第2章随机变量及其分布

1、2022-2-91第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数2022-2-922.1.1 随机变量随机变量观察以下随机试验的结果观察以下随机试验的结果:例例2.1 掷一枚色子考察出现的点数掷一枚色子考察出现的点数,则则6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 试验结果与数之间试验结果与数之间的恒等映射为的恒等映射为:6,.,2 , 1,)( iiXi 例例2.2 某厂出厂灯泡中抽取一只做寿命某厂出厂灯泡中抽取一只做寿命试验试验,记录灯泡的寿命记录灯泡的寿命,则则0| 样本点与数之间也有恒等映射样本点与数之间也有恒等映射 )(X2022-2-93

2、例例2.4 随机从某人群中抽样随机从某人群中抽样,观察抽得的人观察抽得的人的性别的性别,此时此时,21男男，女女 我们可以建立样本点与数之间的映射为我们可以建立样本点与数之间的映射为: 0)()(1)()(21女女男男XXXX 定义定义2.1 设设 是一试验的样本空间是一试验的样本空间,如果对如果对于每一个样本点于每一个样本点 ,规定一个实数规定一个实数)( X这样就定义了一个定义域为这样就定义了一个定义域为 的实值函数的实值函数)( XX ,称称X为为随机变量随机变量注意注意:还有许多试验的结果本身不是实数还有许多试验的结果本身不是实数2022-2-94随机变量的定义随机变量的定义随机变量随

3、机变量常用常用X、Y、Z 或或 、 、 等表示等表示2022-2-95随机变量与普通函数的区别随机变量与普通函数的区别(1)定义域是样本空间定义域是样本空间,样本空间不一定样本空间不一定是实空间是实空间;(2)随机变量的取值具有随机性随机变量的取值具有随机性;即试验即试验之前之前,不知道样本空间不知道样本空间 中哪一个样本点中哪一个样本点 出现出现,从而从而 )( X取何值不能确定取何值不能确定,而而试验之后试验之后,)( X才确定取何值才确定取何值;(3)随机变量的取值具有一定的概率随机变量的取值具有一定的概率;例如例如61)2)( XP在例在例2.1中中,2022-2-96利用随机变量表示

4、事件利用随机变量表示事件有了随机变量的定义之后有了随机变量的定义之后,我们可以用我们可以用随机随机变量落入某个区域变量落入某个区域来表示随机事件来表示随机事件.例如例如:用用“5 , 3 , 1 X”表示打色子的时候表示打色子的时候“出现奇数点出现奇数点”这一随机事件；用这一随机事件；用“ ”1 X表示表示“打出的色子数等于打出的色子数等于1”这一随机事件这一随机事件.一般情况下，我们可以用一般情况下，我们可以用)(|GX 表示随机变量取值在表示随机变量取值在G中的样本点构成的中的样本点构成的事件，简记为事件，简记为)(GX 2022-2-972.1.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数定

5、义定义2.2 设设X是随机变量，对任意实数是随机变量，对任意实数xR，定义，定义 F(x)P(X x)称称F(x) 为随机变量为随机变量X的的分布函数分布函数.注注 (1) 分布函数的本质是一个概率，即分布函数的本质是一个概率，即 事件事件|X() x的概率的概率P(X x)(2) 对任意实数对任意实数a, b (ab), P(aX b) F( b)F(a)2022-2-98X012P0.10.60.3例例2.5 已知随机变量已知随机变量X的的取值情况如右表，求取值情况如右表，求X的的分布函数分布函数分布函数的求法分布函数的求法( )()F xP Xx 0,00.1,010.7,121,2xx

6、xx 因为分布函数是定义在整个数轴上，所以因为分布函数是定义在整个数轴上，所以0122022-2-99可见可见,此题中此题中,F(x)是一个阶梯型函数是一个阶梯型函数)(xFx01122022-2-910例例2.6某射手向半径为某射手向半径为R的圆形靶射击一次，假定的圆形靶射击一次，假定不会脱靶。弹着点落在以靶心为圆心，不会脱靶。弹着点落在以靶心为圆心，r 为为半径的圆形区域的概率与该区域的面积成正半径的圆形区域的概率与该区域的面积成正比比,设随机变量设随机变量X表示弹着点与靶心的距离表示弹着点与靶心的距离,求求X的分布函数的分布函数,并求概率并求概率)434(RXRP RX解解: 对任意的对

7、任意的2)0(, 0 xkxXPRx 2022-2-911例例2.621Rk 2)0(1RkRXP 由题意由题意,(1)0,( )()()0 xF xP XxP 当当2222)0()0()()(,0)2(RxRxxXPXPxXPxFRx 当当1)()(,)3( xXPxFRx当当2022-2-912例例2.621)4()43(1)4()43()434(222 RRRRXPRXPRXRPF(x)xF(x)是一个是一个单调不减的单调不减的函数函数2022-2-913定理定理2.1 分布函数的性质分布函数的性质 1)单调不减性单调不减性：若：若x12)与分布与分布函数函数.解解:Xp11072971

