn1X令11niinXX则11vEX1222,(,).nXXXX2例设某总体X的数学期望为 ,方差为为来自 的一个样本求 及的矩法估

8、计量解:122()vEXvE X1122111niiniiAXnAXn1122vAvA令12211()1()niiniiE XXnE XXn即1222111niiniiXnXn即122112122111()1)1(niinniiiiniiXnSXnXXXnnnXn则解解: :242122221(1367 1453 1502 1650) 1493431()441(1367 1493)(1453 1493)(1502 1493)(1650 1493) 414069iixsxx2149314069 2223( ,),.4,1502,1453,1367,1650.,.XN 例设某种灯泡的寿命其中均为未

9、知参数今随机地抽取 只灯泡 测得寿命为试用矩法估计22,.xXsS用 表示 的观测值表示的观测值),(xf1,0,010,1xxxx解:1XX124,:nXXXXX例设是来自总体 的一个样本的密度函数为试用矩法估计总体参数 .1110( , )1vEXxf xdxxxdx11:vA令1X即1AX2.最大（极大）似然估计法最大（极大）似然估计法 最大似然法最大似然法是在总体类型已知条件下使用是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的年提出的 ，然而，然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇这个方法常归功于

10、英国统计学家费歇 . 费歇在费歇在1922年重新发现了这一方法，并年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质首先研究了这种方法的一些性质 . 最大似然估计法，是建立在最大似然原理的基最大似然估计法，是建立在最大似然原理的基础上的求点估计量的方法。最大似然原理的直观想础上的求点估计量的方法。最大似然原理的直观想法是：在试验中概率最大的事件最有可能出现。因法是：在试验中概率最大的事件最有可能出现。因此，一个试验如有若干个可能的结果此，一个试验如有若干个可能的结果,.,CBA 若在一次试验中若在一次试验中，结果结果出现，则一般出现，则一般A出现的概率最大。出现的概率最大。A认为认为基本原理

11、基本原理:根据概率大小估计参数根据概率大小估计参数.例如例如: : 某人在一次篮球测验中某人在一次篮球测验中1010投投6 6中中. .已知此人已知此人必是甲、乙两人中的一个必是甲、乙两人中的一个, ,而甲、乙每次投中的而甲、乙每次投中的概率分别是概率分别是0.80.8和和0.4.0.4.请就此人是甲、乙中哪一请就此人是甲、乙中哪一位作出较为合理的判断位作出较为合理的判断. .分析分析:X10,XB(10,p)设 表示次投篮投中的次数则66410664100.8(6)(0.8)(0.2)0.0880.4(6)(0.4)(0.6)0.111pP XCpP XC分别计算时时尽管甲、乙均有可能是此人

12、尽管甲、乙均有可能是此人, ,但我们更愿意猜测但我们更愿意猜测此人是乙此人是乙. .66410,(6)(1).P XC ppp因此 使得最大的 为所求1212()( ,),(),.kiniXP Xxf xx xx 设总体 的分布律(或密度)为为未知参数为一组样本观测值如果在一次试验中某事件发生了,说明此事件概率必为最大.从这一原理寻求 的估计量.121( ,)nikif x 1122(,)nnP Xx XxXx1122()()()nnP Xx P XxP Xx11221212( , ,)( , ,)( , ,)kknkf xf xf x ,.该概率应该最大 以相应的 作为 的估计值121,(

13、,),.niikiif x i应用极值原理 这个关于 的函数要在取得极值 应该取为函数的驻点 由于由于12ln,kL 与与12,kL 在同一 处达到最大值，12,k为最大似然估计的必要条件为 12ln,0iikiL1,2,.,ik称它为似然方程.因此，121212:,( ,),(),.KinnXf xX XXx xx 作法 设 是随机变量 其分布律(或密度)为是未知参数是来自总体的样本 样本值为12121(1)( ,)( ,)nkikiLLf x 构造似然函数: 1212( ,)(2)():0ln ( ,)0(1,2)kikiLLik 得似然方程 组或1212(3)( ,)(,).iiniii

