球的体积和表面积新

1、假设将圆假设将圆n等分，则等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多边形)AAAAAA(p211n3221正多边形pC21圆正多边形时，当CC,Rpn2RR2R21S圆pA3回顾：圆面积公式的推导 延伸阅读：割圆术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”。 这是世界上最早的“极限”思想。R.34,32:33RVRV 从从而而猜猜测测半半球球

2、? 半球半球V331RV 圆圆锥锥333RV 圆圆柱柱高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比把半球分割成n个薄片 当分割的层数不断增加，每一层就越接近一个圆柱体。OR)1( inR.,2,1,)1(22niinRRri ir当n时，每个薄片近似于圆柱 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关。 将半球分割成n层，每一层都近似于圆柱形状的“小圆片”。这些“小圆片”的体积之和就是球的体积。 选第i层（由下而上），如右图。 厚度： 下底面半径： 体积：Rn 23211ninRnRrVii 球的体积公式12nVVVV半球322222212(1)1(1)(1)1Rnnnnn32222

3、12(1)Rnnnn32(1)( 21)16nnRn612121222)(nnnn311(1)(2)16nnVR半球1nn当 无限变大时， 趋于0323VR半球343VR球球的表面积公式推导 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢? 从球的体积公式的推导方法, 得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式。oiS o第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积为：则球的体积为：iV 设“小锥体”的体积为设“小锥体”

4、的体积为iVnVVVVV 321iSO OO O第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O第第三三步：步：化化为为准准确确和和RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: : “小小锥体锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRn31).(31321334RV 又又球球的的体体积积为为：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 从从而而Rhi的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径径

5、 例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的求它的表面积和体积表面积和体积. .3336125)25(3434cmRV(变式变式1 1)一个球体的表面积是一个球体的表面积是100 ，试计算它的表，试计算它的表面积。面积。(变式变式2 2)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.( .(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.14234)25(349.733 x

6、3.1149.73142)25(33 x由计算器算得由计算器算得:24. 2 x5 . 42 x例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各它的各个顶点都在球个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。

7、22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O 用一个平面去截一个球O，截面是圆面222dRrrdRO球的截面的性质：球的截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离为球心到截面的距离为d，球的半径为，球的半径为R，则，则截面问题OABCO 例已知过球面上三点例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积，表面积体积，表面积解：如图，设

8、球解：如图，设球O半径为半径为R，截面截面 O的半径为的半径为r，r332AB2332AO 是是正正三三角角形形，ABCROO ,2 .34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ;81256)34(343433 RV例例.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，求球的体积，表面积表面积 1.球的球的半径扩大半径扩大为原来的为原来的2倍倍,体积变为体积变为原来的倍原来的倍.练习一练习一2.将半径为将半径为1和和2的两个铅球，熔成一的两个铅球，熔成一个个大铅球，那么这个大铅球的表面积是大铅球，那么这个大铅球的表面积是_.l了解球的体积、表面积推导的基本思路：了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割分割求近似和求近似和化为标准和的方法，是化