8、03 3120741201P(X2)=P(X=3)+P(X=4)=1/152022-2-920例例2.7 120141207330721071X由题意由题意: , 1,120/730/710/7,30/710/7,10/7, 0)(xF1 x21 x32 x43 xx 42022-2-921解解: :设设Ai表示第表示第i个零件不合格个零件不合格, ,它们之间它们之间互相独立互相独立. .用一台机器独立地制造用一台机器独立地制造3个同种零件个同种零件, ,第第i个个零件不合格的概率为零件不合格的概率为1/(i+1), i=1,2,3. .以以X表表示三个零件中不合格品的个数，求示三个零件中不合

9、格品的个数，求X的分的分布律与分布函数布律与分布函数. .)()0(321AAAPXP 3141)411)(311)(211()(iiAP例例2022-2-922)()()()1(321321321AAAPAAAPAAAPXP 2411413221433121433221 )()()()2(321321321AAAPAAAPAAAPXP 41413121413221433121 241413121)()3(321 AAAPXP2022-2-923X 241412411413210 , 1,24/23,24/17, 4/1, 0)(xF0 x10 x21 xx 332 x2022-2-9242.

10、2.2 常见的离散型分布常见的离散型分布(1) 几何分布几何分布定义定义2.4 若随机变量若随机变量X取值为取值为1,2,且且,.2 , 1,)(1 kpqkXppkk其中其中,1, 10pqp 则称则称X服从参数服从参数为为p的的几何分布几何分布,记为记为)(pGX可见可见,若一个随机变量若一个随机变量X表示重复的贝努利表示重复的贝努利试验中试验中,首次成功出现所需的试验次数首次成功出现所需的试验次数,则则)(pGX2022-2-925(2) 超几何分布超几何分布定义定义2.5 设设N,n,m为正整数为正整数,若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为nkCCCkXPpnNknmNkmk

11、,.,1 , 0,)( 则称则称X服从服从超几何分布超几何分布,记为记为),(NmnHX古典概型中古典概型中,不放回摸球试验不放回摸球试验,N个球个球,其中有其中有m 个红球个红球,随机从随机从N个球中取个球中取n个个,取到红球取到红球的个数为的个数为X,则则),(NmnHX2022-2-926(3) 二项分布二项分布则称则称X服从参数为服从参数为n，p的的二项分布二项分布，记，记为为XB(n,p)定义定义2.6 设随机变量设随机变量X的可能取值为的可能取值为0,1，2,n ，且且nkqpCkXPknkkn, 1 , 0,)( 特别地特别地,当当n=1时，二项分布时，二项分布XB(1,p)，即

12、为即为(0-1)分布分布. ppX1102022-2-927某人独立地射击，设每次射击的命中率某人独立地射击，设每次射击的命中率为为0.02，射击，射击400次，求至少击中目标两次，求至少击中目标两次的概率次的概率. . 解解 每次射击看成一次试验，设击中次每次射击看成一次试验，设击中次 数为数为X，则则 XB(400, ,0.02) X的分布律为的分布律为 400, 2 , 1 , 0,98. 002. 0)(400400 kCkXPkkk例例2022-2-928所求概率为所求概率为 )400() 3() 2() 2( XPXPXPXP)1()0(1 XPXP997. 098. 002. 0

13、40098. 01399400 2022-2-929二项分布的最有可能次数二项分布的最有可能次数 pqkqkpnkXPkXP 111) 1()(若若XB(n,p)，则，则可见可见,pk是先是随着是先是随着 k 的增大而增大，达的增大而增大，达到其最大值后再随着到其最大值后再随着k 的增大而减少的增大而减少. 记二项分布的最可能次数为记二项分布的最可能次数为k 0 otherspnNpnpnpnk,) 1() 1(1) 1() 1(0，和和2022-2-930(4) 泊松泊松(Poisson)分布分布)0(, 2 , 1 , 0,!)( kekkXPk则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的泊松

14、分布泊松分布， X P( ).定义定义2.7 若随机变量若随机变量X可能的取值为可能的取值为0,1,2,且且可证：二项分布以泊松分布为极限分布可证：二项分布以泊松分布为极限分布 定理定理2.2(泊松定理泊松定理) 设随机变量设随机变量,!)1(lim ekppCkknnknknn),(nnpnBX且满足且满足 nnp则则2022-2-931证：二项分布以泊松分布为极限分布证：二项分布以泊松分布为极限分布 左左=knknnknnnk )1()(1).(1(!1 knkknnnknnnk)1()1()1).(1(! ennn)1(lim11得证得证2022-2-932P(X 2)=1 P(X0)P