14、nix xxX XX求方程 组)的解,得:为 的极大似然估计值.为 的极大似然估计量 例例5 5 设设XN(,XN(,2 2),X),X1 1,X,Xn n是来自总体是来自总体X X的样本的样本, ,试试求求，2 2的极大似然估计的极大似然估计. .解解: : 由于由于X X的分布密度为的分布密度为22()221( , ,)2xf xe 故似然函数为故似然函数为: :222211ln ( ,)ln(2)()22niinLx 222211()()22222111( ,)()22niiixnnxiLee 令令2122241ln1()0ln1()0()22niiniiLxLnx 解此对数似然方程组得

15、其估计量分别为解此对数似然方程组得其估计量分别为: :22211111()niiniiXnXXnXnSn这一结果与矩估计相同这一结果与矩估计相同. 可见可见, , 对于对于正态总体正态总体 , , 2( ,)XN 2211XnSnnSn 例例6 6 设总体设总体X(), XX(), X1 1,X,X2 2,X,Xn n是来自总体是来自总体X X的一的一个样本个样本, ,nxxx,21为对应的样本观察值为对应的样本观察值, , 试分别用矩估法和极大似然法试分别用矩估法和极大似然法求参数求参数的估计量的估计量. .解解: :(1) (1) 用矩估计法用矩估计法: : 用样本均值估计用样本均值估计E

16、X, EX, 即即: :11:niiXXnXE的矩估计量为(2) (2) 用极大似然估计法用极大似然估计法: :1:1niiXxn的 极 大 似 然 估 计 量 为11( )!iixxnnniiiiLeexx1ln ( )(lnln!)inxiiLnx1ln ( )1():0niiLnx 令似然函数为似然函数为127:(1, ),.nXBpXXXXp例设是来自的一个样本 求的最大似然估计量1212:,nnx xxXXX解 设为相应于样本的一个样本值1 , 0,)1(1 xppxXPXxx的的分分布布律律为为似然函数似然函数iixnixpppL 11)1 ()(11(1)nniiiixnxpp1

17、1ln ( )lnln(1)nniiiiL pxpnxp11dln ( )0d1nniiiixnxL pppp令的最大似然估计值的最大似然估计值解得解得 p11niipxxn的最大似然估计量为的最大似然估计量为p11niipXXn这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.1280, ,.例 设总体在上服从均匀分布 其中未知是来自总体的一个样本值求 的最大似然估计量nXx xxX解:的概率密度为的概率密度为X1,0( , )0,xf x其它作为 的似然函数为1,0, ( )0,inxL其它i要使L( ) 最大, 必 最小, 即xmax()ix所以取,2X另一方面 由矩法这说明,同

18、一参数可能有不同的估计量.三、小结两种求点估计的方法两种求点估计的方法: : 矩估计法矩估计法最大似然估计法最大似然估计法 在统计问题中往往先使用最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法, , 在最大似然估计法使用不方便时在最大似然估计法使用不方便时, ,再用矩估计法再用矩估计法. .);();,()( niinxpxxxLL121似似然然函函数数第二节第二节 估计量的评价标准估计量的评价标准一、问题的提出一、问题的提出二、估计量的评价标准二、估计量的评价标准三、小结三、小结一、问题的提出一、问题的提出 从前一节可以看到从前一节可以看到, 对于同一个参数对于同一个参数, 用不用不同的

19、估计方法求出的估计量可能不相同同的估计方法求出的估计量可能不相同,那么那那么那一个估计量好？好坏的标准是什么一个估计量好？好坏的标准是什么?下面介绍几个常用标准下面介绍几个常用标准.1.1.无偏性无偏性: :二、估计量的评价标准二、估计量的评价标准无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义: 无系统误差无系统误差.无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 .定义定义1 设设 为未知参数为未知参数 的估计量的估计量.( )E 若则称则称 为为 的无偏估计量的无偏估计量.1 , ,)1()(121的的无无偏偏估估计计阶阶总总体体矩矩是是阶阶样样本本矩矩总总体体服服从从

