常微分方程简明教程-王玉文等编-习题解答-(3)

1、第3章 二阶线性常系数微分方程1.考虑两个参数的线性方程组若分别是鞍点、汇、源，试在平面上确定出相应的区域。解：方程的特征方程为. 解得特征根为。需分类讨论：（I）当时，知。（i）当，即时，是汇。（ii）当，即时，是鞍点。（ii）当，即时，是源。（II）当时，知。（i）当，即时，是汇。（ii）当，即时，是鞍点。（ii）当，即时，是源。图3-12.求解下列给定二阶微分方程的通解: （1）解：方程的特征方程为. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。将上式两端求导得 。令得 由此得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。（2）解：特

2、征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。将上式两端求导得 。令，得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。（3）解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。将上式两端求导得 。令得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。（4）解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。将上式两端求导得 。令，得 由此得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。（5）解：特征方程：.

3、解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。将上式两端求导得 。令，得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。（6）解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。将上式两端求导得 。令，得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。3. 求解下列初值问题: （1）解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。将上式两端求导得 。令，得 由此得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。由已知初

4、值条件，则有 由此得则原方程满足初值条件的特解为 。（2）解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。将上式两端求导得 。令，得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。由已知初值条件，则有 由此得则原方程满足初值条件的特解为 。（3）解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。将上式两端求导得 。令，得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。由已知初值条件，则有 由此得则原方程满足初值条件的特解为 。（4）解：特征方程：. 解得特征根为.

5、因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。将上式两端求导得 。令，得 由此得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。由已知初值条件，则有 由此得则原方程满足初值条件的特解为 。（5）解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。将上式两端求导得 。令，得。因此，与线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。由已知初值条件，则有 由此得则原方程满足初值条件的特解为 。（6）解：特征方程：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。 设为常数，使得 。将上式两端求导得 。令，得。因此，与

6、线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 。由已知初值条件，则有 由此得则原方程满足初值条件的特解为 。4.考虑简谐振动模型，考虑当b变化时。轨线趋于原点速度的变化。解：齐次方程的特征方程为：. 解得特征根为。下面分几种情况讨论。2（1）当时，特征值为正实数或者为实部为大于零的复数，可知解的轨线远离原点。（2）当时，特征值为，方程的通解为，轨线为以圆点为中心的圆。（3）当时，特征值为，令，特征值为，则方程的通解为。令，则。解的周期为，其振幅随时间的增长逐渐减少。此时，简谐振的为小阻尼振动，平衡点为螺旋汇。（4）当时，特征值，方程的通解为。此时，简谐振动为临界阻尼振动，

7、轨线趋向原点并与特征向量所在直线相切，平衡点为临界汇，不会产生振动现象。（5）当时，特征值为，方程的通解为。此时，简谐振动为大阻尼的振动，平衡点为汇，不会产生振动现象。5.求下列二阶常系数微分方程的通解.（1）解：先求原方程所对应的齐次方程的通解齐次方程的特征方程为：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解并且线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，齐次方程方程的通解为 。设非齐次方程的的一个特解为，由于原方程右端为幂函数，则取，代入方程后比较系数得，则求得。则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为 （2）解：先求原方程所对应的齐次方程的通解齐次方程的特征方程为：.

8、 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。则二阶齐次常系数微分方程的通解为 。设非齐次方程的的一个特解为，由于原方程右端为幂函数，令，代入方程后比较系数得 ，则求得。则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为 。（3）解：先求原方程所对应的齐次方程的通解齐次方程的特征方程为：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。则二阶齐次常系数微分方程的通解为 。设非齐次方程的的一个特解为，由于原方程右端函数包括，而且2是二重根，则令，代入方程后比较系数得，则求得。则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为 。（4）解：先求原方程所对应的齐次方程的通解齐次方程的特征方程为：. 解

9、得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。则二阶齐次常系数微分方程的通解为 。设非齐次方程的的一个特解为，由于原方程右端函数包括，而且-3是二重根，则令，代入方程后比较系数得，则求得。则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为 。6.求下列二阶常系数微分方程的通解.（1）解：先求原方程所对应的齐次方程的通解齐次方程的特征方程为：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。则二阶齐次常系数微分方程的通解为 。设非齐次方程的的一个特解为，由于原方程右端包括，则取，代入方程后比较系数得，则求得。则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为 （2）解：先求原方程所对应的齐次方程的通解

10、齐次方程的特征方程为：. 解得特征根为 因此， 为齐次方程的两个解。则二阶齐次常系数微分方程的通解为 。设非齐次方程的的一个特解为，由于原方程包括，令，代入方程后比较系数得则求得。则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为 。（2）解：先求原方程所对应的齐次方程的通解齐次方程的特征方程为：. 解得特征根为 因此， 为齐次方程的两个解。则二阶齐次常系数微分方程的通解为 。下求非齐次方程的的一个特解为，由于原方程包括，考虑右边函数为时，令，代入方程后比较系数得则求得，对应的实部函数为非齐次方程的一个特解。则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为 。（4）解：先求原方程所对应的齐次

11、方程的通解齐次方程的特征方程为：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。则二阶齐次常系数微分方程的通解为 。下求设非齐次方程的的一个特解为，由于原方程包括，考虑右边函数为时，由于为二重特征根，则令，代入方程后比较系数得，则求得，对应的虚部函数为非齐次方程的一个特解。则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为。7.求下列二阶常系数微分方程的通解.（1）解：（I）当时 直接积分计算得方程得解为。（II）当时，先求原方程所对应的齐次方程的通解齐次方程的特征方程为：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。则二阶齐次常系数微分方程的通解为 。下求设非齐次方程的的一个特解为，由于原

12、方程包括，需要考虑以下两种情况：（i） 当时令，代入方程后比较系数得，则求得。则原非齐次方程的通解为 。（ii） 当时 令，代入方程后比较系数得，则求得则原非齐次方程的通解为。（1）解：（I）当时 直接积分计算得方程得解为。（II）当时，先求原方程所对应的齐次方程的通解齐次方程的特征方程为：. 解得特征根为. 因此， 为齐次方程的两个解。则二阶齐次常系数微分方程的通解为 。下求设非齐次方程的的一个特解为，令，代入方程后比较系数得，则求得。则原非齐次方程的通解为 。（3）解：先求原方程所对应的齐次方程的通解齐次方程的特征方程为：. 解得特征根为 因此， 为齐次方程的两个解。则二阶齐次常系数微分方

13、程的通解为 。下求非齐次方程的的一个特解为，由于原方程右端包括，考虑右边为时，令，代入方程后比较系数得，则求得，对应的实部为非齐次方程的一个特解。则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为 。（4）解：先求原方程所对应的齐次方程的通解齐次方程的特征方程为：. 解得特征根为 因此， 为齐次方程的两个解。则二阶齐次常系数微分方程的通解为 。下求非齐次方程的的一个特解为，由于原方程右端包括，令，代入方程后比较系数得，则求得。则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为。8.求方程的解。解：先求原方程所对应的齐次方程的通解为。设非齐次方程的的一个特解为，由于原方程右端函数包括，则令，代入方程后比较系数得，则求得。则有非齐次线性方程解的结构知，原非齐次方程的通解为。由已知初值条件，则有 由此得则原方程满足初值条件的特解为。9.设是的解，其中为常数。函数在上连续。试证 （1）当时，可以找到常数使得；（2）当时，方程的通解可以表示为，其中为任意常数。证明：先考虑求原方程所对应的齐次方程的通解为。齐次方程的特征方程为：. （1）当时，解得特征根为一对共轭虚根。则二阶齐次方程的通解为。用