15、(X1) =1(18)e80.996981 上例上例 可用泊松定理计算可用泊松定理计算取取 =np=4000.028, 故近似地有故近似地有2022-2-933例例2.12 某网吧有某网吧有300台电脑台电脑,每台电脑的上网人因每台电脑的上网人因各种原因需要网管帮助的概率为各种原因需要网管帮助的概率为0.01,现在现在有两种方式配备网管有两种方式配备网管: A:配备配备10名网管名网管,每人负责每人负责30台电脑台电脑; B:配备配备8名网管名网管,共同负责共同负责300台电脑台电脑;(1) 证明证明:方式方式B比方式比方式A效果好效果好;(2) 若只需要方式若只需要方式B下有上网人得不到及时

16、下有上网人得不到及时帮助的概率小于帮助的概率小于0.02,则则8名网管可减少至名网管可减少至几名几名? ?2022-2-934例例2.12 证明证明:设设 分别为两种方式下有人得分别为两种方式下有人得不到帮助的概率不到帮助的概率,则只需证则只需证21, pp21pp X为方式为方式A下一名网管负责的下一名网管负责的30台电脑中台电脑中任意时刻需要帮助的人数任意时刻需要帮助的人数,)01. 0 ,30( BX设设Ai为方式为方式A下一名网管负责的下一名网管负责的30台电脑台电脑中有人得不到及时帮助中有人得不到及时帮助,i=1,2,100361. 0)1()0(1)2()( XPXPXPAPi20

17、22-2-935例例2.12 注意注意1021,.,AAA相互独立相互独立,于是于是1121012101210(.)1(.)1P() P()P()0.3077pP AAAP AAAAAA 2022-2-936例例2.12 Y为方式为方式B下下300台电脑中任一时刻需要帮台电脑中任一时刻需要帮助的人数助的人数,)01. 0 ,300( BY由于由于np=3,近似地有近似地有)3( PY于是于是,查泊松查泊松分布表分布表,有有0038. 0)9()8(2 YPYPp(2)设设N为使得为使得02. 0)1()( NYPNYP的最小的的最小的N,查泊松分布表查泊松分布表,得得N+1=82022-2-9

18、37某商店出售某种商品，具历史记录分析，某商店出售某种商品，具历史记录分析，每月销售量服从参数每月销售量服从参数 =5的泊松分布。问的泊松分布。问在月初进货时，要库存多少件此种商品，在月初进货时，要库存多少件此种商品，才能以才能以0.999的概率充分满足顾客的需要？的概率充分满足顾客的需要？解解 用用X表示每月销量，则表示每月销量，则XP( )= P(5)。由题意，要求由题意，要求k，使得使得P(Xk)0.999，即即999. 0)1(1)(1)( kXPkXPkXP思考题思考题2022-2-938001.0999.01)1( kXP这里的计算通过查这里的计算通过查Poisson分布表得到分布

19、表得到, , =5 001.0000698.0)14( XP001. 0002019. 0)13( XPk+1=14时时, ,k+1=13时时,所以所以，k=13，即月初进货库存要即月初进货库存要13件件. . 2022-2-939对离散型随机变量的认识对离散型随机变量的认识(1) 离散型随机变量是通过离散型随机变量是通过“分布律分布律”来来刻画的；刻画的；(2) 分布律包括两点分布律包括两点:一是随机变量的取值一是随机变量的取值二是随机变量取值对应的概率二是随机变量取值对应的概率;(3) 若已知分布律若已知分布律:A.可求随机变量落入任意区域的概率可求随机变量落入任意区域的概率;B.可求随机

20、变量的分布函数可求随机变量的分布函数;2022-2-9402.3 连续型随机变量连续型随机变量定义定义2.8 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x),若存在非负可积函数若存在非负可积函数 f(x)，使得，使得( )( ),xF xf t dtxR 则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量,概率密度函数概率密度函数，简称密度函数，记为简称密度函数，记为 f(x) 为为X 的的X f (x) 2022-2-941xf(x)( )( )xF xf t dt 密度函数本身并不表示概率密度函数本身并不表示概率,对密度函数对密度函数的积分才是概率的积分才是概率.也就是说也就是说,密度函数

21、图密度函数图象下的面积才表示概率象下的面积才表示概率密度函数的意义密度函数的意义2022-2-942x2f(x)密度函数的意义密度函数的意义x1问问:f(x1)f(x2)意味着什么呢意味着什么呢?答答: f(x1)x f(x2)x,表示随机变量表示随机变量X落入落入x1附近的可能性要比落入附近的可能性要比落入x2附近附近的可能性大的可能性大.2022-2-943密度函数的性质密度函数的性质; 0)( xf( )1f x dx ()()baP aXbfx dx 定理定理2.3 X为连续型随机变量为连续型随机变量,F(x)和和f(x)分别为分别为X的分布函数与密度函数的分布函数与密度函数,则则(1