20、什什么么分分布布论论的的一一个个样样本本，试试证证明明不不是是又又设设存存在在阶阶矩矩的的设设总总体体knikiknkkkXnAkXXXXkXEkX 证证:同同分分布布，与与因因为为XXXXn,21)()(kkiXEXE 故故有有., 2 , 1,nik nikikXEnAE1)(1)(即即.k 例例9 9. 的的无无偏偏估估计计阶阶总总体体矩矩是是阶阶样样本本矩矩故故kkkAk 特别地特别地:.)(1估估计计量量的的无无偏偏的的数数学学期期望望总总是是总总体体 XEXX 不论总体不论总体 X 服从什么分布服从什么分布,只要它的数学期望存在只要它的数学期望存在,2222221221210 ,

21、0 , , 11 , ()1();S()1niiniinXXSnnXXn 例对于均值方差都存在的总体 若均为未知 则的估计量是有偏的 即不是无偏估计 而才是的无偏估计.证证:222111()niinESEXXnn2211niiEXnXn2211niiEXnEXn221nn2 S .n-1所以是有偏的n2221()1nnE Snn2222()iiiEXDXEX22 ()( ) ( )E XD XE X22n2222211() ()()nESnnnnn22S才是的无偏估计. 无偏性虽然是评价估计量的一个重要标准无偏性虽然是评价估计量的一个重要标准, ,而且而且在许多场合是合理的在许多场合是合理的,

22、 , 必要的。然而，有时一个参必要的。然而，有时一个参数的无偏估计可能不存在数的无偏估计可能不存在, ,有时对同一个参数可以有有时对同一个参数可以有多个无偏估计多个无偏估计. .这些说明仅有无偏性要求是不够的这些说明仅有无偏性要求是不够的. . 于是，人们又在无偏性的基础上增加了对方差于是，人们又在无偏性的基础上增加了对方差的要求的要求. .若估计量的方差越小。表明该估计量的取值若估计量的方差越小。表明该估计量的取值（即估计值）围绕着待估参数的波动就越小，也就是（即估计值）围绕着待估参数的波动就越小，也就是更为理想的估计量。为此，引入最小方差无偏估计更为理想的估计量。为此，引入最小方差无偏估计

23、. .2.2.有效性有效性: : 21, 设设 是是的两个无偏估计量的两个无偏估计量, ,若若: :12()()DD则称前者较后者有效则称前者较后者有效. . 定义定义2 2 由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度程度, 所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好.例例11 11 容量为容量为n n的样本的样本 , ,要估计总体要估计总体均值均值 . .证明证明: :在形如在形如 的估计量中的估计量中, ,以以 最有效最有效. .其中其中 12,nXXX1niiik X11niiXXn11,0niiikk证明证明: :222212nnn

24、k kk1122()nnDkXk Xk X2221122nnk DXk DXk DX 222212()nkkk1211,.nniiikkkk XXn若即等式成立22211:( )nnnnn最小值是DXX即 最有效. 有时候我们不仅要求估计量有较小的方差，有时候我们不仅要求估计量有较小的方差，还希望当样本容量还希望当样本容量n n充分大时，估计量能在某种充分大时，估计量能在某种意义下收敛于被估计参数，这就是所谓相合性意义下收敛于被估计参数，这就是所谓相合性（或一致性）概念。（或一致性）概念。 3.3.一致性一致性 定义定义3 3 设设 是未知参数是未知参数 的估计序列，如果的估计序列，如果 依概

25、率收敛于依概率收敛于 ，即对，即对任意任意 ，有，有 nnnXXX,.,21 1|lim nnP0|lim nnP则则 称为是称为是 的一致估计量的一致估计量( (或或相合估计相合估计).).n0或或n定理定理 设设 是是 的估计量，若的估计量，若n nnElim 0limnnD且且则则 是是 的一致估计的一致估计. .n nP0221nE证明：证明：221nnDE22)()(1 nnnEEE0lim nnP例例12 12 若总体若总体 的的 和和 存在存在, ,则样则样本均值本均值 是总体均值的一致估计是总体均值的一致估计. .X)(XE)(XDX解：解：)()(XEXE 0)(lim)(l

26、im nXDXDnn 一般地一般地, ,样本的样本的 阶原点矩阶原点矩 是总体是总体 的的 阶原点矩阶原点矩 的一致估计的一致估计. .由此可见由此可见, ,矩估计往往是一致估计矩估计往往是一致估计. .k nikikXnA11Xk)(kXE证明证明: :221n-11 ()nniiSXXn niiiXXXXn122)2(1 niiXXn122122AX例例13 13 试证试证样本方差样本方差 及及 都是总体方差的一致估计量都是总体方差的一致估计量. .22111niiSXXn22111niinSXXnn由大数定律知由大数定律知: , )(12122XEXnAnii依概率收敛于依概率收敛于 ,

27、 )(11XEXnXnii依依概概率率收收敛敛于于 222 nSAXn- 1故 )()(22XEXE 依依概概率率收收敛敛于于,2 22n-1 nnS所以是 , 11lim nnn又又22 nS所以也是的一致估计量的一致估计量的一致估计量的一致估计量三、小结三、小结估计量的评选的三个标准估计量的评选的三个标准 无偏估计无偏估计最小方差无偏估计最小方差无偏估计一致估计一致估计 一个参数的估计量往往不是唯一的一个参数的估计量往往不是唯一的; ; 在实际问在实际问题中题中, ,并不是三个标准都能办得到并不是三个标准都能办得到. . 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计. .它是用样本

28、它是用样本算得的一个值去估计未知参数算得的一个值去估计未知参数. .但是，点估计值但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大这个近似值的误差范围，使用起来把握不大. .区区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 .一、区间估计的基本概念一、区间估计的基本概念 定义定义 设设 为总体分布的一个未知参数，如果为总体分布的一个未知参数，如果对于给定的对于给定的 ，能由样本确定两个统，能由样本确定两个统计量计量 和和 ，使得，使得(01)1212()1P 成立成立,则称区间则称区间 为参

29、数为参数 的的 的置信区间的置信区间.12(,) 1称为置信度称为置信度称为置信下限称为置信下限 称为置信上限称为置信上限112关于定义的说明关于定义的说明. , , , , 21是是随随机机的的而而区区间间没没有有随随机机性性但但它它是是一一个个常常数数虽虽然然未未知知被被估估计计的的参参数数 : 1的的本本质质是是因因此此定定义义中中以以下下表表达达式式 21P. , , ,2121 11的的概概率率落落入入随随机机区区间间以以而而不不能能说说参参数数的的真真值值的的概概率率包包含含着着参参数数以以随随机机区区间间2.2.估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高. .如要求区间如要求区

30、间长度长度 尽可能短尽可能短. .1.1.要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠. . 由定义可见由定义可见12(,) 112( ,) 21 可靠度与精度是一对矛盾可靠度与精度是一对矛盾. .一般情况下一般情况下, ,在保证在保证可靠度的条件下提高精度可靠度的条件下提高精度. .二、求未知参数二、求未知参数 的置信区间的做法的置信区间的做法(1)利用利用 的无偏估计量构造一个样本函数的无偏估计量构造一个样本函数12(, )nG X XX(2)对给定的置信度对给定的置信度 ,选取两个常