22、) 对任意对任意a,b(ab),有有(1) 非负性非负性：(2) 归一性归一性：这两个性质这两个性质也是密度函也是密度函数的特征数的特征2022-2-944密度函数的性质密度函数的性质(2) F(x)是连续函数且在是连续函数且在f(x)的连续点，有的连续点，有( )( )Fxf x 连续型随机变量取单个值的概率为零连续型随机变量取单个值的概率为零(3) 对任意实数对任意实数c，有有P(X=c)0因此，对连续型随机变量因此，对连续型随机变量X，有，有)()()()(bXaPbXaPbXaPbXaP badxxfaFbF)()()(2022-2-945例例2.13已知随机变量已知随机变量X的密度为

23、的密度为 其它, 031 ,)(xbaxxf且且P(2X3)=2P(1X0函数的性质：函数的性质：(3)(3)如果如果n n为自然数，则为自然数，则2022-2-960定义定义2.12 设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为 分布分布 1000 xxexfxx 则称随机变量则称随机变量X服从参数为服从参数为 的的分布分布., ( )e 注注意意， = =1 1时时， 分分布布为为指指数数分分布布记为记为 X(,)2022-2-961例例2.15某厂生产的元件其寿命某厂生产的元件其寿命1(2,)2X 1) 随机取一个元件随机取一个元件,求该元件寿命大于求该元件寿命大于4万小时的概率万小时

24、的概率;2) 随机取随机取10个元件个元件,求至少有求至少有1个元件寿个元件寿命大于命大于4万小时的概率万小时的概率;解解:由题意由题意,X的密度函数为的密度函数为: 21,04xfxx ex 2022-2-962 41) (4)P Xfx dx 例例2.1510(1)1(0)10.594P YP Y 2) 设设Y表示表示10只元件中寿命大于只元件中寿命大于4的只数的只数,则则YB(10,0.406) 21,04xfxx ex 已知已知:求求分部积分分部积分2241() ()30.4062xx d ee |bbbaaaudvuvvdu2022-2-9632.4 随机变量函数的分布随机变量函数的

25、分布例例2.16 X有概率分布有概率分布10120.20.30.30.2X 321,2XYXZ 求求Y,Z的概率分布的概率分布.解解: Y的取值为的取值为0,1,4,分别求分别求Y取这些值取这些值的概率的概率:P(Y=0)=P(X=0)=0.3P(Y=1)=P(X=-1 或或 X= 1)=0.52022-2-964P(Y=4)=P(X=2)=0.2从而从而0140.30.50.2Y 类似地类似地,可得可得00.514.50.20.30.30.2Z2022-2-965例例2.17设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为2 ,01( )0,Xxxfx 其其它它Y=-2lnX,求求Y的密度函数

26、的密度函数.解解: 当当X取值在取值在(0,1)内时内时,Y的值域为的值域为(0,)Y的分布函数为的分布函数为:( )()( 2ln)YFyP YyPXy 2( )()yYFyP Xe 2022-2-9662 ,01( )0,Xxxfx 其其它它2( )()yYFyP Xe 21(0)21yyeyxdxe 当当2(0)00yeydx 当当例例2.172022-2-9671,0( )0,0yYeyFyy ( ),0( )0,0yYYFyeyfyy 例例2.17连续型连续型情形下情形下,求密度函数的一般方法求密度函数的一般方法:2022-2-968( )( ),(),( )( ),( )()( (

27、)( )( )( )( )( )( )0YG yYYYXf x Yg XYR YyR YYFyP YyP g XyP XG yf x dxFyfyyR YyR Yfy 已已知知随随机机变变量量 有有密密度度函函数数则则 (1) (1) 确确定定 的的值值域域 (2) (2) 对对任任意意 求求出出 的的分分布布函函数数 (3) (3) 对对求求导导，可可得得， (4) (4) 对对) )时时，取取一般方法一般方法2022-2-969例例2.19设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为1|,20( )4,01Xxxfxxx Y=X2,求求Y的密度函数的密度函数.解解: 易得易得 R(Y)=

28、0,4,4 , 0 y有有)()()(2yXyPyXPyFY 注意注意X的密度函数定义在两个不同区间上的密度函数定义在两个不同区间上2022-2-970例例2.191|,20( )4,01Xxxfxxx 01,( )( )yYXyyFyfx dx 0015()48yyx dxxdxy ( )()YF yPyXy 114,( )( )YXyyFyfx dx 010111()482yx dxxdxy 2022-2-971例例2.195,0181,14( )( )80,其它YYyyfyFy 2022-2-972典型题分析典型题分析例例1 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为 11Yg X 试求随机变量试求随机变量Y的分布律的分布律.若若X为奇数为奇数若若X为偶数为偶数2022-2-97