31、数选取两个常数a,b ,使得使得112(, ) 1nP aG X XXb (3)从中解出从中解出 ,即即1212 (,)(,) 1nnPX XXX XX ( , ) 即是即是 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间1第四节第四节 正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计一、单总体均值与方差的区间估计一、单总体均值与方差的区间估计三、小结三、小结二、双总体均值差与方差比的区间估计二、双总体均值差与方差比的区间估计一、单一、单正态总体正态总体均值与方差的区间估计均值与方差的区间估计1.1.单总体均值单总体均值 的置信区间的置信区间(1)(1)设设 已知时已知时2220( ,),XN (0,

32、1)N2201/XPun 0022 1P XuXunn 即0 /XUn构造置信度为置信度为 的置信区间是的置信区间是10022(,)XuXunn由标准正态分布的上由标准正态分布的上 分位数的定义知分位数的定义知(2)(2)设设 未知时未知时( (用用 代替代替 ) )22( ,),XN 22(1)(1)1/XPtntnSn 由22 (1)(1)1SSP XtnXtnnn 即 1 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得于是得 (1)t n /XSn构造2S222(1),(1)SSXtnXtnnn(3)(3)在总体在总体X X的分布不知道的情况下的分布不知道的情况下( (大样本大样本) )

33、020002202222130,/(,)2100,/(,)XnUnXuXunnXnUSnSSXuXunn202=已知构造近似算;未知, 用S代替仍构造近似算. 例例14 14 某工厂生产的一批滚球某工厂生产的一批滚球, ,其直径其直径X X服从服从N(,0.05),N(,0.05),现从中随机地抽取现从中随机地抽取6 6个个, , 测得直径如下测得直径如下( (以毫米计以毫米计), 15.1, ), 15.1, 14.8, 15.2, 14.9, 14.6, 15.1 .14.8, 15.2, 14.9, 14.6, 15.1 .求直径平均值的求直径平均值的95%95%的置的置信区间信区间.

34、. 解解: : 这是已知方差求均值的置信区间这是已知方差求均值的置信区间. .05.0, 6,95.01n查上查上 分位数得分位数得: :0.02521.96uu依题意有依题意有: :220.051.960.261(15.1 14.8 15.2 14.9 14.6 15.1) 156unx从而得均值从而得均值的的95%95%的置信区间为的置信区间为: :) 2 .15, 8 .14() 2 . 015, 2 . 015(例例15 15 根据长期的经验根据长期的经验, ,认为飞机的最大飞行速度认为飞机的最大飞行速度XN(,XN(,2 2), ),但但,2 2未知未知, ,现对飞机的飞行速度进行现

35、对飞机的飞行速度进行1515次独立试验次独立试验, ,测得飞机的最大飞行速度测得飞机的最大飞行速度( (米米/ /秒秒) )如下如下: :7.4233.4415.4132.4173.4120.4343.4382.4285.4311.4238.4253.4206.4257.4182.422试求总体均值试求总体均值的的95%95%的置信区间的置信区间. .解解: : 这是未知方差求这是未知方差求的置信区间的置信区间. .依题意依题意,样本观察值样本观察值:10.95,0.051215422.2,418.7,423.7xxx1511425.046715iixx 15221511()71.881215

36、 1iiSxx0.025(14)2.1448t0.02524.695215SSttn 从而得从而得的的95%95%的置信区间为的置信区间为: :(420.3515,429.7419)解解:).( ,1 , , ),(,22221LELNXXXn求求的置信区间的长度的置信区间的长度的置信度为的置信度为关于关于是是设随机变量设随机变量为未知参数为未知参数和和其中其中的样本的样本是来自正态总体是来自正态总体设设 ,2未未知知时时当当 22 (1) nSLtnn例例1622(1),(1) nnSSXtnXtnnn 的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为1区间长度区间长度22224 (1) nS

37、Ltnn22n (S )E又22224 () (1) nSE LEtnn于是2224 (1)()ntnE Sn2224 (1)tnn2.2.单总体方差单总体方差 的置信区间的置信区间22( ,), ,XN 22(1)nS2构造2(1)n设设 均未知均未知.222221(1)(1) 1Pnn 2222221(1)(1),(1)(1)nSnSnn在给定的置信度在给定的置信度1-1-下下, ,由由得得 的置信区间为的置信区间为: :22例例17 17 某种岩石密度的测量误差某种岩石密度的测量误差XN(,2XN(,2 ),),取样本取样本值值1212个个, ,得样本方差的修正值为得样本方差的修正值为0

38、.04,0.04,试求试求2 2的的90%90%的的置信区间置信区间. .解解: :2220.951(1)(11)4.575n210.9,0.1,12,0.04nnS 2220.05(1)(11)19.675n2221(1)11 0.040.0962(1)4.575nnSn故所求置信区间为故所求置信区间为: (0.0224,0.0962) : (0.0224,0.0962) 222(1)11 0.040.0224(1)19.675nnSn221122(,),(,)XNYN 1 1、二总体均值差、二总体均值差 的区间估计的区间估计 设两总体设两总体12) 10(1,),(),(,22212222

39、11212121给定置信水平为和方差分别是两个样本的均值的样本和相互独立的正态总体是分别来自两个与设SSYXNNYYYXXXnn二、两个正态总体均值差与方差比的置信区间二、两个正态总体均值差与方差比的置信区间 (1)(1)若若 已知已知2221,12221212() ()XYnn构造U22 1PuUu 22221212121222(),()XYuXYunnnn(0,1)N在给定的置信度在给定的置信度1- 1- 下下, , 由由得得 的置信区间的置信区间: :12(2)若若 未知未知222221,12 (2)t nn1212() ()11wXYTSnn构造22112212(1)(1)2wnSnS

40、Snn其中121221212211(2),11(2)wwXYtnnSnnXYtnnSnn121222(2)(2) 1P tnnTtnn 在给定的置信度在给定的置信度1- 下下, 由由得得 置信区间置信区间:12（3 3） 当总体方差未知当总体方差未知, , 且样本容量相当大时且样本容量相当大时, , 可用样本方差来代替总体方差可用样本方差来代替总体方差, , 此时置信区间为此时置信区间为: :12122222121222(),()nnnnSSSSX YuX Yunnnn例例18 18 设来自总体设来自总体N(N(1 1, 16 ), 16 )的一容量为的一容量为1515的样本的样本, , 其样

41、本均值为其样本均值为14.6; 14.6; 来自总体来自总体N(N(2 2, 9 ), 9 )的一容量为的一容量为2020的样本的样本, ,其样本均值为其样本均值为13.2, 13.2, 并且两样本是相互独并且两样本是相互独立的立的, , 试求两总体均值差的试求两总体均值差的90%90%的置信区间的置信区间. .解解: :0.0521.645uu10.9,0.11215,20nn221212169911.232152060nn14.6 13.21.4xy22121221.645 1.2322.03unn1.42.03,1.42.030.63,3.43 . 置信度为置信度为0.9的置信区间是的置

42、信区间是122.2.求两总体方差比求两总体方差比 的置信区间的置信区间222111222222221212111,(1,1)(1,1)nnnnSSSF nnSFnn12 (1,1)F nn221 1P FF F 12222221nnSFS在给定的置信度在给定的置信度1- 下下, 由由置信度为置信度为 的置信区间是的置信区间是12221例例19 19 有有A, BA, B二化验员独立地对某种聚合物的含二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了氯量用相同的方法各作了1010次测定次测定, , 其测定值的方其测定值的方差分别为差分别为 设设 和和 分别为分别为A, BA, B所测量的数据总所测量的数据总体体( (设为正态总体设为正态总体) )的方差的方差, , 求方差比求方差比 的的95%95%的置信区间的置信区间. .2A2B22BA220.5419,0.6065ABSS解解: :22/